Страница 223 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

438.- Упростите выражение:

а) $\frac{a-1}{a^{\frac{3}{4}}+a^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{a}+\sqrt[4]{a}}{\sqrt{a}+1} \cdot a^{\frac{1}{4}}+1;$

б) $\left( \frac{\sqrt[4]{x^3}-\sqrt[4]{x}}{1-\sqrt{x}} + \frac{1+\sqrt{x}}{\sqrt[4]{x}} \right)^2 \cdot \left( 1 + \frac{2}{\sqrt{x}} + \frac{1}{x} \right)^{-\frac{1}{2}};$

В) $\frac{a^{\frac{4}{3}}-27a^{\frac{1}{3}}b}{a^{\frac{2}{3}}+3a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}+9b^{\frac{2}{3}}} : \left( 1-3\sqrt[3]{\frac{b}{a}} \right) - \sqrt[3]{a^2};$

г) $\left( \frac{1}{m+\sqrt{2}} - \frac{m^2+4}{m^3+2\sqrt{2}} \right) \cdot \left( \frac{m}{2} - \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{m} \right).$

а)

Исходное выражение: $ \frac{a-1}{a^{\frac{3}{4}} + a^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{a} + \sqrt[4]{a}}{\sqrt{a} + 1} \cdot a^{\frac{1}{4}} + 1 $.

Перепишем все степени и корни в виде дробных показателей для удобства:$ \frac{a-1}{a^{3/4} + a^{1/2}} \cdot \frac{a^{1/2} + a^{1/4}}{a^{1/2} + 1} \cdot a^{1/4} + 1 $.

Сначала выполним умножение. Вынесем общие множители в знаменателе первой дроби и в числителе второй:$ \frac{a-1}{a^{1/2}(a^{1/4} + 1)} \cdot \frac{a^{1/4}(a^{1/4} + 1)}{a^{1/2} + 1} \cdot a^{1/4} $.

Сократим общий множитель $ (a^{1/4} + 1) $, который присутствует в числителе и знаменателе:$ \frac{a-1}{a^{1/2}} \cdot \frac{a^{1/4}}{a^{1/2} + 1} \cdot a^{1/4} $.

Объединим множители $ a^{1/4} $:$ \frac{a-1}{a^{1/2}} \cdot \frac{a^{1/4} \cdot a^{1/4}}{a^{1/2} + 1} = \frac{a-1}{a^{1/2}} \cdot \frac{a^{1/2}}{a^{1/2} + 1} $.

Сократим $ a^{1/2} $:$ \frac{a-1}{a^{1/2} + 1} $.

Разложим числитель $ a-1 $ по формуле разности квадратов, представив $ a = (a^{1/2})^2 $ и $ 1 = 1^2 $:$ a-1 = (a^{1/2} - 1)(a^{1/2} + 1) $.

Тогда дробь примет вид:$ \frac{(a^{1/2} - 1)(a^{1/2} + 1)}{a^{1/2} + 1} = a^{1/2} - 1 $.

Теперь добавим оставшийся член $ +1 $ к результату умножения:$ (a^{1/2} - 1) + 1 = a^{1/2} = \sqrt{a} $.

Ответ: $ \sqrt{a} $.

б)

Исходное выражение: $ \left( \frac{\sqrt[4]{x^3} - \sqrt[4]{x}}{1 - \sqrt{x}} + \frac{1+\sqrt{x}}{\sqrt[4]{x}} \right)^2 \cdot \left( 1 + \frac{2}{\sqrt{x}} + \frac{1}{x} \right)^{-\frac{1}{2}} $.

Перепишем выражение с использованием дробных показателей:$ \left( \frac{x^{3/4} - x^{1/4}}{1 - x^{1/2}} + \frac{1+x^{1/2}}{x^{1/4}} \right)^2 \cdot \left( 1 + \frac{2}{x^{1/2}} + \frac{1}{x} \right)^{-1/2} $.

Упростим выражение в первой скобке. Сначала преобразуем первую дробь, вынеся общий множитель в числителе:$ \frac{x^{1/4}(x^{1/2} - 1)}{1 - x^{1/2}} = \frac{-x^{1/4}(1 - x^{1/2})}{1 - x^{1/2}} = -x^{1/4} $.

Теперь выполним сложение в первой скобке:$ -x^{1/4} + \frac{1+x^{1/2}}{x^{1/4}} = \frac{-x^{1/4} \cdot x^{1/4} + 1 + x^{1/2}}{x^{1/4}} = \frac{-x^{1/2} + 1 + x^{1/2}}{x^{1/4}} = \frac{1}{x^{1/4}} $.

