Номер 371, страница 198 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 3. Первообразная и интеграл. Параграф 8. Интеграл - номер 371, страница 198.

Условие.

371. Найдите объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями:
а) $y = x^2$, $y = x$;
б) $y = 2x$, $y = x + 3$, $x = 0$, $x = 1$;
в) $y = x + 2$, $y = 1$, $x = 0$, $x = 2$;
г) $y = \sqrt{x}$, $y = x$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной кривыми $y=f_1(x)$ и $y=f_2(x)$ (где на отрезке $[a, b]$ выполняется $f_1(x) \ge f_2(x) \ge 0$), вычисляется по формуле: $V = \pi \int_a^b (f_1(x)^2 - f_2(x)^2) dx$.
Сначала найдем пределы интегрирования. Для этого найдем точки пересечения графиков функций $y = x^2$ и $y = x$:
$x^2 = x \Rightarrow x^2 - x = 0 \Rightarrow x(x-1) = 0$.
Точки пересечения имеют абсциссы $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$. Таким образом, интегрирование будет производиться на отрезке $[0, 1]$.
На отрезке $[0, 1]$ график функции $y = x$ расположен выше графика функции $y = x^2$ (например, при $x=0.5$ имеем $0.5 > 0.25$). Следовательно, $f_1(x) = x$ и $f_2(x) = x^2$.
Теперь вычислим объем тела вращения:
$V = \pi \int_0^1 (x^2 - (x^2)^2) dx = \pi \int_0^1 (x^2 - x^4) dx = \pi \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{5} \right]_0^1 = \pi \left( (\frac{1^3}{3} - \frac{1^5}{5}) - (\frac{0^3}{3} - \frac{0^5}{5}) \right) = \pi \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) = \pi \left( \frac{5 - 3}{15} \right) = \frac{2\pi}{15}$.
Ответ: $\frac{2\pi}{15}$.

б) Фигура ограничена линиями $y = 2x$, $y = x + 3$, $x = 0$ и $x = 1$.
Пределы интегрирования заданы условием: $a=0$, $b=1$.
На отрезке $[0, 1]$ сравним значения функций $y=x+3$ и $y=2x$. Поскольку для любого $x \in [0, 1]$ выполняется неравенство $x \le 1 < 3$, то $2x < x+3$. Таким образом, график функции $y = x+3$ лежит выше графика функции $y=2x$.
Итак, $f_1(x) = x+3$ и $f_2(x) = 2x$.
Вычисляем объем тела вращения:
$V = \pi \int_0^1 ((x+3)^2 - (2x)^2) dx = \pi \int_0^1 (x^2 + 6x + 9 - 4x^2) dx = \pi \int_0^1 (-3x^2 + 6x + 9) dx = \pi \left[ -x^3 + 3x^2 + 9x \right]_0^1 = \pi ((-1^3 + 3 \cdot 1^2 + 9 \cdot 1) - 0) = \pi (-1 + 3 + 9) = 11\pi$.
Ответ: $11\pi$.

в) Фигура ограничена линиями $y = x + 2$, $y = 1$, $x = 0$ и $x = 2$.
Пределы интегрирования заданы: $a=0$, $b=2$.
На отрезке $[0, 2]$ сравним значения функций $y=x+2$ и $y=1$. Поскольку для любого $x \in [0, 2]$ выполняется $x \ge 0$, то $x+2 \ge 2 > 1$. Следовательно, график функции $y = x+2$ лежит выше прямой $y=1$.
Итак, $f_1(x) = x+2$ и $f_2(x) = 1$.
Вычисляем объем тела вращения:
$V = \pi \int_0^2 ((x+2)^2 - 1^2) dx = \pi \int_0^2 (x^2 + 4x + 4 - 1) dx = \pi \int_0^2 (x^2 + 4x + 3) dx = \pi \left[ \frac{x^3}{3} + 2x^2 + 3x \right]_0^2 = \pi \left( (\frac{2^3}{3} + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2) - 0 \right) = \pi \left( \frac{8}{3} + 8 + 6 \right) = \pi \left( \frac{8}{3} + 14 \right) = \pi \frac{8 + 42}{3} = \frac{50\pi}{3}$.
Ответ: $\frac{50\pi}{3}$.

г) Фигура ограничена линиями $y = \sqrt{x}$ и $y = x$.
Найдем пределы интегрирования из точек пересечения графиков:
$\sqrt{x} = x \Rightarrow x = x^2 \Rightarrow x^2 - x = 0 \Rightarrow x(x-1) = 0$.
Абсциссы точек пересечения: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$. Интегрируем на отрезке $[0, 1]$.
На отрезке $[0, 1]$ график функции $y = \sqrt{x}$ расположен выше графика функции $y = x$ (например, при $x=0.25$ имеем $\sqrt{0.25}=0.5 > 0.25$).
Следовательно, $f_1(x) = \sqrt{x}$ и $f_2(x) = x$.
Вычисляем объем тела вращения:
$V = \pi \int_0^1 ((\sqrt{x})^2 - x^2) dx = \pi \int_0^1 (x - x^2) dx = \pi \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \pi \left( (\frac{1^2}{2} - \frac{1^3}{3}) - 0 \right) = \pi \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) = \pi \left( \frac{3 - 2}{6} \right) = \frac{\pi}{6}$.
Ответ: $\frac{\pi}{6}$.