Страница 216 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Решите уравнения (417—420).

417.

а) $\sqrt{x^4 + 19} = 10;$

б) $\sqrt[3]{x^2 - 28} = 2;$

в) $\sqrt{61 - x^2} = 5;$

г) $\sqrt[3]{x - 9} = -3.$

а)

Дано иррациональное уравнение $\sqrt{x^4 + 19} = 10$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием неотрицательности подкоренного выражения: $x^4 + 19 \ge 0$. Так как $x^4$ всегда неотрицательно для любого действительного $x$, то $x^4 + 19$ всегда будет положительным числом. Следовательно, ОДЗ — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).

Для решения уравнения возведем обе его части в квадрат:

$(\sqrt{x^4 + 19})^2 = 10^2$

$x^4 + 19 = 100$

Перенесем 19 в правую часть уравнения, чтобы выразить $x^4$:

$x^4 = 100 - 19$

$x^4 = 81$

Теперь найдем значения $x$, извлекая корень четвертой степени. Так как степень четная, будет два действительных корня:

$x = \pm \sqrt[4]{81}$

Поскольку $3^4 = 81$, то $\sqrt[4]{81} = 3$.

$x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

Ответ: $x = \pm 3$.

б)

Дано уравнение $\sqrt[3]{x^2 - 28} = 2$.

Поскольку корень нечетной (третьей) степени определен для любого действительного числа, ограничений на область допустимых значений $x$ нет.

Для решения возведем обе части уравнения в куб:

$(\sqrt[3]{x^2 - 28})^3 = 2^3$

$x^2 - 28 = 8$

Перенесем -28 в правую часть:

$x^2 = 8 + 28$

$x^2 = 36$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x = \pm \sqrt{36}$

$x_1 = 6$ и $x_2 = -6$.

Ответ: $x = \pm 6$.

в)

Дано уравнение $\sqrt{61 - x^2} = 5$.

ОДЗ: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть $61 - x^2 \ge 0$, что эквивалентно $x^2 \le 61$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{61 - x^2})^2 = 5^2$

$61 - x^2 = 25$

Выразим $x^2$:

$x^2 = 61 - 25$

$x^2 = 36$

Найдем значения $x$:

$x = \pm \sqrt{36}$

$x_1 = 6$ и $x_2 = -6$.

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию ОДЗ ($x^2 \le 61$):

Для $x=6$: $6^2 = 36$, $36 \le 61$. Условие выполняется.

Для $x=-6$: $(-6)^2 = 36$, $36 \le 61$. Условие выполняется.

Оба корня подходят.

Ответ: $x = \pm 6$.

г)

Дано уравнение $\sqrt[3]{x - 9} = -3$.

Так как корень нечетной степени, ОДЗ — все действительные числа. Корень нечетной степени может быть отрицательным.

Возведем обе части уравнения в третью степень:

$(\sqrt[3]{x - 9})^3 = (-3)^3$

$x - 9 = -27$

Выразим $x$:

$x = -27 + 9$

$x = -18$

Проверка: $\sqrt[3]{-18 - 9} = \sqrt[3]{-27} = -3$. Равенство верно.

Ответ: $x = -18$.

418.-

a) $\sqrt{x+1} = x-5;$

б) $x+\sqrt{2x+3} = 6;$

в) $\sqrt{2x-1} = x-2;$

г) $3+\sqrt{3x+1} = x.$

а)

Дано иррациональное уравнение $\sqrt{x+1} = x-5$.

Для решения найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным, и правая часть уравнения, равная арифметическому корню, также должна быть неотрицательной.

$\begin{cases} x+1 \ge 0 \\ x-5 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -1 \\ x \ge 5 \end{cases} \implies x \in [5, +\infty)$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x+1})^2 = (x-5)^2$

$x+1 = x^2 - 10x + 25$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - 10x - x + 25 - 1 = 0$

$x^2 - 11x + 24 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета. Ищем два числа, сумма которых равна 11, а произведение равно 24. Это числа 3 и 8.

$x_1 = 3$, $x_2 = 8$.

Теперь проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ ($x \ge 5$).

Корень $x_1 = 3$ не удовлетворяет условию $3 \ge 5$, следовательно, это посторонний корень.

Корень $x_2 = 8$ удовлетворяет условию $8 \ge 5$.

Выполним проверку, подставив $x=8$ в исходное уравнение:

$\sqrt{8+1} = 8-5$

$\sqrt{9} = 3$

$3 = 3$

Равенство верное, значит, корень найден правильно.

Ответ: 8

б)

Дано уравнение $x + \sqrt{2x+3} = 6$.

Для решения сначала изолируем радикал:

$\sqrt{2x+3} = 6-x$

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 2x+3 \ge 0 \\ 6-x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 2x \ge -3 \\ x \le 6 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -1.5 \\ x \le 6 \end{cases} \implies x \in [-1.5, 6]$.

Возведем обе части уравнения $\sqrt{2x+3} = 6-x$ в квадрат:

$(\sqrt{2x+3})^2 = (6-x)^2$

$2x+3 = 36 - 12x + x^2$

Приведем к стандартному квадратному уравнению:

$x^2 - 12x - 2x + 36 - 3 = 0$

$x^2 - 14x + 33 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 14, а произведение 33. Корни: 3 и 11.