Возведем результат в квадрат:$ \left(\frac{1}{x^{1/4}}\right)^2 = \frac{1}{x^{2/4}} = \frac{1}{x^{1/2}} $.

Теперь упростим выражение во второй скобке. Заметим, что это формула полного квадрата:$ 1 + \frac{2}{x^{1/2}} + \frac{1}{x} = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{x^{1/2}} + \left(\frac{1}{x^{1/2}}\right)^2 = \left(1 + \frac{1}{x^{1/2}}\right)^2 $.

Возведем это выражение в степень $ -1/2 $:$ \left(\left(1 + \frac{1}{x^{1/2}}\right)^2\right)^{-1/2} = \left(1 + \frac{1}{x^{1/2}}\right)^{2 \cdot (-1/2)} = \left(1 + \frac{1}{x^{1/2}}\right)^{-1} = \frac{1}{1 + \frac{1}{x^{1/2}}} = \frac{1}{\frac{x^{1/2}+1}{x^{1/2}}} = \frac{x^{1/2}}{x^{1/2}+1} $.

Перемножим результаты упрощения обеих частей:$ \frac{1}{x^{1/2}} \cdot \frac{x^{1/2}}{x^{1/2}+1} = \frac{1}{x^{1/2}+1} = \frac{1}{\sqrt{x}+1} $.

Ответ: $ \frac{1}{\sqrt{x}+1} $.

в)

Исходное выражение: $ \frac{a^{\frac{4}{3}} - 27a^{\frac{1}{3}}b}{a^{\frac{2}{3}} + 3a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + 9b^{\frac{2}{3}}} : \left( 1 - 3 \sqrt[3]{\frac{b}{a}} \right) - \sqrt[3]{a^2} $.

Перепишем выражение с использованием дробных показателей:$ \frac{a^{4/3} - 27a^{1/3}b}{a^{2/3} + 3a^{1/3}b^{1/3} + 9b^{2/3}} : \left( 1 - 3 \frac{b^{1/3}}{a^{1/3}} \right) - a^{2/3} $.

Рассмотрим делимое. Вынесем в числителе общий множитель $ a^{1/3} $:$ a^{4/3} - 27a^{1/3}b = a^{1/3}(a - 27b) $.

Выражение в скобках $ (a - 27b) $ является разностью кубов: $ a - 27b = (a^{1/3})^3 - (3b^{1/3})^3 $.Применим формулу разности кубов $ x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2) $, где $ x = a^{1/3} $ и $ y = 3b^{1/3} $:$ (a^{1/3} - 3b^{1/3})((a^{1/3})^2 + a^{1/3}(3b^{1/3}) + (3b^{1/3})^2) = (a^{1/3} - 3b^{1/3})(a^{2/3} + 3a^{1/3}b^{1/3} + 9b^{2/3}) $.

Таким образом, первая дробь равна:$ \frac{a^{1/3}(a^{1/3} - 3b^{1/3})(a^{2/3} + 3a^{1/3}b^{1/3} + 9b^{2/3})}{a^{2/3} + 3a^{1/3}b^{1/3} + 9b^{2/3}} = a^{1/3}(a^{1/3} - 3b^{1/3}) $.

Теперь преобразуем делитель, приведя к общему знаменателю:$ 1 - 3\frac{b^{1/3}}{a^{1/3}} = \frac{a^{1/3} - 3b^{1/3}}{a^{1/3}} $.

Выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь:$ a^{1/3}(a^{1/3} - 3b^{1/3}) : \frac{a^{1/3} - 3b^{1/3}}{a^{1/3}} = a^{1/3}(a^{1/3} - 3b^{1/3}) \cdot \frac{a^{1/3}}{a^{1/3} - 3b^{1/3}} $.

Сократив $ (a^{1/3} - 3b^{1/3}) $, получим:$ a^{1/3} \cdot a^{1/3} = a^{2/3} $.

Наконец, выполним вычитание:$ a^{2/3} - a^{2/3} = 0 $.

Ответ: $ 0 $.

г)

Исходное выражение: $ \left( \frac{1}{m+\sqrt{2}} - \frac{m^2+4}{m^3+2\sqrt{2}} \right) \cdot \left( \frac{m}{2} - \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{m} \right) $.

