Номер 366, страница 193 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 3. Первообразная и интеграл. Параграф 8. Интеграл - номер 366, страница 193.

Условие.

366. а) $y = x^2 - 4x + 4$, $y = 4 - x^2$;

б) $y = x^2 - 2x + 2$, $y = 2 + 6x - x^2$;

в) $y = x^2$, $y = 2x - x^2$;

г) $y = x^2$, $y = x^3$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = x^2 - 4x + 4$ и $y = 4 - x^2$, первым шагом найдем точки их пересечения. Для этого приравняем правые части уравнений:
$x^2 - 4x + 4 = 4 - x^2$
$2x^2 - 4x = 0$
$2x(x - 2) = 0$
Корнями уравнения являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$. Это и будут пределы интегрирования.
Далее определим, какая функция принимает большие значения на интервале $(0, 2)$. Возьмем для проверки точку $x = 1$:
Для первой функции: $y(1) = 1^2 - 4(1) + 4 = 1$.
Для второй функции: $y(1) = 4 - 1^2 = 3$.
Поскольку $3 > 1$, на интервале $[0, 2]$ график функции $y = 4 - x^2$ расположен выше графика $y = x^2 - 4x + 4$.
Площадь фигуры $S$ вычисляется как определенный интеграл от разности верхней и нижней функций:
$S = \int_0^2 ((4 - x^2) - (x^2 - 4x + 4)) \,dx = \int_0^2 (4 - x^2 - x^2 + 4x - 4) \,dx = \int_0^2 (-2x^2 + 4x) \,dx$
Теперь вычислим интеграл:
$S = \left[ -2\frac{x^3}{3} + 4\frac{x^2}{2} \right]_0^2 = \left[ -\frac{2}{3}x^3 + 2x^2 \right]_0^2 = \left(-\frac{2}{3} \cdot 2^3 + 2 \cdot 2^2\right) - (0) = -\frac{16}{3} + 8 = \frac{-16 + 24}{3} = \frac{8}{3}$.
Ответ: $\frac{8}{3}$.

б) Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями $y = x^2 - 2x + 2$ и $y = 2 + 6x - x^2$. Сначала найдем точки пересечения, приравняв уравнения:
$x^2 - 2x + 2 = 2 + 6x - x^2$
$2x^2 - 8x = 0$
$2x(x - 4) = 0$
Пределы интегрирования: $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$.
Определим верхнюю функцию на интервале $(0, 4)$, взяв пробную точку $x = 1$:
$y_1 = 1^2 - 2(1) + 2 = 1$.
$y_2 = 2 + 6(1) - 1^2 = 7$.
Так как $y_2 > y_1$, функция $y = 2 + 6x - x^2$ является верхней.
Площадь фигуры $S$ равна:
$S = \int_0^4 ((2 + 6x - x^2) - (x^2 - 2x + 2)) \,dx = \int_0^4 (-2x^2 + 8x) \,dx$
Вычисляем интеграл:
$S = \left[ -2\frac{x^3}{3} + 8\frac{x^2}{2} \right]_0^4 = \left[ -\frac{2}{3}x^3 + 4x^2 \right]_0^4 = \left(-\frac{2}{3} \cdot 4^3 + 4 \cdot 4^2\right) - 0 = -\frac{128}{3} + 64 = \frac{-128 + 192}{3} = \frac{64}{3}$.
Ответ: $\frac{64}{3}$.

в) Найдем площадь фигуры, ограниченной параболами $y = x^2$ и $y = 2x - x^2$. Найдем точки их пересечения:
$x^2 = 2x - x^2$
$2x^2 - 2x = 0$
$2x(x - 1) = 0$
Пределы интегрирования: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.
Определим, какая функция больше на интервале $(0, 1)$, взяв точку $x = 0.5$:
$y_1 = (0.5)^2 = 0.25$.
$y_2 = 2(0.5) - (0.5)^2 = 1 - 0.25 = 0.75$.
Поскольку $y_2 > y_1$, на интервале $[0, 1]$ парабола $y = 2x - x^2$ лежит выше параболы $y=x^2$.
Вычислим площадь $S$ как интеграл от разности функций:
$S = \int_0^1 ((2x - x^2) - x^2) \,dx = \int_0^1 (2x - 2x^2) \,dx$
Вычисляем интеграл:
$S = \left[ 2\frac{x^2}{2} - 2\frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \left[ x^2 - \frac{2}{3}x^3 \right]_0^1 = \left(1^2 - \frac{2}{3} \cdot 1^3\right) - 0 = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$.

г) Найдем площадь фигуры, ограниченной кривыми $y = x^2$ и $y = x^3$. Найдем точки пересечения:
$x^2 = x^3$
$x^3 - x^2 = 0$
$x^2(x - 1) = 0$
Пределы интегрирования: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.
Определим верхнюю функцию на интервале $(0, 1)$, взяв точку $x = 0.5$:
$y_1 = (0.5)^2 = 0.25$.
$y_2 = (0.5)^3 = 0.125$.
Так как $y_1 > y_2$, на интервале $[0, 1]$ график $y = x^2$ находится выше графика $y = x^3$.
Площадь фигуры $S$ равна:
$S = \int_0^1 (x^2 - x^3) \,dx$
Вычисляем интеграл:
$S = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} \right]_0^1 = \left(\frac{1^3}{3} - \frac{1^4}{4}\right) - 0 = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{4 - 3}{12} = \frac{1}{12}$.
Ответ: $\frac{1}{12}$.