Номер 468, страница 232 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 10. Показательная и логарифмическая функции. Глава 4. Показательная и логарифмическая функции - номер 468, страница 232.

Условие.

Решите уравнения (468–470).

468.—

a) $3^{x+1} - 2 \cdot 3^{x-2} = 75;$

б) $(\frac{1}{5})^{x-1} - (\frac{1}{5})^{x+1} = 4,8;$

в) $5 \cdot (\frac{1}{2})^{x-3} + (\frac{1}{2})^{x+1} = 162;$

г) $5 \cdot 9^x + 9^{x-2} = 406.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) $3^{x+1} - 2 \cdot 3^{x-2} = 75$

Используем свойства степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$ для преобразования уравнения:

$3^x \cdot 3^1 - 2 \cdot \frac{3^x}{3^2} = 75$

$3 \cdot 3^x - 2 \cdot \frac{3^x}{9} = 75$

Вынесем общий множитель $3^x$ за скобки:

$3^x \left(3 - \frac{2}{9}\right) = 75$

Упростим выражение в скобках:

$3 - \frac{2}{9} = \frac{27}{9} - \frac{2}{9} = \frac{25}{9}$

Подставим полученное значение обратно в уравнение:

$3^x \cdot \frac{25}{9} = 75$

Выразим $3^x$:

$3^x = 75 \cdot \frac{9}{25}$

$3^x = 3 \cdot 9$

$3^x = 27$

Так как $27 = 3^3$, получаем:

$3^x = 3^3$

$x = 3$

Ответ: $3$.

б) $\left(\frac{1}{5}\right)^{x-1} - \left(\frac{1}{5}\right)^{x+1} = 4,8$

Преобразуем уравнение, используя свойства степеней:

$\left(\frac{1}{5}\right)^x \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^{-1} - \left(\frac{1}{5}\right)^x \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^1 = 4,8$

$\left(\frac{1}{5}\right)^x \cdot 5 - \left(\frac{1}{5}\right)^x \cdot \frac{1}{5} = 4,8$

Вынесем общий множитель $\left(\frac{1}{5}\right)^x$ за скобки:

$\left(\frac{1}{5}\right)^x \left(5 - \frac{1}{5}\right) = 4,8$

Упростим выражение в скобках:

$5 - \frac{1}{5} = \frac{25}{5} - \frac{1}{5} = \frac{24}{5}$

Представим десятичную дробь $4,8$ в виде обыкновенной: $4,8 = \frac{48}{10} = \frac{24}{5}$.

Уравнение принимает вид:

$\left(\frac{1}{5}\right)^x \cdot \frac{24}{5} = \frac{24}{5}$

Разделим обе части на $\frac{24}{5}$:

$\left(\frac{1}{5}\right)^x = 1$

Любое число в нулевой степени равно единице, поэтому:

$\left(\frac{1}{5}\right)^x = \left(\frac{1}{5}\right)^0$

$x = 0$

Ответ: $0$.

в) $5 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{x-3} + \left(\frac{1}{2}\right)^{x+1} = 162$

Используя свойства степеней, преобразуем уравнение:

$5 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{-3} + \left(\frac{1}{2}\right)^x \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^1 = 162$

$5 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x \cdot 2^3 + \left(\frac{1}{2}\right)^x \cdot \frac{1}{2} = 162$

$5 \cdot 8 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x + \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x = 162$

$40 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x + \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x = 162$

Вынесем общий множитель $\left(\frac{1}{2}\right)^x$ за скобки:

$\left(\frac{1}{2}\right)^x \left(40 + \frac{1}{2}\right) = 162$

Упростим выражение в скобках:

$40 + \frac{1}{2} = \frac{80}{2} + \frac{1}{2} = \frac{81}{2}$

Уравнение принимает вид:

$\left(\frac{1}{2}\right)^x \cdot \frac{81}{2} = 162$

Выразим $\left(\frac{1}{2}\right)^x$:

$\left(\frac{1}{2}\right)^x = 162 \cdot \frac{2}{81}$

$\left(\frac{1}{2}\right)^x = 2 \cdot 2$

$\left(\frac{1}{2}\right)^x = 4$

Представим левую и правую части в виде степени с основанием 2:

$2^{-x} = 2^2$

$-x = 2$

$x = -2$

Ответ: $-2$.

г) $5 \cdot 9^x + 9^{x-2} = 406$

Преобразуем $9^{x-2}$ используя свойство степеней:

$9^{x-2} = 9^x \cdot 9^{-2} = 9^x \cdot \frac{1}{81}$

Подставим в исходное уравнение:

$5 \cdot 9^x + \frac{1}{81} \cdot 9^x = 406$

Вынесем общий множитель $9^x$ за скобки:

$9^x \left(5 + \frac{1}{81}\right) = 406$

Упростим выражение в скобках:

$5 + \frac{1}{81} = \frac{5 \cdot 81}{81} + \frac{1}{81} = \frac{405 + 1}{81} = \frac{406}{81}$

Уравнение принимает вид:

$9^x \cdot \frac{406}{81} = 406$

Выразим $9^x$:

$9^x = 406 \cdot \frac{81}{406}$

$9^x = 81$

Так как $81 = 9^2$, получаем:

$9^x = 9^2$

$x = 2$

Ответ: $2$.