Номер 5, страница 206 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Вопросы и задачи на повторение. Глава 3. Первообразная и интеграл - номер 5, страница 206.
№5 (с. 206)
Условие. №5 (с. 206)
скриншот условия

5. 1) Объясните, что такое интеграл.
2) Запишите формулу Ньютона — Лейбница. Вычислите интеграл:
а) $\int_{-3}^{3} \frac{dx}{(x+10)^2};$
б) $\int_{1}^{2} \frac{dx}{\sqrt{x}};$
в) $\int_{\frac{\pi}{3}}^{\pi} \sin x \, dx;$
г) $\int_{0}^{3} x^2 \, dx.$
3) Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) $y = x^2, y = 3x;$
б) $y = x^2 - 4x + 6, y = 1, x = 1, x = 3;$
в) $y = 4 - x^2, y = 3;$
г) $y = \cos x, y = 1, x = -\frac{\pi}{2}, x = \frac{\pi}{2}.$
Решение 5. №5 (с. 206)
1) Объясните, что такое интеграл.
Интеграл — это одно из центральных понятий в математическом анализе, которое обобщает понятие суммы. Существует два основных вида интеграла: неопределенный и определенный.
Неопределенный интеграл функции $f(x)$ — это совокупность всех её первообразных. Первообразной для функции $f(x)$ называется такая функция $F(x)$, производная которой равна исходной функции $f(x)$, то есть $F'(x) = f(x)$. Поскольку производная константы равна нулю, если $F(x)$ является первообразной, то и любая функция вида $F(x) + C$, где $C$ — произвольная постоянная, также будет первообразной. Неопределенный интеграл обозначается символом $\int$ и записывается как:
$\int f(x)dx = F(x) + C$
Определенный интеграл функции $f(x)$ на отрезке $[a, b]$, обозначаемый как $\int_a^b f(x)dx$, имеет наглядный геометрический смысл. Если функция $f(x)$ неотрицательна и непрерывна на этом отрезке, то определенный интеграл численно равен площади криволинейной трапеции — фигуры, ограниченной графиком функции $y = f(x)$, осью абсцисс (Ox) и вертикальными прямыми $x = a$ и $x = b$. В более общем смысле, определенный интеграл является пределом интегральных сумм, что позволяет использовать его для вычисления не только площадей, но и объемов тел, длины дуги кривой, работы переменной силы и других физических и геометрических величин.
2) Запишите формулу Ньютона — Лейбница. Вычислите интеграл:
Формула Ньютона-Лейбница — основная теорема анализа, которая связывает операции дифференцирования и интегрирования. Она утверждает, что если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a, b]$ и $F(x)$ является любой её первообразной на этом отрезке (то есть $F'(x) = f(x)$), то определенный интеграл от $f(x)$ по отрезку $[a, b]$ равен разности значений первообразной на концах отрезка:
$\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$
а) $\int_{-3}^{3} \frac{dx}{(x + 10)^2}$
Первообразная для подынтегральной функции $f(x) = \frac{1}{(x+10)^2} = (x+10)^{-2}$ находится по формуле для степенной функции: $F(x) = \frac{(x+10)^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x+10}$.
Применяем формулу Ньютона-Лейбница:
$\int_{-3}^{3} \frac{dx}{(x + 10)^2} = \left[-\frac{1}{x+10}\right]_{-3}^{3} = \left(-\frac{1}{3+10}\right) - \left(-\frac{1}{-3+10}\right) = -\frac{1}{13} - \left(-\frac{1}{7}\right) = -\frac{1}{13} + \frac{1}{7} = \frac{-7 \cdot 1 + 13 \cdot 1}{91} = \frac{6}{91}$.
Ответ: $\frac{6}{91}$.
б) $\int_{1}^{2} \frac{dx}{\sqrt{x}}$
Представим подынтегральную функцию в виде степени: $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}$. Первообразная для нее: $F(x) = \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} = \frac{x^{1/2}}{1/2} = 2\sqrt{x}$.
Вычисляем интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:
$\int_{1}^{2} \frac{dx}{\sqrt{x}} = \left[2\sqrt{x}\right]_{1}^{2} = 2\sqrt{2} - 2\sqrt{1} = 2\sqrt{2} - 2$.
Ответ: $2\sqrt{2} - 2$.
в) $\int_{\frac{\pi}{3}}^{\pi} \sin x dx$
Первообразная для функции $f(x) = \sin x$ есть $F(x) = -\cos x$.
Вычисляем интеграл:
$\int_{\frac{\pi}{3}}^{\pi} \sin x dx = \left[-\cos x\right]_{\frac{\pi}{3}}^{\pi} = (-\cos \pi) - (-\cos \frac{\pi}{3}) = -(-1) - (-\frac{1}{2}) = 1 + \frac{1}{2} = 1.5$.
Ответ: $1.5$.
