Номер 454, страница 228 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 10. Показательная и логарифмическая функции. Глава 4. Показательная и логарифмическая функции - номер 454, страница 228.
№454 (с. 228)
Условие. №454 (с. 228)
скриншот условия

454.— Найдите область значений функции:
а) $y = 3^{x+1} - 3$;
б) $y = |2^x - 2|$;
в) $y = \left(\frac{1}{2}\right)^{x-1} + 2$;
г) $y = 4^{|x|}$.
Решение 1. №454 (с. 228)

Решение 3. №454 (с. 228)

Решение 4. №454 (с. 228)


Решение 5. №454 (с. 228)
а) $y = 3^{x+1} - 3$
Рассмотрим показательную функцию $f(x) = 3^x$. Область значений этой функции - все положительные числа, то есть $E(f) = (0; +\infty)$.
В нашем случае имеем функцию $y = 3^{x+1} - 3$. Выражение $3^{x+1}$ также принимает все положительные значения, так как показатель степени $x+1$ может быть любым действительным числом. Таким образом, $3^{x+1} > 0$.
Далее из этого выражения вычитается 3. Следовательно, для любого $x$ будет выполняться неравенство:
$3^{x+1} - 3 > 0 - 3$
$y > -3$
Это означает, что область значений функции - все числа, большие -3.
Ответ: $E(y) = (-3; +\infty)$.
б) $y = |2^x - 2|$
Сначала найдем область значений функции под знаком модуля: $g(x) = 2^x - 2$.
Область значений функции $h(x) = 2^x$ есть интервал $(0; +\infty)$.
Следовательно, для функции $g(x) = 2^x - 2$ область значений будет $(0-2; +\infty-2)$, то есть $(-2; +\infty)$.
Теперь рассмотрим функцию $y = |g(x)| = |2^x - 2|$. Модуль любого числа является неотрицательной величиной, поэтому $y \ge 0$.
Найдем наименьшее значение функции. Оно будет равно 0, если выражение под модулем может быть равно 0. Проверим это:
$2^x - 2 = 0 \implies 2^x = 2 \implies x = 1$.
При $x=1$ функция достигает своего минимума $y=0$. Поскольку выражение $2^x - 2$ может принимать сколь угодно большие положительные значения, то и $y$ может быть сколь угодно большим. Таким образом, область значений функции - все неотрицательные числа.
Ответ: $E(y) = [0; +\infty)$.
в) $y = (\frac{1}{2})^{x-1} + 2$
Рассмотрим показательную функцию $f(x) = (\frac{1}{2})^x$. Область значений этой функции - все положительные числа, то есть $E(f) = (0; +\infty)$.
В нашем случае выражение $(\frac{1}{2})^{x-1}$ также принимает все положительные значения, так как показатель степени $x-1$ пробегает все действительные значения.
$(\frac{1}{2})^{x-1} > 0$
Далее к этому выражению прибавляется 2. Следовательно, для любого $x$ будет выполняться неравенство:
$(\frac{1}{2})^{x-1} + 2 > 0 + 2$
$y > 2$
Это означает, что область значений функции - все числа, большие 2.
Ответ: $E(y) = (2; +\infty)$.
г) $y = 4^{|x|}$
Рассмотрим показатель степени этой функции: $|x|$. Область значений модуля - все неотрицательные числа, то есть $|x| \ge 0$.
Функция $f(t) = 4^t$ является возрастающей, так как основание $4 > 1$. Это означает, что меньшему значению аргумента $t$ соответствует меньшее значение функции.
Наименьшее значение показателя степени $|x|$ равно 0 (при $x=0$). Следовательно, наименьшее значение функции $y$ будет:
$y_{min} = 4^0 = 1$.
Поскольку $|x|$ может принимать любые неотрицательные значения, то есть $|x| \in [0; +\infty)$, то и функция $y = 4^{|x|}$ будет принимать значения от $4^0$ до $+\infty$.
Таким образом, область значений функции - все числа, большие или равные 1.
Ответ: $E(y) = [1; +\infty)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 454 расположенного на странице 228 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №454 (с. 228), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.