Номер 443, страница 223 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 9. Обобщение понятия степени - номер 443, страница 223.

Условие.

443. Найдите область определения выражения:

а) $(x+1)^{-\frac{2}{7}}$;

б) $x^{\frac{3}{5}}$;

в) $x^{-\frac{3}{4}}$;

г) $(x-5)^{\frac{2}{3}}$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Область определения степенной функции $y=a^p$ зависит от показателя степени $p$. В выражении $(x+1)^{-\frac{2}{7}}$ основание степени $a = x+1$, а показатель $p = -\frac{2}{7}$.

Поскольку показатель степени отрицательный ($p < 0$), основание не может быть равно нулю. Это значит, что выражение определено только тогда, когда оно не обращается в бесконечность, что происходит при делении на ноль. Выражение можно записать как $\frac{1}{(x+1)^{\frac{2}{7}}}$. Знаменатель не должен быть равен нулю:

$(x+1)^{\frac{2}{7}} \neq 0$

Возведя обе части в степень $\frac{7}{2}$, получаем:

$x+1 \neq 0$

$x \neq -1$

Знаменатель показателя степени $p = -\frac{2}{7}$ является нечетным числом (7). Это означает, что основание степени $x+1$ может быть как положительным, так и отрицательным. Таким образом, единственное ограничение — это $x \neq -1$.

Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (-1, \infty)$.

б)

В выражении $x^{\frac{3}{5}}$ показатель степени $p = \frac{3}{5}$ является положительной дробью. Знаменатель показателя (число 5) — нечетное число.

Степень с рациональным показателем, знаменатель которого нечетен, определена для любого действительного значения основания. Выражение $x^{\frac{3}{5}}$ можно записать как $\sqrt[5]{x^3}$. Корень нечетной степени извлекается из любого действительного числа.

Следовательно, область определения — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $x \in (-\infty, \infty)$.

в)

В выражении $x^{-\frac{3}{4}}$ показатель степени $p = -\frac{3}{4}$ является отрицательным. Это означает, что выражение можно записать в виде дроби $\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$, и основание степени $x$ не может быть равно нулю:

$x \neq 0$.

Знаменатель показателя степени (число 4) является четным числом. Степень с рациональным показателем, знаменатель которого четен, определена только для неотрицательных значений основания:

$x \ge 0$.

Объединяя оба условия ($x \neq 0$ и $x \ge 0$), получаем, что основание должно быть строго положительным.

Ответ: $x \in (0, \infty)$.

г)

В выражении $(x-5)^{\frac{2}{3}}$ основание степени равно $a = x-5$, а показатель $p = \frac{2}{3}$.

Показатель степени $p = \frac{2}{3}$ является положительной дробью. Знаменатель показателя (число 3) — нечетное число.

Как и в пункте б), если знаменатель показателя нечетен, основание степени может быть любым действительным числом. То есть, выражение $x-5$ может принимать любые значения.

Это означает, что переменная $x$ также может принимать любые действительные значения, так как нет никаких ограничений, накладываемых на $x-5$.

Следовательно, область определения — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $x \in (-\infty, \infty)$.