Страница 232 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Решите уравнения (468–470).

468.—

a) $3^{x+1} - 2 \cdot 3^{x-2} = 75;$

б) $(\frac{1}{5})^{x-1} - (\frac{1}{5})^{x+1} = 4,8;$

в) $5 \cdot (\frac{1}{2})^{x-3} + (\frac{1}{2})^{x+1} = 162;$

г) $5 \cdot 9^x + 9^{x-2} = 406.$

а) $3^{x+1} - 2 \cdot 3^{x-2} = 75$

Используем свойства степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$ для преобразования уравнения:

$3^x \cdot 3^1 - 2 \cdot \frac{3^x}{3^2} = 75$

$3 \cdot 3^x - 2 \cdot \frac{3^x}{9} = 75$

Вынесем общий множитель $3^x$ за скобки:

$3^x \left(3 - \frac{2}{9}\right) = 75$

Упростим выражение в скобках:

$3 - \frac{2}{9} = \frac{27}{9} - \frac{2}{9} = \frac{25}{9}$

Подставим полученное значение обратно в уравнение:

$3^x \cdot \frac{25}{9} = 75$

Выразим $3^x$:

$3^x = 75 \cdot \frac{9}{25}$

$3^x = 3 \cdot 9$

$3^x = 27$

Так как $27 = 3^3$, получаем:

$3^x = 3^3$

$x = 3$

Ответ: $3$.

б) $\left(\frac{1}{5}\right)^{x-1} - \left(\frac{1}{5}\right)^{x+1} = 4,8$

Преобразуем уравнение, используя свойства степеней:

$\left(\frac{1}{5}\right)^x \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^{-1} - \left(\frac{1}{5}\right)^x \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^1 = 4,8$

$\left(\frac{1}{5}\right)^x \cdot 5 - \left(\frac{1}{5}\right)^x \cdot \frac{1}{5} = 4,8$

Вынесем общий множитель $\left(\frac{1}{5}\right)^x$ за скобки:

$\left(\frac{1}{5}\right)^x \left(5 - \frac{1}{5}\right) = 4,8$

Упростим выражение в скобках:

$5 - \frac{1}{5} = \frac{25}{5} - \frac{1}{5} = \frac{24}{5}$

Представим десятичную дробь $4,8$ в виде обыкновенной: $4,8 = \frac{48}{10} = \frac{24}{5}$.

Уравнение принимает вид:

$\left(\frac{1}{5}\right)^x \cdot \frac{24}{5} = \frac{24}{5}$

Разделим обе части на $\frac{24}{5}$:

$\left(\frac{1}{5}\right)^x = 1$

Любое число в нулевой степени равно единице, поэтому:

$\left(\frac{1}{5}\right)^x = \left(\frac{1}{5}\right)^0$

$x = 0$

Ответ: $0$.

в) $5 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{x-3} + \left(\frac{1}{2}\right)^{x+1} = 162$

Используя свойства степеней, преобразуем уравнение:

$5 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{-3} + \left(\frac{1}{2}\right)^x \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^1 = 162$

$5 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x \cdot 2^3 + \left(\frac{1}{2}\right)^x \cdot \frac{1}{2} = 162$

$5 \cdot 8 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x + \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x = 162$

$40 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x + \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x = 162$

Вынесем общий множитель $\left(\frac{1}{2}\right)^x$ за скобки:

$\left(\frac{1}{2}\right)^x \left(40 + \frac{1}{2}\right) = 162$

Упростим выражение в скобках:

$40 + \frac{1}{2} = \frac{80}{2} + \frac{1}{2} = \frac{81}{2}$

Уравнение принимает вид:

$\left(\frac{1}{2}\right)^x \cdot \frac{81}{2} = 162$

Выразим $\left(\frac{1}{2}\right)^x$:

$\left(\frac{1}{2}\right)^x = 162 \cdot \frac{2}{81}$

$\left(\frac{1}{2}\right)^x = 2 \cdot 2$

$\left(\frac{1}{2}\right)^x = 4$

Представим левую и правую части в виде степени с основанием 2:

$2^{-x} = 2^2$

$-x = 2$

$x = -2$

Ответ: $-2$.

