Номер 457, страница 229 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 10. Показательная и логарифмическая функции - номер 457, страница 229.

Условие.

457.-

a) $3^x = 4 - x;$

б) $(\frac{1}{2})^x = x + 3;$

в) $(\frac{1}{3})^x = x + 1;$

г) $4^x = 5 - x.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $3^x = 4 - x$

Данное уравнение является трансцендентным, и его решение в общем виде аналитически затруднительно. Решим его, анализируя свойства функций в левой и правой частях.

Рассмотрим две функции: $y_1(x) = 3^x$ и $y_2(x) = 4 - x$.

Функция $y_1(x) = 3^x$ является показательной с основанием $3 > 1$, поэтому она строго возрастает на всей своей области определения (все действительные числа).

Функция $y_2(x) = 4 - x$ является линейной с угловым коэффициентом $-1$, поэтому она строго убывает на всей своей области определения.

Так как одна функция строго возрастает, а другая строго убывает, их графики могут пересечься не более одного раза. Следовательно, уравнение $y_1(x) = y_2(x)$ может иметь не более одного корня.

Найдем этот корень методом подбора, проверяя небольшие целые значения $x$.

При $x = 1$:

Левая часть: $3^1 = 3$.

Правая часть: $4 - 1 = 3$.

Поскольку $3 = 3$, то $x = 1$ является корнем уравнения.

Так как мы доказали, что корень может быть только один, то $x = 1$ — единственное решение.

Ответ: $1$.

б) $(\frac{1}{2})^x = x + 3$

Для решения этого уравнения рассмотрим поведение функций, стоящих в левой и правой его частях.

Пусть $f(x) = (\frac{1}{2})^x$ и $g(x) = x + 3$.

Функция $f(x) = (\frac{1}{2})^x$ — показательная с основанием $0 < \frac{1}{2} < 1$. Эта функция является строго убывающей на всей числовой оси.

Функция $g(x) = x + 3$ — линейная с положительным угловым коэффициентом, равным $1$. Эта функция является строго возрастающей на всей числовой оси.

Строго убывающая и строго возрастающая функции могут иметь не более одной точки пересечения. Это означает, что данное уравнение имеет не более одного корня.

Попробуем найти корень подбором.

При $x = -1$:

Левая часть: $(\frac{1}{2})^{-1} = 2$.

Правая часть: $-1 + 3 = 2$.

Левая и правая части равны, значит $x = -1$ — корень уравнения.

В силу единственности решения, это и есть ответ.

Ответ: $-1$.

в) $(\frac{1}{3})^x = x + 1$

Решим уравнение, проанализировав функции в обеих его частях.

Обозначим $y_1(x) = (\frac{1}{3})^x$ и $y_2(x) = x + 1$.

Функция $y_1(x)$ является показательной с основанием $\frac{1}{3}$, которое находится в интервале $(0, 1)$. Следовательно, $y_1(x)$ строго убывает на $R$.

Функция $y_2(x)$ является линейной, её угловой коэффициент равен $1$ ($>0$), поэтому $y_2(x)$ строго возрастает на $R$.

Графики этих функций могут пересечься не более чем в одной точке, а значит, уравнение имеет не более одного решения.

Найдем решение методом подбора.

При $x = 0$:

Левая часть: $(\frac{1}{3})^0 = 1$.

Правая часть: $0 + 1 = 1$.

Так как $1 = 1$, $x = 0$ — корень уравнения.

Это единственный корень уравнения.

Ответ: $0$.

г) $4^x = 5 - x$

Для решения уравнения воспользуемся свойствами монотонности функций.

Рассмотрим функции $f(x) = 4^x$ и $g(x) = 5 - x$.

Функция $f(x) = 4^x$ — показательная, основание $4 > 1$, значит, она строго возрастает на всей области определения.

Функция $g(x) = 5 - x$ — линейная, угловой коэффициент равен $-1$ ($<0$), значит, она строго убывает на всей области определения.

Так как функция в левой части уравнения строго возрастает, а в правой — строго убывает, уравнение не может иметь более одного корня.

Найдем этот корень подбором.

Проверим $x = 1$:

Левая часть: $4^1 = 4$.

Правая часть: $5 - 1 = 4$.

Равенство выполняется, следовательно, $x = 1$ является корнем.

Поскольку корень единственный, мы нашли решение уравнения.

Ответ: $1$.