Номер 449, страница 228 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 10. Показательная и логарифмическая функции - номер 449, страница 228.

Условие.

Упростите выражения (449–450).

449. а) $a^{\sqrt{2}} \cdot \left(\frac{1}{a}\right)^{\sqrt{2}-1}$;

б) $x^{\pi} \cdot \sqrt[4]{x^2 : x^{4\pi}};

в) $(a^{\sqrt{5}})^{\sqrt{5}};

г) $y^{\sqrt{2}} \cdot y^{1,3} : \sqrt[3]{y^{3\sqrt{2}}}.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы упростить выражение $a^{\sqrt{2}} \cdot \left(\frac{1}{a}\right)^{\sqrt{2}-1}$, воспользуемся свойствами степеней.
1. Представим дробь $\frac{1}{a}$ в виде степени с отрицательным показателем: $\frac{1}{a} = a^{-1}$.
Тогда второй множитель примет вид: $\left(\frac{1}{a}\right)^{\sqrt{2}-1} = (a^{-1})^{\sqrt{2}-1}$.
2. При возведении степени в степень показатели перемножаются: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$(a^{-1})^{\sqrt{2}-1} = a^{-1 \cdot (\sqrt{2}-1)} = a^{-\sqrt{2}+1} = a^{1-\sqrt{2}}$.
3. Теперь исходное выражение выглядит так: $a^{\sqrt{2}} \cdot a^{1-\sqrt{2}}$.
4. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
$a^{\sqrt{2}} \cdot a^{1-\sqrt{2}} = a^{\sqrt{2} + (1-\sqrt{2})} = a^{\sqrt{2} + 1 - \sqrt{2}} = a^1 = a$.
Ответ: $a$.

б) Упростим выражение $x^{\pi} \cdot \sqrt[4]{x^2} : x^{4\pi}$.
1. Представим корень в виде степени с дробным показателем, используя свойство $\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}$:
$\sqrt[4]{x^2} = x^{\frac{2}{4}} = x^{\frac{1}{2}}$.
2. Подставим полученное выражение в исходное. Знак деления ":" заменим на соответствующее действие с показателями степеней:
$x^{\pi} \cdot x^{\frac{1}{2}} : x^{4\pi} = x^{\pi + \frac{1}{2} - 4\pi}$.
3. Упростим показатель степени:
$\pi + \frac{1}{2} - 4\pi = (\pi - 4\pi) + \frac{1}{2} = -3\pi + \frac{1}{2}$.
Таким образом, выражение равно $x^{\frac{1}{2} - 3\pi}$.
Ответ: $x^{\frac{1}{2} - 3\pi}$.

в) Упростим выражение $(a^{\sqrt{5}})^{\sqrt{5}}$.
1. Воспользуемся свойством возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$(a^{\sqrt{5}})^{\sqrt{5}} = a^{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}}$.
2. Упростим показатель степени:
$\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = (\sqrt{5})^2 = 5$.
Следовательно, выражение равно $a^5$.
Ответ: $a^5$.

г) Упростим выражение $y^{\sqrt{2}} \cdot y^{1,3} : \sqrt[3]{y^{3\sqrt{2}}}$.
1. Преобразуем корень в степень с дробным показателем: $\sqrt[n]{y^m} = y^{\frac{m}{n}}$.
$\sqrt[3]{y^{3\sqrt{2}}} = y^{\frac{3\sqrt{2}}{3}} = y^{\sqrt{2}}$.
2. Подставим полученное выражение в исходное:
$y^{\sqrt{2}} \cdot y^{1,3} : y^{\sqrt{2}}$.
3. Применим свойства умножения и деления степеней с одинаковым основанием: $y^m \cdot y^n : y^p = y^{m+n-p}$.
$y^{\sqrt{2} + 1,3 - \sqrt{2}}$.
4. Упростим показатель степени:
$\sqrt{2} + 1,3 - \sqrt{2} = 1,3$.
Таким образом, получаем $y^{1,3}$.
Ответ: $y^{1,3}$.