г) $\int_{0}^{3} x^2 dx$
Первообразная для функции $f(x) = x^2$ есть $F(x) = \frac{x^3}{3}$.
Вычисляем интеграл:
$\int_{0}^{3} x^2 dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{3} = \frac{3^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{27}{3} - 0 = 9$.
Ответ: $9$.
3) Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) $y = x^2, y = 3x$
Найдем пределы интегрирования, решив уравнение $x^2 = 3x$. Это дает $x^2 - 3x = 0$, или $x(x-3) = 0$, откуда $x_1 = 0, x_2 = 3$. На интервале $(0, 3)$ график прямой $y=3x$ лежит выше графика параболы $y=x^2$ (например, при $x=1$ имеем $3 \cdot 1 > 1^2$).
Площадь фигуры $S$ равна интегралу от разности верхней и нижней функций:
$S = \int_{0}^{3} (3x - x^2)dx = \left[\frac{3x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_{0}^{3} = \left(\frac{3 \cdot 3^2}{2} - \frac{3^3}{3}\right) - \left(\frac{3 \cdot 0^2}{2} - \frac{0^3}{3}\right) = \frac{27}{2} - 9 = \frac{27 - 18}{2} = \frac{9}{2} = 4.5$.
Ответ: $4.5$.
б) $y = x^2 - 4x + 6, y = 1, x = 1, x = 3$
Фигура ограничена параболой, прямой $y=1$ и двумя вертикальными прямыми $x=1$ и $x=3$, которые задают пределы интегрирования. Чтобы определить, какая функция является верхней, найдем вершину параболы $y = x^2 - 4x + 6$: $x_v = -\frac{-4}{2(1)} = 2$. Значение в вершине $y_v = 2^2 - 4(2) + 6 = 2$. Поскольку $2 > 1$ и ветви параболы направлены вверх, на всем отрезке $[1, 3]$ график параболы лежит выше прямой $y=1$.
Площадь фигуры:
$S = \int_{1}^{3} \left((x^2 - 4x + 6) - 1\right)dx = \int_{1}^{3} (x^2 - 4x + 5)dx = \left[\frac{x^3}{3} - \frac{4x^2}{2} + 5x\right]_{1}^{3} = \left[\frac{x^3}{3} - 2x^2 + 5x\right]_{1}^{3}$
$= \left(\frac{3^3}{3} - 2 \cdot 3^2 + 5 \cdot 3\right) - \left(\frac{1^3}{3} - 2 \cdot 1^2 + 5 \cdot 1\right) = (9 - 18 + 15) - (\frac{1}{3} - 2 + 5) = 6 - (\frac{1}{3} + 3) = 6 - \frac{10}{3} = \frac{18 - 10}{3} = \frac{8}{3}$.
Ответ: $\frac{8}{3}$.
в) $y = 4 - x^2, y = 3$
Найдем пределы интегрирования из условия $4 - x^2 = 3$, что дает $x^2 = 1$, откуда $x_1 = -1, x_2 = 1$. Парабола $y=4-x^2$ имеет ветви, направленные вниз, и вершину в точке $(0,4)$. На интервале $(-1, 1)$ она лежит выше прямой $y=3$.
Площадь фигуры:
$S = \int_{-1}^{1} \left((4 - x^2) - 3\right)dx = \int_{-1}^{1} (1 - x^2)dx = \left[x - \frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{1}$
$= \left(1 - \frac{1^3}{3}\right) - \left(-1 - \frac{(-1)^3}{3}\right) = \left(1 - \frac{1}{3}\right) - \left(-1 + \frac{1}{3}\right) = \frac{2}{3} - \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$.
Ответ: $\frac{4}{3}$.
г) $y = \cos x, y = 1, x = -\frac{\pi}{2}, x = \frac{\pi}{2}$
Пределы интегрирования заданы: от $x = -\frac{\pi}{2}$ до $x = \frac{\pi}{2}$. На этом интервале значение функции $\cos x$ изменяется от $0$ до $1$ и обратно до $0$, то есть $\cos x \le 1$. Таким образом, верхняя граница фигуры — прямая $y=1$, а нижняя — кривая $y = \cos x$.
Площадь фигуры:
$S = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} (1 - \cos x)dx = \left[x - \sin x\right]_{-\pi/2}^{\pi/2}$
$= \left(\frac{\pi}{2} - \sin(\frac{\pi}{2})\right) - \left(-\frac{\pi}{2} - \sin(-\frac{\pi}{2})\right) = \left(\frac{\pi}{2} - 1\right) - \left(-\frac{\pi}{2} - (-1)\right) = \frac{\pi}{2} - 1 - (-\frac{\pi}{2} + 1) = \frac{\pi}{2} - 1 + \frac{\pi}{2} - 1 = \pi - 2$.
Ответ: $\pi - 2$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 5 расположенного на странице 206 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №5 (с. 206), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.