Упростим выражение в первой скобке. Знаменатель второй дроби $ m^3 + 2\sqrt{2} $ можно представить как сумму кубов $ m^3 + (\sqrt{2})^3 $.Разложим его по формуле суммы кубов $ x^3 + y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2) $:$ m^3 + (\sqrt{2})^3 = (m+\sqrt{2})(m^2 - m\sqrt{2} + 2) $.

Приведем дроби в первой скобке к общему знаменателю:$ \frac{1 \cdot (m^2 - m\sqrt{2} + 2)}{(m+\sqrt{2})(m^2 - m\sqrt{2} + 2)} - \frac{m^2+4}{m^3+2\sqrt{2}} = \frac{m^2 - m\sqrt{2} + 2 - (m^2+4)}{m^3+2\sqrt{2}} $.

Упростим числитель:$ m^2 - m\sqrt{2} + 2 - m^2 - 4 = -m\sqrt{2} - 2 = -\sqrt{2}(m+\sqrt{2}) $.

Выражение в первой скобке становится:$ \frac{-\sqrt{2}(m+\sqrt{2})}{(m+\sqrt{2})(m^2 - m\sqrt{2} + 2)} = \frac{-\sqrt{2}}{m^2 - m\sqrt{2} + 2} $.

Теперь упростим выражение во второй скобке. Приведем его к общему знаменателю $ 2m $:$ \frac{m}{2} - \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{m} = \frac{m}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{m} = \frac{m \cdot m - \sqrt{2} \cdot m + 1 \cdot 2}{2m} = \frac{m^2 - m\sqrt{2} + 2}{2m} $.

Перемножим результаты упрощения обеих скобок:$ \left( \frac{-\sqrt{2}}{m^2 - m\sqrt{2} + 2} \right) \cdot \left( \frac{m^2 - m\sqrt{2} + 2}{2m} \right) $.

Сократим общий множитель $ (m^2 - m\sqrt{2} + 2) $, который не равен нулю ни при каком действительном $ m $:$ \frac{-\sqrt{2}}{2m} $.

Ответ: $ -\frac{\sqrt{2}}{2m} $.

439. — Представьте выражение в виде степени с рациональным показателем:

a) $\frac{1}{8} \sqrt[7]{2^5 \cdot ax^3}$

б) $\sqrt[3]{a^2 \sqrt[4]{a}}$

в) $\sqrt[7]{b^3} \cdot \sqrt[4]{b}$

г) $\frac{1}{3} \cdot \sqrt[4]{27 \sqrt[3]{x}}$

а) $\frac{1}{8}\sqrt[7]{2^5 \cdot ax^3}$

Сначала представим множитель $\frac{1}{8}$ в виде степени с основанием 2: $\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}$.
Теперь внесем этот множитель под знак корня седьмой степени. Для этого необходимо возвести $2^{-3}$ в седьмую степень: $2^{-3} = \sqrt[7]{(2^{-3})^7} = \sqrt[7]{2^{-21}}$.
Исходное выражение принимает вид: $\sqrt[7]{2^{-21}} \cdot \sqrt[7]{2^5 a x^3}$.
Используя свойство $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$, объединим выражения под одним корнем: $\sqrt[7]{2^{-21} \cdot 2^5 \cdot a \cdot x^3}$.
Упростим произведение степеней с основанием 2, сложив их показатели: $2^{-21+5} = 2^{-16}$.
Получаем: $\sqrt[7]{2^{-16}ax^3}$.
Наконец, преобразуем корень в степень с рациональным показателем по формуле $\sqrt[n]{A} = A^{\frac{1}{n}}$: $(2^{-16}ax^3)^{\frac{1}{7}}$.

Ответ: $(2^{-16}ax^3)^{\frac{1}{7}}$

б) $\sqrt[3]{a^2 \sqrt[4]{a}}$

Начнем с преобразования внутреннего корня в степень с рациональным показателем: $\sqrt[4]{a} = a^{\frac{1}{4}}$.
Подставим результат в исходное выражение: $\sqrt[3]{a^2 \cdot a^{\frac{1}{4}}}$.
Упростим выражение под кубическим корнем, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$): $a^2 \cdot a^{\frac{1}{4}} = a^{2 + \frac{1}{4}} = a^{\frac{8}{4} + \frac{1}{4}} = a^{\frac{9}{4}}$.
Теперь выражение имеет вид: $\sqrt[3]{a^{\frac{9}{4}}}$.
Преобразуем оставшийся корень в степень по правилу $(a^m)^n = a^{mn}$: $(a^{\frac{9}{4}})^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{9}{4} \cdot \frac{1}{3}} = a^{\frac{9}{12}}$.
Сократим дробь в показателе: $\frac{9}{12} = \frac{3}{4}$.
В результате получаем: $a^{\frac{3}{4}}$.

