Номер 464, страница 231 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 10. Показательная и логарифмическая функции - номер 464, страница 231.

Условие.

464. a) $9^x - 8 \cdot 3^x - 9 = 0;$

б) $100^x - 11 \cdot 10^x + 10 = 0;$

B) $36^x - 4 \cdot 6^x - 12 = 0;$

г) $49^x - 8 \cdot 7^x + 7 = 0.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $9^x - 8 \cdot 3^x - 9 = 0$

Данное уравнение является показательным. Заметим, что $9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$. Это позволяет свести уравнение к квадратному с помощью замены переменной.

Пусть $t = 3^x$. Так как показательная функция $y=3^x$ принимает только положительные значения, то на новую переменную $t$ накладывается условие $t > 0$.

Подставим $t$ в исходное уравнение:

$t^2 - 8t - 9 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100 = 10^2$

Найдем корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - 10}{2} = -1$

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + 10}{2} = 9$

Проверим корни на соответствие условию $t > 0$.

Корень $t_1 = -1$ не удовлетворяет условию $t > 0$, поэтому он является посторонним.

Корень $t_2 = 9$ удовлетворяет условию $t > 0$.

Выполним обратную замену для $t_2 = 9$:

$3^x = 9$

$3^x = 3^2$

$x = 2$

Ответ: $2$.

б) $100^x - 11 \cdot 10^x + 10 = 0$

Заметим, что $100^x = (10^2)^x = (10^x)^2$. Сделаем замену переменной, чтобы свести уравнение к квадратному.

Пусть $t = 10^x$, при этом $t > 0$.

Уравнение принимает вид:

$t^2 - 11t + 10 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение, решим его с помощью теоремы Виета:

$t_1 + t_2 = 11$

$t_1 \cdot t_2 = 10$

Подбором находим корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 10$.

Оба корня удовлетворяют условию $t > 0$.

Выполним обратную замену для каждого корня:

1) $10^x = t_1 \implies 10^x = 1 \implies 10^x = 10^0 \implies x = 0$.

2) $10^x = t_2 \implies 10^x = 10 \implies 10^x = 10^1 \implies x = 1$.

Ответ: $0; 1$.

в) $36^x - 4 \cdot 6^x - 12 = 0$

Преобразуем уравнение, учитывая, что $36^x = (6^2)^x = (6^x)^2$.

Введем замену переменной: пусть $t = 6^x$. Условие для новой переменной: $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение:

$t^2 - 4t - 12 = 0$

Решим его через дискриминант:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64 = 8^2$

Корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{4 - 8}{2} = -2$

$t_2 = \frac{4 + 8}{2} = 6$

Корень $t_1 = -2$ не удовлетворяет условию $t > 0$, значит, он посторонний.

Корень $t_2 = 6$ подходит.

Сделаем обратную замену:

$6^x = 6$

$6^x = 6^1$

$x = 1$

Ответ: $1$.

г) $49^x - 8 \cdot 7^x + 7 = 0$

Так как $49^x = (7^2)^x = (7^x)^2$, данное уравнение можно свести к квадратному.

Пусть $t = 7^x$, где $t > 0$.

Запишем уравнение с новой переменной:

$t^2 - 8t + 7 = 0$

Решим по теореме Виета:

$t_1 + t_2 = 8$

$t_1 \cdot t_2 = 7$

Корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 7$.

Оба корня положительные, поэтому оба являются решениями квадратного уравнения.

Выполним обратную замену:

1) $7^x = t_1 \implies 7^x = 1 \implies 7^x = 7^0 \implies x = 0$.

2) $7^x = t_2 \implies 7^x = 7 \implies 7^x = 7^1 \implies x = 1$.

Ответ: $0; 1$.