Номер 454, страница 228 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 10. Показательная и логарифмическая функции - номер 454, страница 228.

Условие.

454.— Найдите область значений функции:

а) $y = 3^{x+1} - 3$;

б) $y = |2^x - 2|$;

в) $y = \left(\frac{1}{2}\right)^{x-1} + 2$;

г) $y = 4^{|x|}$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $y = 3^{x+1} - 3$

Рассмотрим показательную функцию $f(x) = 3^x$. Область значений этой функции - все положительные числа, то есть $E(f) = (0; +\infty)$.

В нашем случае имеем функцию $y = 3^{x+1} - 3$. Выражение $3^{x+1}$ также принимает все положительные значения, так как показатель степени $x+1$ может быть любым действительным числом. Таким образом, $3^{x+1} > 0$.

Далее из этого выражения вычитается 3. Следовательно, для любого $x$ будет выполняться неравенство:

$3^{x+1} - 3 > 0 - 3$

$y > -3$

Это означает, что область значений функции - все числа, большие -3.

Ответ: $E(y) = (-3; +\infty)$.

б) $y = |2^x - 2|$

Сначала найдем область значений функции под знаком модуля: $g(x) = 2^x - 2$.

Область значений функции $h(x) = 2^x$ есть интервал $(0; +\infty)$.

Следовательно, для функции $g(x) = 2^x - 2$ область значений будет $(0-2; +\infty-2)$, то есть $(-2; +\infty)$.

Теперь рассмотрим функцию $y = |g(x)| = |2^x - 2|$. Модуль любого числа является неотрицательной величиной, поэтому $y \ge 0$.

Найдем наименьшее значение функции. Оно будет равно 0, если выражение под модулем может быть равно 0. Проверим это:

$2^x - 2 = 0 \implies 2^x = 2 \implies x = 1$.

При $x=1$ функция достигает своего минимума $y=0$. Поскольку выражение $2^x - 2$ может принимать сколь угодно большие положительные значения, то и $y$ может быть сколь угодно большим. Таким образом, область значений функции - все неотрицательные числа.

Ответ: $E(y) = [0; +\infty)$.

в) $y = (\frac{1}{2})^{x-1} + 2$

Рассмотрим показательную функцию $f(x) = (\frac{1}{2})^x$. Область значений этой функции - все положительные числа, то есть $E(f) = (0; +\infty)$.

В нашем случае выражение $(\frac{1}{2})^{x-1}$ также принимает все положительные значения, так как показатель степени $x-1$ пробегает все действительные значения.

$(\frac{1}{2})^{x-1} > 0$

Далее к этому выражению прибавляется 2. Следовательно, для любого $x$ будет выполняться неравенство:

$(\frac{1}{2})^{x-1} + 2 > 0 + 2$

$y > 2$

Это означает, что область значений функции - все числа, большие 2.

Ответ: $E(y) = (2; +\infty)$.

г) $y = 4^{|x|}$

Рассмотрим показатель степени этой функции: $|x|$. Область значений модуля - все неотрицательные числа, то есть $|x| \ge 0$.

Функция $f(t) = 4^t$ является возрастающей, так как основание $4 > 1$. Это означает, что меньшему значению аргумента $t$ соответствует меньшее значение функции.

Наименьшее значение показателя степени $|x|$ равно 0 (при $x=0$). Следовательно, наименьшее значение функции $y$ будет:

$y_{min} = 4^0 = 1$.

Поскольку $|x|$ может принимать любые неотрицательные значения, то есть $|x| \in [0; +\infty)$, то и функция $y = 4^{|x|}$ будет принимать значения от $4^0$ до $+\infty$.

Таким образом, область значений функции - все числа, большие или равные 1.

Ответ: $E(y) = [1; +\infty)$.