Номер 464, страница 231 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 10. Показательная и логарифмическая функции. Глава 4. Показательная и логарифмическая функции - номер 464, страница 231.
№464 (с. 231)
Условие. №464 (с. 231)
скриншот условия

464. a) $9^x - 8 \cdot 3^x - 9 = 0;$
б) $100^x - 11 \cdot 10^x + 10 = 0;$
B) $36^x - 4 \cdot 6^x - 12 = 0;$
г) $49^x - 8 \cdot 7^x + 7 = 0.$
Решение 1. №464 (с. 231)


Решение 3. №464 (с. 231)

Решение 4. №464 (с. 231)

Решение 5. №464 (с. 231)
а) $9^x - 8 \cdot 3^x - 9 = 0$
Данное уравнение является показательным. Заметим, что $9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$. Это позволяет свести уравнение к квадратному с помощью замены переменной.
Пусть $t = 3^x$. Так как показательная функция $y=3^x$ принимает только положительные значения, то на новую переменную $t$ накладывается условие $t > 0$.
Подставим $t$ в исходное уравнение:
$t^2 - 8t - 9 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100 = 10^2$
Найдем корни уравнения для $t$:
$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - 10}{2} = -1$
$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + 10}{2} = 9$
Проверим корни на соответствие условию $t > 0$.
Корень $t_1 = -1$ не удовлетворяет условию $t > 0$, поэтому он является посторонним.
Корень $t_2 = 9$ удовлетворяет условию $t > 0$.
Выполним обратную замену для $t_2 = 9$:
$3^x = 9$
$3^x = 3^2$
$x = 2$
Ответ: $2$.
б) $100^x - 11 \cdot 10^x + 10 = 0$
Заметим, что $100^x = (10^2)^x = (10^x)^2$. Сделаем замену переменной, чтобы свести уравнение к квадратному.
Пусть $t = 10^x$, при этом $t > 0$.
Уравнение принимает вид:
$t^2 - 11t + 10 = 0$
Это приведенное квадратное уравнение, решим его с помощью теоремы Виета:
$t_1 + t_2 = 11$
$t_1 \cdot t_2 = 10$
Подбором находим корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 10$.
Оба корня удовлетворяют условию $t > 0$.
Выполним обратную замену для каждого корня:
1) $10^x = t_1 \implies 10^x = 1 \implies 10^x = 10^0 \implies x = 0$.
2) $10^x = t_2 \implies 10^x = 10 \implies 10^x = 10^1 \implies x = 1$.
Ответ: $0; 1$.
в) $36^x - 4 \cdot 6^x - 12 = 0$
Преобразуем уравнение, учитывая, что $36^x = (6^2)^x = (6^x)^2$.
Введем замену переменной: пусть $t = 6^x$. Условие для новой переменной: $t > 0$.
Получаем квадратное уравнение:
$t^2 - 4t - 12 = 0$
Решим его через дискриминант:
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64 = 8^2$
Корни уравнения для $t$:
$t_1 = \frac{4 - 8}{2} = -2$
$t_2 = \frac{4 + 8}{2} = 6$
Корень $t_1 = -2$ не удовлетворяет условию $t > 0$, значит, он посторонний.
Корень $t_2 = 6$ подходит.
Сделаем обратную замену:
$6^x = 6$
$6^x = 6^1$
$x = 1$
Ответ: $1$.
г) $49^x - 8 \cdot 7^x + 7 = 0$
Так как $49^x = (7^2)^x = (7^x)^2$, данное уравнение можно свести к квадратному.
Пусть $t = 7^x$, где $t > 0$.
Запишем уравнение с новой переменной:
$t^2 - 8t + 7 = 0$
Решим по теореме Виета:
$t_1 + t_2 = 8$
$t_1 \cdot t_2 = 7$
Корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 7$.
Оба корня положительные, поэтому оба являются решениями квадратного уравнения.
Выполним обратную замену:
1) $7^x = t_1 \implies 7^x = 1 \implies 7^x = 7^0 \implies x = 0$.
2) $7^x = t_2 \implies 7^x = 7 \implies 7^x = 7^1 \implies x = 1$.
Ответ: $0; 1$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 464 расположенного на странице 231 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №464 (с. 231), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.