Ответ: $a^{\frac{3}{4}}$

в) $\sqrt[7]{b^3} \cdot \sqrt[4]{b}$

Представим каждый из корней в виде степени с рациональным показателем: $\sqrt[7]{b^3} = b^{\frac{3}{7}}$ и $\sqrt[4]{b} = b^{\frac{1}{4}}$.
Теперь перемножим полученные степени: $b^{\frac{3}{7}} \cdot b^{\frac{1}{4}}$.
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $b^{\frac{3}{7} + \frac{1}{4}}$.
Приведем дроби в показателе к общему знаменателю 28 и сложим их: $\frac{3}{7} + \frac{1}{4} = \frac{3 \cdot 4}{28} + \frac{1 \cdot 7}{28} = \frac{12+7}{28} = \frac{19}{28}$.
Итоговое выражение: $b^{\frac{19}{28}}$.

Ответ: $b^{\frac{19}{28}}$

г) $\frac{1}{3} \cdot \sqrt[4]{27 \sqrt[3]{x}}$

Представим числовые коэффициенты как степени числа 3: $\frac{1}{3} = 3^{-1}$ и $27 = 3^3$.
Выражение примет вид: $3^{-1} \cdot \sqrt[4]{3^3 \cdot \sqrt[3]{x}}$.
Внесем множитель $3^{-1}$ под знак корня четвертой степени, для этого возведем его в 4-ю степень: $3^{-1} = \sqrt[4]{(3^{-1})^4} = \sqrt[4]{3^{-4}}$.
Объединим все под одним корнем четвертой степени: $\sqrt[4]{3^{-4} \cdot 3^3 \cdot \sqrt[3]{x}}$.
Упростим произведение степеней тройки: $3^{-4} \cdot 3^3 = 3^{-4+3} = 3^{-1}$.
Выражение стало: $\sqrt[4]{3^{-1} \cdot \sqrt[3]{x}}$.
Теперь внесем $3^{-1}$ под знак кубического корня: $\sqrt[4]{\sqrt[3]{(3^{-1})^3 \cdot x}} = \sqrt[4]{\sqrt[3]{3^{-3}x}}$.
Используя свойство вложенных корней $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[nm]{a}$, получаем: $\sqrt[4 \cdot 3]{3^{-3}x} = \sqrt[12]{3^{-3}x}$.
Представим результат в виде степени с рациональным показателем: $(3^{-3}x)^{\frac{1}{12}}$.
Учитывая, что $3^{-3} = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{27}$, выражение можно записать как $(\frac{x}{27})^{\frac{1}{12}}$.

Ответ: $(\frac{x}{27})^{\frac{1}{12}}$

440.- Представьте выражение в виде корня:

a) $3 \cdot 2^{-\frac{3}{5}}$;

б) $a^{\frac{3}{4}} : b^{\frac{2}{5}}$;

в) $2b^{-\frac{2}{3}}$;

г) $b^{\frac{1}{3}} c^{\frac{2}{7}}$.

а) Чтобы представить выражение $3 \cdot 2^{-\frac{3}{5}}$ в виде корня, воспользуемся свойствами степеней и корней. Сначала преобразуем степень с отрицательным показателем: $2^{-\frac{3}{5}} = \frac{1}{2^{\frac{3}{5}}}$. Таким образом, выражение принимает вид: $3 \cdot \frac{1}{2^{\frac{3}{5}}} = \frac{3}{2^{\frac{3}{5}}}$. Далее, представим степень с дробным показателем в виде корня, используя формулу $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^m}$: $2^{\frac{3}{5}} = \sqrt[5]{2^3} = \sqrt[5]{8}$. Выражение теперь выглядит как $\frac{3}{\sqrt[5]{8}}$. Чтобы записать все под одним знаком корня, представим число 3 как корень 5-й степени: $3 = \sqrt[5]{3^5} = \sqrt[5]{243}$. Тогда получим: $\frac{\sqrt[5]{243}}{\sqrt[5]{8}} = \sqrt[5]{\frac{243}{8}}$. Ответ: $\sqrt[5]{\frac{243}{8}}$.

