Номер 380, страница 199 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 3. Первообразная и интеграл. Параграф 8. Интеграл - номер 380, страница 199.

Условие.

380. Найдите центр масс однородного прямого кругового конуса.

Решение 1.

Решение 5.

Для нахождения центра масс однородного прямого кругового конуса воспользуемся методом интегрирования.

Расположим конус в системе координат так, чтобы его вершина находилась в начале координат $(0, 0, 0)$, а ось симметрии совпадала с осью $Oz$. Основание конуса будет лежать в плоскости $z=H$, где $H$ — высота конуса, а радиус основания равен $R$.

Поскольку конус является телом вращения и однороден (имеет постоянную плотность $\rho$), его центр масс будет лежать на оси симметрии, то есть на оси $Oz$. Это означает, что координаты центра масс по осям $x$ и $y$ равны нулю: $x_{цм} = 0$, $y_{цм} = 0$. Нам остаётся найти только $z$-координату центра масс, $z_{цм}$.

Координата $z_{цм}$ для непрерывного распределения массы вычисляется по формуле:$z_{цм} = \frac{\int_V z \, dm}{\int_V dm}$где $dm$ — элемент массы, а интегрирование производится по всему объему конуса $V$.

Так как конус однородный, элемент массы $dm$ можно выразить через элемент объёма $dV$: $dm = \rho \, dV$. Плотность $\rho$ является константой и сокращается:$z_{цм} = \frac{\int_V z \rho \, dV}{\int_V \rho \, dV} = \frac{\rho \int_V z \, dV}{\rho \int_V dV} = \frac{\int_V z \, dV}{V}$где $V = \int_V dV$ — полный объем конуса.

Разобьем конус на бесконечно тонкие горизонтальные диски толщиной $dz$, расположенные на высоте $z$ от вершины. Радиус такого диска, обозначим его $r(z)$, зависит от высоты $z$. Из подобия треугольников в осевом сечении конуса имеем соотношение:$\frac{r(z)}{z} = \frac{R}{H}$Отсюда радиус диска на высоте $z$:$r(z) = \frac{R}{H}z$

Объем элементарного диска $dV$ равен площади его основания, умноженной на толщину $dz$:$dV = \pi [r(z)]^2 \, dz = \pi \left(\frac{R}{H}z\right)^2 \, dz = \pi \frac{R^2}{H^2}z^2 \, dz$

Теперь вычислим интеграл в числителе. Интегрирование проводится по всей высоте конуса от $z=0$ (вершина) до $z=H$ (основание):$\int_V z \, dV = \int_0^H z \left(\pi \frac{R^2}{H^2}z^2\right) \, dz = \pi \frac{R^2}{H^2} \int_0^H z^3 \, dz$$= \pi \frac{R^2}{H^2} \left[ \frac{z^4}{4} \right]_0^H = \pi \frac{R^2}{H^2} \left( \frac{H^4}{4} - 0 \right) = \frac{1}{4}\pi R^2 H^2$

Знаменатель в формуле для $z_{цм}$ — это объем конуса $V$. Его можно найти, проинтегрировав $dV$, либо воспользовавшись известной формулой:$V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$

Наконец, находим $z_{цм}$:$z_{цм} = \frac{\int_V z \, dV}{V} = \frac{\frac{1}{4}\pi R^2 H^2}{\frac{1}{3}\pi R^2 H} = \frac{3}{4}H$

Это значение представляет собой расстояние от вершины конуса. Расстояние от основания конуса будет равно $H - z_{цм} = H - \frac{3}{4}H = \frac{1}{4}H$. Таким образом, центр масс расположен на оси конуса на высоте, равной одной четверти его полной высоты, если измерять от основания.

Ответ: Центр масс однородного прямого кругового конуса находится на его оси симметрии на расстоянии $\frac{1}{4}$ высоты от основания.