Номер 365, страница 193 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 8. Интеграл. Глава 3. Первообразная и интеграл - номер 365, страница 193.
№365 (с. 193)
Условие. №365 (с. 193)
скриншот условия

365. а) $y = 4x - x^2$, $y = 4 - x;$
б) $y = \frac{16}{x^2}$, $y = 2x$, $x = 4;$
в) $y = x^2$, $y = 2x;$
г) $y = 6 - 2x$, $y = 6 + x - x^2.$
Решение 1. №365 (с. 193)


Решение 3. №365 (с. 193)


Решение 4. №365 (с. 193)


Решение 5. №365 (с. 193)
а)
Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = 4x - x^2$ и $y = 4 - x$, сначала найдем точки пересечения графиков этих функций. Для этого приравняем их правые части:
$4x - x^2 = 4 - x$
$x^2 - 5x + 4 = 0$
Решая квадратное уравнение, например, по теореме Виета, находим корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 4$. Это будут пределы интегрирования.
Теперь определим, какая из функций больше на интервале $(1, 4)$. Возьмем пробную точку, например $x = 2$, и подставим в уравнения функций:
Для $y_1 = 4x - x^2$: $y_1(2) = 4(2) - 2^2 = 8 - 4 = 4$.
Для $y_2 = 4 - x$: $y_2(2) = 4 - 2 = 2$.
Так как $y_1 > y_2$ на интервале $(1, 4)$, график параболы $y = 4x - x^2$ лежит выше графика прямой $y = 4 - x$.
Площадь фигуры вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций:
$S = \int_{1}^{4} ((4x - x^2) - (4 - x)) dx = \int_{1}^{4} (-x^2 + 5x - 4) dx$
Вычисляем определенный интеграл:
$S = \left. \left( -\frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} - 4x \right) \right|_{1}^{4} = \left( -\frac{4^3}{3} + \frac{5 \cdot 4^2}{2} - 4 \cdot 4 \right) - \left( -\frac{1^3}{3} + \frac{5 \cdot 1^2}{2} - 4 \cdot 1 \right)$
$S = \left( -\frac{64}{3} + 40 - 16 \right) - \left( -\frac{1}{3} + \frac{5}{2} - 4 \right) = \left( -\frac{64}{3} + 24 \right) - \left( -\frac{2}{6} + \frac{15}{6} - \frac{24}{6} \right)$
$S = \left( \frac{-64+72}{3} \right) - \left( -\frac{11}{6} \right) = \frac{8}{3} + \frac{11}{6} = \frac{16}{6} + \frac{11}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} = 4.5$
Ответ: 4.5
б)
Рассмотрим фигуру, ограниченную линиями $y = \frac{16}{x^2}$, $y = 2x$ и $x = 4$. Сначала найдем точку пересечения кривых $y = \frac{16}{x^2}$ и $y = 2x$:
$\frac{16}{x^2} = 2x$
$16 = 2x^3$
$x^3 = 8 \implies x = 2$
Фигура ограничена слева точкой пересечения $x=2$ и справа вертикальной линией $x=4$. Таким образом, пределы интегрирования от 2 до 4.
Определим, какая функция является верхней на интервале $(2, 4)$. Возьмем пробную точку $x = 3$:
Для $y_1 = 2x$: $y_1(3) = 2 \cdot 3 = 6$.
Для $y_2 = \frac{16}{x^2}$: $y_2(3) = \frac{16}{3^2} = \frac{16}{9} \approx 1.78$.
Так как $y_1 > y_2$, на интервале $(2, 4)$ график прямой $y = 2x$ лежит выше графика $y = \frac{16}{x^2}$.
Площадь фигуры равна:
$S = \int_{2}^{4} \left( 2x - \frac{16}{x^2} \right) dx = \int_{2}^{4} (2x - 16x^{-2}) dx$
Вычисляем интеграл:
$S = \left. \left( 2\frac{x^2}{2} - 16\frac{x^{-1}}{-1} \right) \right|_{2}^{4} = \left. \left( x^2 + \frac{16}{x} \right) \right|_{2}^{4}$
$S = \left( 4^2 + \frac{16}{4} \right) - \left( 2^2 + \frac{16}{2} \right) = (16 + 4) - (4 + 8) = 20 - 12 = 8$
Ответ: 8
в)
Для нахождения площади фигуры, ограниченной параболой $y = x^2$ и прямой $y = 2x$, найдем их точки пересечения:
$x^2 = 2x$
$x^2 - 2x = 0$
$x(x - 2) = 0$
Корни уравнения: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$. Это и будут пределы интегрирования.
На интервале $(0, 2)$ выберем пробную точку $x = 1$ для определения верхней функции:
Для $y_1 = 2x$: $y_1(1) = 2 \cdot 1 = 2$.
Для $y_2 = x^2$: $y_2(1) = 1^2 = 1$.
Так как $y_1 > y_2$, прямая $y = 2x$ находится выше параболы $y = x^2$ на данном интервале.
Площадь вычисляется по формуле:
$S = \int_{0}^{2} (2x - x^2) dx$
Вычисляем определенный интеграл:
$S = \left. \left( 2\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right) \right|_{0}^{2} = \left. \left( x^2 - \frac{x^3}{3} \right) \right|_{0}^{2}$
$S = \left( 2^2 - \frac{2^3}{3} \right) - (0^2 - \frac{0^3}{3}) = 4 - \frac{8}{3} = \frac{12 - 8}{3} = \frac{4}{3}$
Ответ: $\frac{4}{3}$
г)
Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями $y = 6 - 2x$ и $y = 6 + x - x^2$. Для этого сначала определим пределы интегрирования, найдя точки пересечения графиков:
$6 - 2x = 6 + x - x^2$
$x^2 - 3x = 0$
$x(x - 3) = 0$
Точки пересечения: $x_1 = 0$, $x_2 = 3$.
Определим, какая из функций больше на интервале $(0, 3)$. Возьмем пробную точку $x = 1$:
Для $y_1 = 6 + x - x^2$: $y_1(1) = 6 + 1 - 1^2 = 6$.
Для $y_2 = 6 - 2x$: $y_2(1) = 6 - 2 \cdot 1 = 4$.
На интервале $(0, 3)$ график функции $y = 6 + x - x^2$ лежит выше графика $y = 6 - 2x$.
Площадь фигуры равна интегралу от разности функций:
$S = \int_{0}^{3} ((6 + x - x^2) - (6 - 2x)) dx = \int_{0}^{3} (-x^2 + 3x) dx$
Вычисляем интеграл:
$S = \left. \left( -\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} \right) \right|_{0}^{3} = \left( -\frac{3^3}{3} + \frac{3 \cdot 3^2}{2} \right) - \left( -\frac{0^3}{3} + \frac{3 \cdot 0^2}{2} \right)$
$S = \left( -9 + \frac{27}{2} \right) - 0 = \frac{-18 + 27}{2} = \frac{9}{2} = 4.5$
Ответ: 4.5
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 365 расположенного на странице 193 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №365 (с. 193), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.