б) Рассмотрим выражение $a^{\frac{3}{4}} : b^{\frac{2}{5}}$, которое можно записать в виде дроби $\frac{a^{\frac{3}{4}}}{b^{\frac{2}{5}}}$. Преобразуем степени с дробными показателями в корни: $a^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{a^3}$ и $b^{\frac{2}{5}} = \sqrt[5]{b^2}$. Получаем дробь: $\frac{\sqrt[4]{a^3}}{\sqrt[5]{b^2}}$. Чтобы объединить эти корни в один, приведем их к общему показателю. Наименьшее общее кратное для показателей 4 и 5 равно 20. Приводим корни к показателю 20: $\sqrt[4]{a^3} = \sqrt[4 \cdot 5]{a^{3 \cdot 5}} = \sqrt[20]{a^{15}}$ и $\sqrt[5]{b^2} = \sqrt[5 \cdot 4]{b^{2 \cdot 4}} = \sqrt[20]{b^8}$. Теперь разделим корни: $\frac{\sqrt[20]{a^{15}}}{\sqrt[20]{b^8}} = \sqrt[20]{\frac{a^{15}}{b^8}}$. Ответ: $\sqrt[20]{\frac{a^{15}}{b^8}}$.

в) Преобразуем выражение $2b^{-\frac{2}{3}}$. Степень с отрицательным показателем $b^{-\frac{2}{3}}$ равна $\frac{1}{b^{\frac{2}{3}}}$, поэтому выражение становится равным $\frac{2}{b^{\frac{2}{3}}}$. Представим $b^{\frac{2}{3}}$ в виде корня: $b^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{b^2}$. Получаем $\frac{2}{\sqrt[3]{b^2}}$. Чтобы внести множитель 2 под знак кубического корня, возведем его в 3-ю степень: $2 = \sqrt[3]{2^3} = \sqrt[3]{8}$. В результате получаем: $\frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{b^2}} = \sqrt[3]{\frac{8}{b^2}}$. Ответ: $\sqrt[3]{\frac{8}{b^2}}$.

г) Рассмотрим выражение $b^{\frac{1}{3}} c^{\frac{2}{7}}$. Представим каждую степень в виде корня: $b^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{b}$ и $c^{\frac{2}{7}} = \sqrt[7]{c^2}$. Выражение принимает вид $\sqrt[3]{b} \cdot \sqrt[7]{c^2}$. Чтобы перемножить корни с разными показателями, приведем их к общему показателю. Наименьшее общее кратное для 3 и 7 равно 21. Приводим корни к показателю 21: $\sqrt[3]{b} = \sqrt[3 \cdot 7]{b^{1 \cdot 7}} = \sqrt[21]{b^7}$ и $\sqrt[7]{c^2} = \sqrt[7 \cdot 3]{c^{2 \cdot 3}} = \sqrt[21]{c^6}$. Теперь перемножим полученные корни: $\sqrt[21]{b^7} \cdot \sqrt[21]{c^6} = \sqrt[21]{b^7 c^6}$. Ответ: $\sqrt[21]{b^7 c^6}$.

441. Сравните числа:

а) $(\sqrt{3})^{-\frac{5}{6}}$ и $\sqrt[3]{3^{-1} \sqrt[4]{\frac{1}{3}}}$;

б) $3^{600}$ и $5^{400}$;

в) $(\frac{1}{2})^{-\frac{5}{7}}$ и $\sqrt{2} \cdot 2^{\frac{3}{14}}$;

г) $7^{30}$ и $4^{40}$.

а) Для сравнения чисел $(\sqrt{3})^{-\frac{5}{6}}$ и $\sqrt[3]{3^{-1}\sqrt[4]{\frac{1}{3}}}$ преобразуем оба выражения, представив их в виде степени с основанием 3.

Преобразуем первое выражение: $(\sqrt{3})^{-\frac{5}{6}} = (3^{\frac{1}{2}})^{-\frac{5}{6}} = 3^{\frac{1}{2} \cdot (-\frac{5}{6})} = 3^{-\frac{5}{12}}$.

Преобразуем второе выражение: $\sqrt[3]{3^{-1}\sqrt[4]{\frac{1}{3}}} = \sqrt[3]{3^{-1}\sqrt[4]{3^{-1}}} = \sqrt[3]{3^{-1} \cdot (3^{-1})^{\frac{1}{4}}} = \sqrt[3]{3^{-1} \cdot 3^{-\frac{1}{4}}} = \sqrt[3]{3^{-1 - \frac{1}{4}}} = \sqrt[3]{3^{-\frac{5}{4}}} = (3^{-\frac{5}{4}})^{\frac{1}{3}} = 3^{-\frac{5}{4} \cdot \frac{1}{3}} = 3^{-\frac{5}{12}}$.

