Номер 365, страница 193 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 3. Первообразная и интеграл. Параграф 8. Интеграл - номер 365, страница 193.

Условие.

365. а) $y = 4x - x^2$, $y = 4 - x;$

б) $y = \frac{16}{x^2}$, $y = 2x$, $x = 4;$

в) $y = x^2$, $y = 2x;$

г) $y = 6 - 2x$, $y = 6 + x - x^2.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = 4x - x^2$ и $y = 4 - x$, сначала найдем точки пересечения графиков этих функций. Для этого приравняем их правые части:

$4x - x^2 = 4 - x$

$x^2 - 5x + 4 = 0$

Решая квадратное уравнение, например, по теореме Виета, находим корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 4$. Это будут пределы интегрирования.

Теперь определим, какая из функций больше на интервале $(1, 4)$. Возьмем пробную точку, например $x = 2$, и подставим в уравнения функций:

Для $y_1 = 4x - x^2$: $y_1(2) = 4(2) - 2^2 = 8 - 4 = 4$.

Для $y_2 = 4 - x$: $y_2(2) = 4 - 2 = 2$.

Так как $y_1 > y_2$ на интервале $(1, 4)$, график параболы $y = 4x - x^2$ лежит выше графика прямой $y = 4 - x$.

Площадь фигуры вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций:

$S = \int_{1}^{4} ((4x - x^2) - (4 - x)) dx = \int_{1}^{4} (-x^2 + 5x - 4) dx$

Вычисляем определенный интеграл:

$S = \left. \left( -\frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} - 4x \right) \right|_{1}^{4} = \left( -\frac{4^3}{3} + \frac{5 \cdot 4^2}{2} - 4 \cdot 4 \right) - \left( -\frac{1^3}{3} + \frac{5 \cdot 1^2}{2} - 4 \cdot 1 \right)$

$S = \left( -\frac{64}{3} + 40 - 16 \right) - \left( -\frac{1}{3} + \frac{5}{2} - 4 \right) = \left( -\frac{64}{3} + 24 \right) - \left( -\frac{2}{6} + \frac{15}{6} - \frac{24}{6} \right)$

$S = \left( \frac{-64+72}{3} \right) - \left( -\frac{11}{6} \right) = \frac{8}{3} + \frac{11}{6} = \frac{16}{6} + \frac{11}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} = 4.5$

Ответ: 4.5

б)

Рассмотрим фигуру, ограниченную линиями $y = \frac{16}{x^2}$, $y = 2x$ и $x = 4$. Сначала найдем точку пересечения кривых $y = \frac{16}{x^2}$ и $y = 2x$:

$\frac{16}{x^2} = 2x$

$16 = 2x^3$

$x^3 = 8 \implies x = 2$

Фигура ограничена слева точкой пересечения $x=2$ и справа вертикальной линией $x=4$. Таким образом, пределы интегрирования от 2 до 4.

Определим, какая функция является верхней на интервале $(2, 4)$. Возьмем пробную точку $x = 3$:

Для $y_1 = 2x$: $y_1(3) = 2 \cdot 3 = 6$.

Для $y_2 = \frac{16}{x^2}$: $y_2(3) = \frac{16}{3^2} = \frac{16}{9} \approx 1.78$.

Так как $y_1 > y_2$, на интервале $(2, 4)$ график прямой $y = 2x$ лежит выше графика $y = \frac{16}{x^2}$.

Площадь фигуры равна:

$S = \int_{2}^{4} \left( 2x - \frac{16}{x^2} \right) dx = \int_{2}^{4} (2x - 16x^{-2}) dx$

Вычисляем интеграл:

$S = \left. \left( 2\frac{x^2}{2} - 16\frac{x^{-1}}{-1} \right) \right|_{2}^{4} = \left. \left( x^2 + \frac{16}{x} \right) \right|_{2}^{4}$

$S = \left( 4^2 + \frac{16}{4} \right) - \left( 2^2 + \frac{16}{2} \right) = (16 + 4) - (4 + 8) = 20 - 12 = 8$

Ответ: 8

в)

Для нахождения площади фигуры, ограниченной параболой $y = x^2$ и прямой $y = 2x$, найдем их точки пересечения:

$x^2 = 2x$

$x^2 - 2x = 0$

$x(x - 2) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$. Это и будут пределы интегрирования.

На интервале $(0, 2)$ выберем пробную точку $x = 1$ для определения верхней функции:

Для $y_1 = 2x$: $y_1(1) = 2 \cdot 1 = 2$.

Для $y_2 = x^2$: $y_2(1) = 1^2 = 1$.

Так как $y_1 > y_2$, прямая $y = 2x$ находится выше параболы $y = x^2$ на данном интервале.

Площадь вычисляется по формуле:

$S = \int_{0}^{2} (2x - x^2) dx$

Вычисляем определенный интеграл:

$S = \left. \left( 2\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right) \right|_{0}^{2} = \left. \left( x^2 - \frac{x^3}{3} \right) \right|_{0}^{2}$

$S = \left( 2^2 - \frac{2^3}{3} \right) - (0^2 - \frac{0^3}{3}) = 4 - \frac{8}{3} = \frac{12 - 8}{3} = \frac{4}{3}$

Ответ: $\frac{4}{3}$

г)

Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями $y = 6 - 2x$ и $y = 6 + x - x^2$. Для этого сначала определим пределы интегрирования, найдя точки пересечения графиков:

$6 - 2x = 6 + x - x^2$

$x^2 - 3x = 0$

$x(x - 3) = 0$

Точки пересечения: $x_1 = 0$, $x_2 = 3$.

Определим, какая из функций больше на интервале $(0, 3)$. Возьмем пробную точку $x = 1$:

Для $y_1 = 6 + x - x^2$: $y_1(1) = 6 + 1 - 1^2 = 6$.

Для $y_2 = 6 - 2x$: $y_2(1) = 6 - 2 \cdot 1 = 4$.

На интервале $(0, 3)$ график функции $y = 6 + x - x^2$ лежит выше графика $y = 6 - 2x$.

Площадь фигуры равна интегралу от разности функций:

$S = \int_{0}^{3} ((6 + x - x^2) - (6 - 2x)) dx = \int_{0}^{3} (-x^2 + 3x) dx$

Вычисляем интеграл:

$S = \left. \left( -\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} \right) \right|_{0}^{3} = \left( -\frac{3^3}{3} + \frac{3 \cdot 3^2}{2} \right) - \left( -\frac{0^3}{3} + \frac{3 \cdot 0^2}{2} \right)$

$S = \left( -9 + \frac{27}{2} \right) - 0 = \frac{-18 + 27}{2} = \frac{9}{2} = 4.5$

Ответ: 4.5