$x_1 = 3$, $x_2 = 11$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \in [-1.5, 6]$).

Корень $x_1 = 3$ удовлетворяет ОДЗ, так как $-1.5 \le 3 \le 6$.

Корень $x_2 = 11$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $11 > 6$. Это посторонний корень.

Проверим найденный корень $x=3$ подстановкой в исходное уравнение:

$3 + \sqrt{2(3)+3} = 6$

$3 + \sqrt{6+3} = 6$

$3 + \sqrt{9} = 6$

$3 + 3 = 6$

$6 = 6$

Равенство верное.

Ответ: 3

в)

Дано уравнение $\sqrt{2x-1} = x-2$.

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 2x-1 \ge 0 \\ x-2 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 2x \ge 1 \\ x \ge 2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 0.5 \\ x \ge 2 \end{cases} \implies x \in [2, +\infty)$.

Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{2x-1})^2 = (x-2)^2$

$2x-1 = x^2 - 4x + 4$

Приведем к стандартному виду:

$x^2 - 4x - 2x + 4 + 1 = 0$

$x^2 - 6x + 5 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 6, произведение 5. Корни: 1 и 5.

$x_1 = 1$, $x_2 = 5$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 2$).

Корень $x_1 = 1$ не удовлетворяет условию $1 \ge 2$, значит, это посторонний корень.

Корень $x_2 = 5$ удовлетворяет условию $5 \ge 2$.

Проверим $x=5$ подстановкой в исходное уравнение:

$\sqrt{2(5)-1} = 5-2$

$\sqrt{10-1} = 3$

$\sqrt{9} = 3$

$3 = 3$

Равенство верное.

Ответ: 5

г)

Дано уравнение $3 + \sqrt{3x+1} = x$.

Изолируем радикал:

$\sqrt{3x+1} = x-3$

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 3x+1 \ge 0 \\ x-3 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 3x \ge -1 \\ x \ge 3 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -1/3 \\ x \ge 3 \end{cases} \implies x \in [3, +\infty)$.

Возведем обе части уравнения $\sqrt{3x+1} = x-3$ в квадрат:

$(\sqrt{3x+1})^2 = (x-3)^2$

$3x+1 = x^2 - 6x + 9$

Приведем к стандартному виду:

$x^2 - 6x - 3x + 9 - 1 = 0$

$x^2 - 9x + 8 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 9, произведение 8. Корни: 1 и 8.

$x_1 = 1$, $x_2 = 8$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 3$).

Корень $x_1 = 1$ не удовлетворяет условию $1 \ge 3$, следовательно, это посторонний корень.

Корень $x_2 = 8$ удовлетворяет условию $8 \ge 3$.

Проверим $x=8$ подстановкой в исходное уравнение:

$3 + \sqrt{3(8)+1} = 8$

$3 + \sqrt{24+1} = 8$

$3 + \sqrt{25} = 8$

$3 + 5 = 8$

$8 = 8$

Равенство верное.

Ответ: 8

419. а) $\sqrt{2x+1} = \sqrt{x^2-2x+4};$

б) $\sqrt{x} = \sqrt{x^2-x-3};$

в) $\sqrt{x+2} = \sqrt{2x-3};$

г) $\sqrt{9-x^2} = \sqrt{x+9}.$

а) Исходное уравнение: $\sqrt{2x+1} = \sqrt{x^2-2x+4}$.

Уравнение вида $\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}$ равносильно системе, в которой подкоренные выражения равны, и одно из них (любое, но лучше выбрать более простое) неотрицательно. Составим систему:

$\begin{cases} 2x+1 = x^2-2x+4, \\ 2x+1 \ge 0. \end{cases}$

Заметим, что второе подкоренное выражение $x^2-2x+4$ всегда положительно, так как его дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12 < 0$, а старший коэффициент положителен.

Решим первое уравнение системы, которое является квадратным:

$x^2 - 2x - 2x + 4 - 1 = 0$

$x^2 - 4x + 3 = 0$

Корни этого уравнения можно найти по теореме Виета. Сумма корней равна 4, а произведение равно 3. Таким образом, корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни второму условию системы: $2x+1 \ge 0$, что эквивалентно $x \ge -0.5$.

Для $x_1 = 1$: $1 \ge -0.5$. Условие выполняется.

Для $x_2 = 3$: $3 \ge -0.5$. Условие выполняется.

Оба корня подходят.

Ответ: $1, 3$.

б) Исходное уравнение: $\sqrt{x} = \sqrt{x^2-x-3}$.

Составим равносильную систему, выбрав для проверки на неотрицательность более простое выражение $x$:

$\begin{cases} x = x^2-x-3, \\ x \ge 0. \end{cases}$

Решим первое уравнение системы:

$x^2 - x - x - 3 = 0$

$x^2 - 2x - 3 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна 2, а произведение -3. Корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.

Проверим соответствие корней условию $x \ge 0$.

Для $x_1 = 3$: $3 \ge 0$. Условие выполняется.