Поскольку оба выражения равны $3^{-\frac{5}{12}}$, исходные числа равны.

Ответ: $(\sqrt{3})^{-\frac{5}{6}} = \sqrt[3]{3^{-1}\sqrt[4]{\frac{1}{3}}}$.

б) Для сравнения чисел $3^{600}$ и $5^{400}$, приведем их к одному показателю степени. Наибольший общий делитель показателей 600 и 400 равен 200.

Представим первое число: $3^{600} = 3^{3 \cdot 200} = (3^3)^{200} = 27^{200}$.

Представим второе число: $5^{400} = 5^{2 \cdot 200} = (5^2)^{200} = 25^{200}$.

Теперь сравним $27^{200}$ и $25^{200}$. Так как основания $27 > 25$, а показатели степеней одинаковы и положительны, то $27^{200} > 25^{200}$.

Следовательно, $3^{600} > 5^{400}$.

Ответ: $3^{600} > 5^{400}$.

в) Для сравнения чисел $(\frac{1}{2})^{-\frac{5}{7}}$ и $\sqrt{2 \cdot 2^{\frac{3}{14}}}$, приведем их к виду степени с основанием 2.

Преобразуем первое число: $(\frac{1}{2})^{-\frac{5}{7}} = (2^{-1})^{-\frac{5}{7}} = 2^{(-1) \cdot (-\frac{5}{7})} = 2^{\frac{5}{7}}$.

Преобразуем второе число: $\sqrt{2 \cdot 2^{\frac{3}{14}}} = \sqrt{2^{1+\frac{3}{14}}} = \sqrt{2^{\frac{14}{14}+\frac{3}{14}}} = \sqrt{2^{\frac{17}{14}}} = (2^{\frac{17}{14}})^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{17}{28}}$.

Теперь нужно сравнить $2^{\frac{5}{7}}$ и $2^{\frac{17}{28}}$. Поскольку основание степени $2 > 1$, большей степени соответствует больший показатель. Сравним показатели $\frac{5}{7}$ и $\frac{17}{28}$.

Приведем дроби к общему знаменателю 28: $\frac{5}{7} = \frac{5 \cdot 4}{7 \cdot 4} = \frac{20}{28}$.

Так как $\frac{20}{28} > \frac{17}{28}$, то и $2^{\frac{20}{28}} > 2^{\frac{17}{28}}$, а значит $2^{\frac{5}{7}} > 2^{\frac{17}{28}}$.

Следовательно, $(\frac{1}{2})^{-\frac{5}{7}} > \sqrt{2 \cdot 2^{\frac{3}{14}}}$.

Ответ: $(\frac{1}{2})^{-\frac{5}{7}} > \sqrt{2 \cdot 2^{\frac{3}{14}}}$.

г) Для сравнения чисел $7^{30}$ и $4^{40}$, приведем их к одному показателю степени. Наибольший общий делитель показателей 30 и 40 равен 10.

Представим первое число: $7^{30} = 7^{3 \cdot 10} = (7^3)^{10} = 343^{10}$.

Представим второе число: $4^{40} = 4^{4 \cdot 10} = (4^4)^{10} = 256^{10}$.

Сравним $343^{10}$ и $256^{10}$. Так как основания $343 > 256$, а показатели степеней одинаковы и положительны, то $343^{10} > 256^{10}$.

Следовательно, $7^{30} > 4^{40}$.

Ответ: $7^{30} > 4^{40}$.

442. Имеет ли смысл выражение:

а) $(-3)^{-\frac{1}{7}}$;

б) $(-2)^{-4}$;

в) $5^{\frac{2}{3}}$;

г) $0^{-\frac{4}{7}}$?

а) Для того чтобы определить, имеет ли смысл выражение со степенью, нужно проанализировать его основание и показатель. Выражение $a^{\frac{m}{n}}$ с отрицательным основанием $a < 0$ определено только в том случае, если знаменатель показателя $n$ — нечетное число.
В выражении $(-3)^{-\frac{1}{7}}$ основание $a = -3$ отрицательное. Показатель степени равен $-\frac{1}{7}$. Знаменатель показателя равен $7$. Так как $7$ — нечетное число, то выражение имеет смысл.
Преобразуем его по определению степени с рациональным показателем: $(-3)^{-\frac{1}{7}} = \frac{1}{(-3)^{\frac{1}{7}}} = \frac{1}{\sqrt[7]{-3}}$. Корень нечетной степени из отрицательного числа является определенным действительным числом, и знаменатель не равен нулю. Следовательно, все выражение имеет смысл.
Ответ: да, имеет смысл.

