Номер 371, страница 198 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2008 - 2025

Цвет обложки: зелёный, чёрный

ISBN: 978-5-09-019513-3

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Алгебра и начала математического анализа

Популярные ГДЗ в 10 классе

Параграф 8. Интеграл. Глава 3. Первообразная и интеграл - номер 371, страница 198.

№371 (с. 198)
Условие. №371 (с. 198)
скриншот условия
Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета, страница 198, номер 371, Условие

371. Найдите объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями:
а) $y = x^2$, $y = x$;
б) $y = 2x$, $y = x + 3$, $x = 0$, $x = 1$;
в) $y = x + 2$, $y = 1$, $x = 0$, $x = 2$;
г) $y = \sqrt{x}$, $y = x$.

Решение 1. №371 (с. 198)
Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета, страница 198, номер 371, Решение 1 Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета, страница 198, номер 371, Решение 1 (продолжение 2)
Решение 3. №371 (с. 198)
Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета, страница 198, номер 371, Решение 3 Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета, страница 198, номер 371, Решение 3 (продолжение 2)
Решение 4. №371 (с. 198)
Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета, страница 198, номер 371, Решение 4
Решение 5. №371 (с. 198)

а) Объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной кривыми $y=f_1(x)$ и $y=f_2(x)$ (где на отрезке $[a, b]$ выполняется $f_1(x) \ge f_2(x) \ge 0$), вычисляется по формуле: $V = \pi \int_a^b (f_1(x)^2 - f_2(x)^2) dx$.
Сначала найдем пределы интегрирования. Для этого найдем точки пересечения графиков функций $y = x^2$ и $y = x$:
$x^2 = x \Rightarrow x^2 - x = 0 \Rightarrow x(x-1) = 0$.
Точки пересечения имеют абсциссы $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$. Таким образом, интегрирование будет производиться на отрезке $[0, 1]$.
На отрезке $[0, 1]$ график функции $y = x$ расположен выше графика функции $y = x^2$ (например, при $x=0.5$ имеем $0.5 > 0.25$). Следовательно, $f_1(x) = x$ и $f_2(x) = x^2$.
Теперь вычислим объем тела вращения:
$V = \pi \int_0^1 (x^2 - (x^2)^2) dx = \pi \int_0^1 (x^2 - x^4) dx = \pi \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{5} \right]_0^1 = \pi \left( (\frac{1^3}{3} - \frac{1^5}{5}) - (\frac{0^3}{3} - \frac{0^5}{5}) \right) = \pi \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) = \pi \left( \frac{5 - 3}{15} \right) = \frac{2\pi}{15}$.
Ответ: $\frac{2\pi}{15}$.

б) Фигура ограничена линиями $y = 2x$, $y = x + 3$, $x = 0$ и $x = 1$.
Пределы интегрирования заданы условием: $a=0$, $b=1$.
На отрезке $[0, 1]$ сравним значения функций $y=x+3$ и $y=2x$. Поскольку для любого $x \in [0, 1]$ выполняется неравенство $x \le 1 < 3$, то $2x < x+3$. Таким образом, график функции $y = x+3$ лежит выше графика функции $y=2x$.
Итак, $f_1(x) = x+3$ и $f_2(x) = 2x$.
Вычисляем объем тела вращения:
$V = \pi \int_0^1 ((x+3)^2 - (2x)^2) dx = \pi \int_0^1 (x^2 + 6x + 9 - 4x^2) dx = \pi \int_0^1 (-3x^2 + 6x + 9) dx = \pi \left[ -x^3 + 3x^2 + 9x \right]_0^1 = \pi ((-1^3 + 3 \cdot 1^2 + 9 \cdot 1) - 0) = \pi (-1 + 3 + 9) = 11\pi$.
Ответ: $11\pi$.

в) Фигура ограничена линиями $y = x + 2$, $y = 1$, $x = 0$ и $x = 2$.
Пределы интегрирования заданы: $a=0$, $b=2$.
На отрезке $[0, 2]$ сравним значения функций $y=x+2$ и $y=1$. Поскольку для любого $x \in [0, 2]$ выполняется $x \ge 0$, то $x+2 \ge 2 > 1$. Следовательно, график функции $y = x+2$ лежит выше прямой $y=1$.
Итак, $f_1(x) = x+2$ и $f_2(x) = 1$.
Вычисляем объем тела вращения:
$V = \pi \int_0^2 ((x+2)^2 - 1^2) dx = \pi \int_0^2 (x^2 + 4x + 4 - 1) dx = \pi \int_0^2 (x^2 + 4x + 3) dx = \pi \left[ \frac{x^3}{3} + 2x^2 + 3x \right]_0^2 = \pi \left( (\frac{2^3}{3} + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2) - 0 \right) = \pi \left( \frac{8}{3} + 8 + 6 \right) = \pi \left( \frac{8}{3} + 14 \right) = \pi \frac{8 + 42}{3} = \frac{50\pi}{3}$.
Ответ: $\frac{50\pi}{3}$.

г) Фигура ограничена линиями $y = \sqrt{x}$ и $y = x$.
Найдем пределы интегрирования из точек пересечения графиков:
$\sqrt{x} = x \Rightarrow x = x^2 \Rightarrow x^2 - x = 0 \Rightarrow x(x-1) = 0$.
Абсциссы точек пересечения: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$. Интегрируем на отрезке $[0, 1]$.
На отрезке $[0, 1]$ график функции $y = \sqrt{x}$ расположен выше графика функции $y = x$ (например, при $x=0.25$ имеем $\sqrt{0.25}=0.5 > 0.25$).
Следовательно, $f_1(x) = \sqrt{x}$ и $f_2(x) = x$.
Вычисляем объем тела вращения:
$V = \pi \int_0^1 ((\sqrt{x})^2 - x^2) dx = \pi \int_0^1 (x - x^2) dx = \pi \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \pi \left( (\frac{1^2}{2} - \frac{1^3}{3}) - 0 \right) = \pi \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) = \pi \left( \frac{3 - 2}{6} \right) = \frac{\pi}{6}$.
Ответ: $\frac{\pi}{6}$.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 371 расположенного на странице 198 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №371 (с. 198), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.