г) $5 \cdot 9^x + 9^{x-2} = 406$

Преобразуем $9^{x-2}$ используя свойство степеней:

$9^{x-2} = 9^x \cdot 9^{-2} = 9^x \cdot \frac{1}{81}$

Подставим в исходное уравнение:

$5 \cdot 9^x + \frac{1}{81} \cdot 9^x = 406$

Вынесем общий множитель $9^x$ за скобки:

$9^x \left(5 + \frac{1}{81}\right) = 406$

Упростим выражение в скобках:

$5 + \frac{1}{81} = \frac{5 \cdot 81}{81} + \frac{1}{81} = \frac{405 + 1}{81} = \frac{406}{81}$

Уравнение принимает вид:

$9^x \cdot \frac{406}{81} = 406$

Выразим $9^x$:

$9^x = 406 \cdot \frac{81}{406}$

$9^x = 81$

Так как $81 = 9^2$, получаем:

$9^x = 9^2$

$x = 2$

Ответ: $2$.

469. —

a) $5^{x+1} = 8^{x+1}$;

б) $(\frac{1}{3})^{x-1} = (\frac{1}{4})^{1-x}$;

в) $7^{x-2} = 4^{2-x}$.

а) $5^{x+1} = 8^{x+1}$

Данное показательное уравнение имеет разные основания ($5$ и $8$), но одинаковые показатели степени ($x+1$). Равенство вида $a^y = b^y$, где $a, b > 0$ и $a \ne b$, выполняется только в том случае, когда показатель степени $y$ равен нулю. Это связано с тем, что любое положительное число в нулевой степени равно единице ($a^0 = 1$).

Следовательно, приравняем показатель степени к нулю, чтобы найти решение:

$x + 1 = 0$

Вычтем 1 из обеих частей уравнения:

$x = -1$

Проверка: Подставим $x = -1$ в исходное уравнение:

$5^{-1+1} = 8^{-1+1}$

$5^0 = 8^0$

$1 = 1$

Равенство верное.

Ответ: $x = -1$

б) $(\frac{1}{3})^{x-1} = (\frac{1}{4})^{1-x}$

В этом уравнении разные основания ($\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{4}$) и, на первый взгляд, разные показатели ($x-1$ и $1-x$). Однако заметим, что показатели являются противоположными числами: $1-x = -(x-1)$.

Воспользуемся свойством степени $a^{-n} = (\frac{1}{a})^n$. Преобразуем правую часть уравнения:

$(\frac{1}{4})^{1-x} = (\frac{1}{4})^{-(x-1)} = ((\frac{1}{4})^{-1})^{x-1} = 4^{x-1}$

Теперь исходное уравнение можно переписать в виде:

$(\frac{1}{3})^{x-1} = 4^{x-1}$

Мы получили уравнение с разными основаниями и одинаковым показателем степени $x-1$. Как и в предыдущем задании, такое равенство возможно только тогда, когда показатель степени равен нулю.

$x - 1 = 0$

Прибавим 1 к обеим частям уравнения:

$x = 1$

Проверка: Подставим $x = 1$ в исходное уравнение:

$(\frac{1}{3})^{1-1} = (\frac{1}{4})^{1-1}$

$(\frac{1}{3})^0 = (\frac{1}{4})^0$

$1 = 1$

Равенство верное.

Ответ: $x = 1$

в) $7^{x-2} = 4^{2-x}$

В данном уравнении основания разные ($7$ и $4$), а показатели степеней ($x-2$ и $2-x$) являются противоположными числами, так как $2-x = -(x-2)$.

Преобразуем правую часть уравнения, используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$4^{2-x} = 4^{-(x-2)} = \frac{1}{4^{x-2}}$

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$7^{x-2} = \frac{1}{4^{x-2}}$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на $4^{x-2}$ (это выражение всегда положительно и не равно нулю):

$7^{x-2} \cdot 4^{x-2} = 1$

Теперь воспользуемся свойством произведения степеней с одинаковым показателем $a^c \cdot b^c = (ab)^c$:

$(7 \cdot 4)^{x-2} = 1$

$28^{x-2} = 1$

Это равенство будет верным только тогда, когда показатель степени равен нулю.