Для $x_2 = -1$: $-1 \ge 0$. Условие не выполняется, поэтому $x=-1$ — посторонний корень.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $3$.

в) Исходное уравнение: $\sqrt{x+2} = \sqrt{2x-3}$.

Составим равносильную систему:

$\begin{cases} x+2 = 2x-3, \\ 2x-3 \ge 0. \end{cases}$

Решим первое, линейное уравнение:

$2+3 = 2x-x$

$x = 5$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень $x=5$ условию $2x-3 \ge 0$.

$2(5) - 3 = 10 - 3 = 7$.

Так как $7 \ge 0$, условие выполняется. Корень $x=5$ является решением.

Ответ: $5$.

г) Исходное уравнение: $\sqrt{9-x^2} = \sqrt{x+9}$.

Составим равносильную систему, выбрав для проверки более простое выражение $x+9$:

$\begin{cases} 9-x^2 = x+9, \\ x+9 \ge 0. \end{cases}$

Решим первое уравнение системы:

$9 - x^2 - x - 9 = 0$

$-x^2 - x = 0$

$x^2 + x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x+1) = 0$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = -1$.

Проверим выполнение условия $x+9 \ge 0$, что эквивалентно $x \ge -9$.

Для $x_1 = 0$: $0 \ge -9$. Условие выполняется.

Для $x_2 = -1$: $-1 \ge -9$. Условие выполняется.

Оба корня являются решениями уравнения.

Ответ: $-1, 0$.

420. a) $x = \sqrt[3]{x^3 + x^2 - 6x + 8};$

б) $x - 2 = \sqrt[3]{x^2 - 8};$

в) $x = \sqrt[3]{x^3 - x^2 - 8x + 20};$

г) $x + 1 = \sqrt[3]{x^3 + 2x^2 + x}.$

а) Дано уравнение $x = \sqrt[3]{x^3 + x^2 - 6x + 8}$.
Чтобы решить это иррациональное уравнение, возведем обе его части в третью степень. Это равносильное преобразование, так как кубический корень определен для любого действительного числа.
$x^3 = (\sqrt[3]{x^3 + x^2 - 6x + 8})^3$
$x^3 = x^3 + x^2 - 6x + 8$
Вычтем $x^3$ из обеих частей уравнения:
$0 = x^2 - 6x + 8$
Мы получили квадратное уравнение. Решим его. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 6, а их произведение равно 8. Корнями являются числа 2 и 4.
Также можно найти корни через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4 = 2^2$
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm 2}{2}$
$x_1 = \frac{6 + 2}{2} = 4$
$x_2 = \frac{6 - 2}{2} = 2$
Ответ: $x=2, x=4$.

б) Дано уравнение $x - 2 = \sqrt[3]{x^2 - 8}$.
Возведем обе части уравнения в третью степень:
$(x - 2)^3 = (\sqrt[3]{x^2 - 8})^3$
$(x - 2)^3 = x^2 - 8$
Используем формулу куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ для левой части:
$x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 - 2^3 = x^2 - 8$
$x^3 - 6x^2 + 12x - 8 = x^2 - 8$
Перенесем все слагаемые в одну сторону:
$x^3 - 6x^2 - x^2 + 12x - 8 + 8 = 0$
$x^3 - 7x^2 + 12x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x^2 - 7x + 12) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
1) $x_1 = 0$
2) $x^2 - 7x + 12 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 7, произведение равно 12. Следовательно, $x_2 = 3$ и $x_3 = 4$.
Таким образом, уравнение имеет три корня.
Ответ: $x=0, x=3, x=4$.

в) Дано уравнение $x = \sqrt[3]{x^3 - x^2 - 8x + 20}$.
Возведем обе части уравнения в третью степень:
$x^3 = (\sqrt[3]{x^3 - x^2 - 8x + 20})^3$
$x^3 = x^3 - x^2 - 8x + 20$
Упростим уравнение, вычитая $x^3$ из обеих частей:
$0 = -x^2 - 8x + 20$
Умножим на -1:
$x^2 + 8x - 20 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 64 + 80 = 144 = 12^2$
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 \pm 12}{2}$
$x_1 = \frac{-8 + 12}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$x_2 = \frac{-8 - 12}{2} = \frac{-20}{2} = -10$
Ответ: $x=-10, x=2$.

г) Дано уравнение $x + 1 = \sqrt[3]{x^3 + 2x^2 + x}$.
Возведем обе части уравнения в куб:
$(x + 1)^3 = (\sqrt[3]{x^3 + 2x^2 + x})^3$
$(x + 1)^3 = x^3 + 2x^2 + x$
Используем формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ для левой части:
$x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 1 + 3 \cdot x \cdot 1^2 + 1^3 = x^3 + 2x^2 + x$
$x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = x^3 + 2x^2 + x$
Перенесем все слагаемые в левую часть:
$(x^3 - x^3) + (3x^2 - 2x^2) + (3x - x) + 1 = 0$
$x^2 + 2x + 1 = 0$
Левая часть является полным квадратом:
$(x + 1)^2 = 0$
Отсюда получаем единственное решение:
$x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$
Ответ: $x=-1$.