б) Выражение $(-2)^{-4}$ — это степень с отрицательным основанием и отрицательным целым показателем.
По определению степени с целым отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ (при $a \ne 0$).
Применим это правило: $(-2)^{-4} = \frac{1}{(-2)^4} = \frac{1}{16}$.
Результатом является определенное число, значит, выражение имеет смысл.
Ответ: да, имеет смысл.

в) Выражение $5^{\frac{2}{3}}$ — это степень с положительным основанием и дробным показателем.
Степень с положительным основанием ($a > 0$) определена для любого действительного показателя.
Выражение можно записать в виде корня: $5^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{5^2} = \sqrt[3]{25}$.
Это определенное действительное число, поэтому выражение имеет смысл.
Ответ: да, имеет смысл.

г) Выражение $0^{-\frac{4}{7}}$ — это степень с основанием, равным нулю, и отрицательным показателем.
По определению степени с отрицательным показателем: $0^{-\frac{4}{7}} = \frac{1}{0^{\frac{4}{7}}}$.
Знаменатель $0^{\frac{4}{7}}$ равен $\sqrt[7]{0^4} = \sqrt[7]{0} = 0$.
Таким образом, мы получаем выражение $\frac{1}{0}$. Деление на ноль в математике не определено.
Следовательно, данное выражение не имеет смысла.
Ответ: нет, не имеет смысла.

443. Найдите область определения выражения:

а) $(x+1)^{-\frac{2}{7}}$;

б) $x^{\frac{3}{5}}$;

в) $x^{-\frac{3}{4}}$;

г) $(x-5)^{\frac{2}{3}}$.

а)

Область определения степенной функции $y=a^p$ зависит от показателя степени $p$. В выражении $(x+1)^{-\frac{2}{7}}$ основание степени $a = x+1$, а показатель $p = -\frac{2}{7}$.

Поскольку показатель степени отрицательный ($p < 0$), основание не может быть равно нулю. Это значит, что выражение определено только тогда, когда оно не обращается в бесконечность, что происходит при делении на ноль. Выражение можно записать как $\frac{1}{(x+1)^{\frac{2}{7}}}$. Знаменатель не должен быть равен нулю:

$(x+1)^{\frac{2}{7}} \neq 0$

Возведя обе части в степень $\frac{7}{2}$, получаем:

$x+1 \neq 0$

$x \neq -1$

Знаменатель показателя степени $p = -\frac{2}{7}$ является нечетным числом (7). Это означает, что основание степени $x+1$ может быть как положительным, так и отрицательным. Таким образом, единственное ограничение — это $x \neq -1$.

Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (-1, \infty)$.

б)

В выражении $x^{\frac{3}{5}}$ показатель степени $p = \frac{3}{5}$ является положительной дробью. Знаменатель показателя (число 5) — нечетное число.

Степень с рациональным показателем, знаменатель которого нечетен, определена для любого действительного значения основания. Выражение $x^{\frac{3}{5}}$ можно записать как $\sqrt[5]{x^3}$. Корень нечетной степени извлекается из любого действительного числа.

Следовательно, область определения — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $x \in (-\infty, \infty)$.

в)

В выражении $x^{-\frac{3}{4}}$ показатель степени $p = -\frac{3}{4}$ является отрицательным. Это означает, что выражение можно записать в виде дроби $\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$, и основание степени $x$ не может быть равно нулю:

$x \neq 0$.

Знаменатель показателя степени (число 4) является четным числом. Степень с рациональным показателем, знаменатель которого четен, определена только для неотрицательных значений основания:

$x \ge 0$.

Объединяя оба условия ($x \neq 0$ и $x \ge 0$), получаем, что основание должно быть строго положительным.

Ответ: $x \in (0, \infty)$.

г)

В выражении $(x-5)^{\frac{2}{3}}$ основание степени равно $a = x-5$, а показатель $p = \frac{2}{3}$.

Показатель степени $p = \frac{2}{3}$ является положительной дробью. Знаменатель показателя (число 3) — нечетное число.

Как и в пункте б), если знаменатель показателя нечетен, основание степени может быть любым действительным числом. То есть, выражение $x-5$ может принимать любые значения.