$x - 2 = 0$

Прибавим 2 к обеим частям уравнения:

$x = 2$

Проверка: Подставим $x = 2$ в исходное уравнение:

$7^{2-2} = 4^{2-2}$

$7^0 = 4^0$

$1 = 1$

Равенство верное.

Ответ: $x = 2$

470. а) $3^x + 3^{3-x} = 12$;

б) $4^{\sqrt{x-2}} + 16 = 10 \cdot 2^{\sqrt{x-2}}$;

в) $\left(\frac{1}{5}\right)^{1-x} - \left(\frac{1}{5}\right)^x = 4,96$;

г) $4^x - 0,25^{x-2} = 15$.

a) $3^x + 3^{3-x} = 12$

Преобразуем уравнение, используя свойство степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:

$3^x + \frac{3^3}{3^x} = 12$

$3^x + \frac{27}{3^x} = 12$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = 3^x$. Так как показательная функция всегда положительна, $y > 0$.

Подставим $y$ в уравнение:

$y + \frac{27}{y} = 12$

Умножим обе части уравнения на $y$ (так как $y \neq 0$):

$y^2 + 27 = 12y$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$y^2 - 12y + 27 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 12, а произведение равно 27. Корни $y_1 = 3$ и $y_2 = 9$.

Оба корня положительны, поэтому оба подходят по условию $y > 0$.

Выполним обратную замену для каждого корня:

1) Если $y = 3$, то $3^x = 3$. Отсюда $3^x = 3^1$, следовательно $x_1 = 1$.

2) Если $y = 9$, то $3^x = 9$. Отсюда $3^x = 3^2$, следовательно $x_2 = 2$.

Ответ: $1; 2$.

б) $4^{\sqrt{x-2}} + 16 = 10 \cdot 2^{\sqrt{x-2}}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x-2 \ge 0$, откуда $x \ge 2$.

Представим $4$ как $2^2$:

$(2^2)^{\sqrt{x-2}} + 16 = 10 \cdot 2^{\sqrt{x-2}}$

$(2^{\sqrt{x-2}})^2 + 16 = 10 \cdot 2^{\sqrt{x-2}}$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = 2^{\sqrt{x-2}}$. Поскольку $\sqrt{x-2} \ge 0$, то $y = 2^{\sqrt{x-2}} \ge 2^0 = 1$.

Подставим $y$ в уравнение:

$y^2 + 16 = 10y$

Перенесем все члены в левую часть:

$y^2 - 10y + 16 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 10, а произведение равно 16. Корни $y_1 = 2$ и $y_2 = 8$.

Оба корня удовлетворяют условию $y \ge 1$.

Выполним обратную замену:

1) Если $y = 2$, то $2^{\sqrt{x-2}} = 2$. Отсюда $2^{\sqrt{x-2}} = 2^1$, следовательно $\sqrt{x-2} = 1$. Возводим обе части в квадрат: $x-2 = 1$, откуда $x_1 = 3$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($3 \ge 2$).

2) Если $y = 8$, то $2^{\sqrt{x-2}} = 8$. Отсюда $2^{\sqrt{x-2}} = 2^3$, следовательно $\sqrt{x-2} = 3$. Возводим обе части в квадрат: $x-2 = 9$, откуда $x_2 = 11$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($11 \ge 2$).

Ответ: $3; 11$.

в) $(\frac{1}{5})^{1-x} - (\frac{1}{5})^x = 4,96$

Преобразуем левую часть уравнения, используя свойство степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:

$\frac{(\frac{1}{5})^1}{(\frac{1}{5})^x} - (\frac{1}{5})^x = 4,96$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = (\frac{1}{5})^x$. Так как $y$ - показательная функция, $y > 0$.

