Номер 452, страница 228 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 10. Показательная и логарифмическая функции. Глава 4. Показательная и логарифмическая функции - номер 452, страница 228.

Условие.

452. - Пользуясь полученными в задаче 451 результатами, найдите значения $10^{\\sqrt{2}}$ и $10^{\\sqrt{5}}$ с точностью до 0,2.

Решение 1.

Решение 5.

Для решения этой задачи необходимо воспользоваться результатами задачи 451. Предположительно, в ней были найдены рациональные приближения для иррациональных показателей степени $\sqrt{2}$ и $\sqrt{5}$. Чтобы найти значения выражений с точностью до 0,2, мы должны определить для каждого из них такой интервал $(a, b)$, что $a < \text{искомое значение} < b$ и разность $b-a \le 0,2$.

$10^{\sqrt{2}}$

Допустим, из задачи 451 нам известно неравенство для $\sqrt{2}$:

$1.414 < \sqrt{2} < 1.415$

Данное неравенство является верным, так как при возведении в квадрат получаем $1.414^2 = 1.999396 < 2$ и $1.415^2 = 2.002225 > 2$.

Поскольку показательная функция $y=10^x$ является строго возрастающей, из этого следует, что:

$10^{1.414} < 10^{\sqrt{2}} < 10^{1.415}$

Для вычисления границ этого интервала можно воспользоваться логарифмическими таблицами или калькулятором. Получаем:

$10^{1.414} \approx 25.94$

$10^{1.415} \approx 26.00$

Таким образом, значение $10^{\sqrt{2}}$ находится в интервале $(25.94, 26.00)$. Длина этого интервала равна $26.00 - 25.94 = 0.06$. Это значение меньше требуемой точности 0,2. Следовательно, любое число из этого интервала будет являться приближением с заданной точностью. Например, можно взять значение 26.0.

Проверим: $|26.0 - 10^{\sqrt{2}}| < 26.0 - 25.94 = 0.06 < 0.2$.

Ответ: $10^{\sqrt{2}} \approx 26.0$.

$10^{\sqrt{5}}$

Аналогично поступим для выражения $10^{\sqrt{5}}$. Поскольку значение этого выражения больше, чем предыдущего, для достижения той же абсолютной точности (0,2) нам потребуется более точное приближение для показателя степени $\sqrt{5}$.

Предположим, что из задачи 451 было получено неравенство:

$2.2360 < \sqrt{5} < 2.2365$

Это неравенство верно, так как $2.2360^2 = 4.999696 < 5$ и $2.2365^2 \approx 5.0019 > 5$.

Используя свойство монотонности показательной функции, получаем:

$10^{2.2360} < 10^{\sqrt{5}} < 10^{2.2365}$

Вычислим значения на границах полученного интервала:

$10^{2.2360} \approx 172.19$

$10^{2.2365} \approx 172.38$

Следовательно, значение $10^{\sqrt{5}}$ заключено в интервале $(172.19, 172.38)$. Длина этого интервала составляет $172.38 - 172.19 = 0.19$. Так как $0.19 < 0.2$, требуемая точность достигнута. В качестве приближенного значения можно взять, например, 172.3.

Проверим: $172.19 < 172.3 < 172.38$, и расстояние до любого конца интервала меньше 0.19, что удовлетворяет условию точности.

Ответ: $10^{\sqrt{5}} \approx 172.3$.