Это означает, что переменная $x$ также может принимать любые действительные значения, так как нет никаких ограничений, накладываемых на $x-5$.

Следовательно, область определения — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $x \in (-\infty, \infty)$.

444. При каких значениях переменной верно равенство:

a) $(a^{\frac{1}{6}})^6 = a$

б) $(a^4)^{\frac{1}{4}} = -a$

в) $(a^8)^{\frac{1}{8}} = \frac{1}{|a|}$

г) $(a^{0.7})^{\frac{1}{7}} = -a?$

а) Рассматриваем равенство $(a^{\frac{1}{6}})^6 = a$.

Степень с дробным показателем $a^{\frac{1}{6}}$ (арифметический корень шестой степени из $a$) определена только для неотрицательных значений переменной $a$. Таким образом, область допустимых значений (ОДЗ) для данного выражения: $a \ge 0$.

При $a \ge 0$ мы можем использовать свойство возведения степени в степень: $(x^m)^n = x^{mn}$.

Применяя это свойство, получаем: $(a^{\frac{1}{6}})^6 = a^{\frac{1}{6} \cdot 6} = a^1 = a$.

В результате мы приходим к тождеству $a = a$, которое является верным для всех значений $a$ из области допустимых значений.

Следовательно, исходное равенство верно при всех $a \ge 0$.

Ответ: $a \ge 0$.

б) Рассматриваем равенство $(a^4)^{\frac{1}{4}} = -a$.

Выражение $a^4$ является неотрицательным при любом действительном значении $a$, так как четная степень любого действительного числа неотрицательна ($a^4 \ge 0$). Поэтому левая часть равенства определена для всех $a \in \mathbb{R}$.

По определению арифметического корня четной степени, $(x^n)^{\frac{1}{n}} = |x|$ для любого четного натурального $n$. В нашем случае $n=4$, следовательно:

$(a^4)^{\frac{1}{4}} = |a|$.

Таким образом, исходное уравнение сводится к виду $|a| = -a$.

По определению модуля числа, равенство $|a| = -a$ выполняется в том и только в том случае, когда число $a$ является неположительным, то есть $a \le 0$.

Ответ: $a \le 0$.

в) Рассматриваем равенство $(a^8)^{\frac{1}{8}} = \frac{1}{|a|}$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). В правой части равенства переменная $a$ находится в знаменателе, поэтому $|a| \ne 0$, что эквивалентно $a \ne 0$.

Преобразуем левую часть равенства. Так как показатель степени 8 является четным числом, то, как и в предыдущем пункте, $(a^8)^{\frac{1}{8}} = |a|$.

Теперь уравнение принимает вид: $|a| = \frac{1}{|a|}$.

Так как $a \ne 0$, то $|a| > 0$. Мы можем умножить обе части уравнения на $|a|$, не опасаясь деления на ноль или изменения знака неравенства:

$|a| \cdot |a| = 1$

$|a|^2 = 1$

Поскольку $|a|^2 = a^2$, получаем уравнение $a^2 = 1$.

Это уравнение имеет два корня: $a = 1$ и $a = -1$. Оба значения удовлетворяют ОДЗ ($a \ne 0$).

Ответ: $a = 1, a = -1$.

г) Рассматриваем равенство $(a^{0,7})^{1\frac{3}{7}} = -a$.

Для удобства преобразуем показатели степеней в обыкновенные дроби:

$0,7 = \frac{7}{10}$

$1\frac{3}{7} = \frac{7 \cdot 1 + 3}{7} = \frac{10}{7}$

Теперь уравнение можно записать так: $(a^{\frac{7}{10}})^{\frac{10}{7}} = -a$.

Выражение $a^{\frac{7}{10}}$ (что то же самое, что и $(\sqrt[10]{a})^7$) определено только для $a \ge 0$, так как в знаменателе показателя степени стоит четное число 10.

На этой области определения ($a \ge 0$) мы можем применить свойство возведения степени в степень:

$(a^{\frac{7}{10}})^{\frac{10}{7}} = a^{\frac{7}{10} \cdot \frac{10}{7}} = a^1 = a$.

Таким образом, исходное уравнение сводится к простому уравнению $a = -a$.

Перенесем все члены в одну сторону: $a + a = 0$, или $2a = 0$.

Единственным решением этого уравнения является $a = 0$.

Это значение удовлетворяет нашей области определения $a \ge 0$.

Ответ: $a = 0$.