Номер 443, страница 223 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 9. Обобщение понятия степени. Глава 4. Показательная и логарифмическая функции - номер 443, страница 223.
№443 (с. 223)
Условие. №443 (с. 223)
скриншот условия

443. Найдите область определения выражения:
а) $(x+1)^{-\frac{2}{7}}$;
б) $x^{\frac{3}{5}}$;
в) $x^{-\frac{3}{4}}$;
г) $(x-5)^{\frac{2}{3}}$.
Решение 1. №443 (с. 223)

Решение 3. №443 (с. 223)

Решение 4. №443 (с. 223)

Решение 5. №443 (с. 223)
а)
Область определения степенной функции $y=a^p$ зависит от показателя степени $p$. В выражении $(x+1)^{-\frac{2}{7}}$ основание степени $a = x+1$, а показатель $p = -\frac{2}{7}$.
Поскольку показатель степени отрицательный ($p < 0$), основание не может быть равно нулю. Это значит, что выражение определено только тогда, когда оно не обращается в бесконечность, что происходит при делении на ноль. Выражение можно записать как $\frac{1}{(x+1)^{\frac{2}{7}}}$. Знаменатель не должен быть равен нулю:
$(x+1)^{\frac{2}{7}} \neq 0$
Возведя обе части в степень $\frac{7}{2}$, получаем:
$x+1 \neq 0$
$x \neq -1$
Знаменатель показателя степени $p = -\frac{2}{7}$ является нечетным числом (7). Это означает, что основание степени $x+1$ может быть как положительным, так и отрицательным. Таким образом, единственное ограничение — это $x \neq -1$.
Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (-1, \infty)$.
б)
В выражении $x^{\frac{3}{5}}$ показатель степени $p = \frac{3}{5}$ является положительной дробью. Знаменатель показателя (число 5) — нечетное число.
Степень с рациональным показателем, знаменатель которого нечетен, определена для любого действительного значения основания. Выражение $x^{\frac{3}{5}}$ можно записать как $\sqrt[5]{x^3}$. Корень нечетной степени извлекается из любого действительного числа.
Следовательно, область определения — это множество всех действительных чисел.
Ответ: $x \in (-\infty, \infty)$.
в)
В выражении $x^{-\frac{3}{4}}$ показатель степени $p = -\frac{3}{4}$ является отрицательным. Это означает, что выражение можно записать в виде дроби $\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$, и основание степени $x$ не может быть равно нулю:
$x \neq 0$.
Знаменатель показателя степени (число 4) является четным числом. Степень с рациональным показателем, знаменатель которого четен, определена только для неотрицательных значений основания:
$x \ge 0$.
Объединяя оба условия ($x \neq 0$ и $x \ge 0$), получаем, что основание должно быть строго положительным.
Ответ: $x \in (0, \infty)$.
г)
В выражении $(x-5)^{\frac{2}{3}}$ основание степени равно $a = x-5$, а показатель $p = \frac{2}{3}$.
Показатель степени $p = \frac{2}{3}$ является положительной дробью. Знаменатель показателя (число 3) — нечетное число.
Как и в пункте б), если знаменатель показателя нечетен, основание степени может быть любым действительным числом. То есть, выражение $x-5$ может принимать любые значения.
Это означает, что переменная $x$ также может принимать любые действительные значения, так как нет никаких ограничений, накладываемых на $x-5$.
Следовательно, область определения — это множество всех действительных чисел.
Ответ: $x \in (-\infty, \infty)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 443 расположенного на странице 223 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №443 (с. 223), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.