Номер 457, страница 229 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 10. Показательная и логарифмическая функции. Глава 4. Показательная и логарифмическая функции - номер 457, страница 229.
№457 (с. 229)
Условие. №457 (с. 229)
скриншот условия

457.-
a) $3^x = 4 - x;$
б) $(\frac{1}{2})^x = x + 3;$
в) $(\frac{1}{3})^x = x + 1;$
г) $4^x = 5 - x.$
Решение 1. №457 (с. 229)

Решение 3. №457 (с. 229)

Решение 4. №457 (с. 229)


Решение 5. №457 (с. 229)
а) $3^x = 4 - x$
Данное уравнение является трансцендентным, и его решение в общем виде аналитически затруднительно. Решим его, анализируя свойства функций в левой и правой частях.
Рассмотрим две функции: $y_1(x) = 3^x$ и $y_2(x) = 4 - x$.
Функция $y_1(x) = 3^x$ является показательной с основанием $3 > 1$, поэтому она строго возрастает на всей своей области определения (все действительные числа).
Функция $y_2(x) = 4 - x$ является линейной с угловым коэффициентом $-1$, поэтому она строго убывает на всей своей области определения.
Так как одна функция строго возрастает, а другая строго убывает, их графики могут пересечься не более одного раза. Следовательно, уравнение $y_1(x) = y_2(x)$ может иметь не более одного корня.
Найдем этот корень методом подбора, проверяя небольшие целые значения $x$.
При $x = 1$:
Левая часть: $3^1 = 3$.
Правая часть: $4 - 1 = 3$.
Поскольку $3 = 3$, то $x = 1$ является корнем уравнения.
Так как мы доказали, что корень может быть только один, то $x = 1$ — единственное решение.
Ответ: $1$.
б) $(\frac{1}{2})^x = x + 3$
Для решения этого уравнения рассмотрим поведение функций, стоящих в левой и правой его частях.
Пусть $f(x) = (\frac{1}{2})^x$ и $g(x) = x + 3$.
Функция $f(x) = (\frac{1}{2})^x$ — показательная с основанием $0 < \frac{1}{2} < 1$. Эта функция является строго убывающей на всей числовой оси.
Функция $g(x) = x + 3$ — линейная с положительным угловым коэффициентом, равным $1$. Эта функция является строго возрастающей на всей числовой оси.
Строго убывающая и строго возрастающая функции могут иметь не более одной точки пересечения. Это означает, что данное уравнение имеет не более одного корня.
Попробуем найти корень подбором.
При $x = -1$:
Левая часть: $(\frac{1}{2})^{-1} = 2$.
Правая часть: $-1 + 3 = 2$.
Левая и правая части равны, значит $x = -1$ — корень уравнения.
В силу единственности решения, это и есть ответ.
Ответ: $-1$.
в) $(\frac{1}{3})^x = x + 1$
Решим уравнение, проанализировав функции в обеих его частях.
Обозначим $y_1(x) = (\frac{1}{3})^x$ и $y_2(x) = x + 1$.
Функция $y_1(x)$ является показательной с основанием $\frac{1}{3}$, которое находится в интервале $(0, 1)$. Следовательно, $y_1(x)$ строго убывает на $R$.
Функция $y_2(x)$ является линейной, её угловой коэффициент равен $1$ ($>0$), поэтому $y_2(x)$ строго возрастает на $R$.
Графики этих функций могут пересечься не более чем в одной точке, а значит, уравнение имеет не более одного решения.
Найдем решение методом подбора.
При $x = 0$:
Левая часть: $(\frac{1}{3})^0 = 1$.
Правая часть: $0 + 1 = 1$.
Так как $1 = 1$, $x = 0$ — корень уравнения.
Это единственный корень уравнения.
Ответ: $0$.
г) $4^x = 5 - x$
Для решения уравнения воспользуемся свойствами монотонности функций.
Рассмотрим функции $f(x) = 4^x$ и $g(x) = 5 - x$.
Функция $f(x) = 4^x$ — показательная, основание $4 > 1$, значит, она строго возрастает на всей области определения.
Функция $g(x) = 5 - x$ — линейная, угловой коэффициент равен $-1$ ($<0$), значит, она строго убывает на всей области определения.
Так как функция в левой части уравнения строго возрастает, а в правой — строго убывает, уравнение не может иметь более одного корня.
Найдем этот корень подбором.
Проверим $x = 1$:
Левая часть: $4^1 = 4$.
Правая часть: $5 - 1 = 4$.
Равенство выполняется, следовательно, $x = 1$ является корнем.
Поскольку корень единственный, мы нашли решение уравнения.
Ответ: $1$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 457 расположенного на странице 229 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №457 (с. 229), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.