Подставим $y$ в уравнение:

$\frac{1/5}{y} - y = 4,96$

Умножим обе части на $y$ (так как $y \neq 0$):

$\frac{1}{5} - y^2 = 4,96y$

Перенесем все члены в правую часть и запишем в виде стандартного квадратного уравнения:

$y^2 + 4,96y - \frac{1}{5} = 0$

$y^2 + 4,96y - 0,2 = 0$

Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим уравнение на 100:

$100y^2 + 496y - 20 = 0$

Разделим уравнение на 4 для упрощения:

$25y^2 + 124y - 5 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = 124^2 - 4 \cdot 25 \cdot (-5) = 15376 + 500 = 15876$. $\sqrt{D} = \sqrt{15876} = 126$.

$y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-124 \pm 126}{2 \cdot 25} = \frac{-124 \pm 126}{50}$.

$y_1 = \frac{-124 - 126}{50} = \frac{-250}{50} = -5$. Этот корень не подходит, так как $y > 0$.

$y_2 = \frac{-124 + 126}{50} = \frac{2}{50} = \frac{1}{25}$. Этот корень подходит.

Выполним обратную замену:

$(\frac{1}{5})^x = \frac{1}{25} \implies (\frac{1}{5})^x = (\frac{1}{5})^2 \implies x = 2$.

Ответ: $2$.

г) $4^x - 0,25^{x-2} = 15$

Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $0,25 = \frac{1}{4} = 4^{-1}$.

Подставим это в уравнение:

$4^x - (4^{-1})^{x-2} = 15$

Используем свойство степеней $(a^m)^n = a^{mn}$ и $a^{m+n}=a^m \cdot a^n$:

$4^x - 4^{-1 \cdot (x-2)} = 15$

$4^x - 4^{-x+2} = 15$

$4^x - 4^{-x} \cdot 4^2 = 15$

$4^x - \frac{16}{4^x} = 15$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = 4^x$. Так как $y$ - показательная функция, $y > 0$.

Подставим $y$ в уравнение:

$y - \frac{16}{y} = 15$

Умножим обе части на $y$ (так как $y \neq 0$):

$y^2 - 16 = 15y$

Перенесем все члены в левую часть:

$y^2 - 15y - 16 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 15, а произведение равно -16. Корни $y_1 = 16$ и $y_2 = -1$.

Корень $y_2 = -1$ не подходит, так как $y > 0$.

Выполним обратную замену для $y_1 = 16$:

$4^x = 16 \implies 4^x = 4^2 \implies x = 2$.

Ответ: $2$.

471.— Решите систему уравнений:

a) $\begin{cases}5^{x+y} = 125, \\4^{(x-y)^2-1} = 1;\end{cases}$

б) $\begin{cases}x+y=5, \\4^x+4^y=80;\end{cases}$

в) $\begin{cases}3^x+3^y=12, \\6^{x+y}=216;\end{cases}$

г) $\begin{cases}4^{x+y}=128, \\5^{3x-2y-3}=1.\end{cases}$

а)Исходная система уравнений:$ \begin{cases} 5^{x+y} = 125, \\ 4^{(x-y)^2-1} = 1; \end{cases} $Преобразуем первое уравнение, зная, что $ 125 = 5^3 $:$ 5^{x+y} = 5^3 $Из этого следует, что показатели степеней равны:$ x+y = 3 $Теперь преобразуем второе уравнение, зная, что любое число в степени 0 равно 1, т.е. $ 1 = 4^0 $:$ 4^{(x-y)^2-1} = 4^0 $Приравниваем показатели степеней:$ (x-y)^2-1 = 0 $$ (x-y)^2 = 1 $Это уравнение имеет два решения:$ x-y = 1 $ или $ x-y = -1 $Теперь нам нужно решить две системы линейных уравнений.1) Решим систему:$ \begin{cases} x+y = 3 \\ x-y = 1 \end{cases} $Сложим два уравнения системы: $ (x+y) + (x-y) = 3+1 $, что дает $ 2x = 4 $, откуда $ x=2 $.Подставим значение $ x=2 $ в первое уравнение: $ 2+y = 3 $, откуда $ y=1 $.Первое решение: $ (2, 1) $.2) Решим вторую систему:$ \begin{cases} x+y = 3 \\ x-y = -1 \end{cases} $Сложим два уравнения системы: $ (x+y) + (x-y) = 3+(-1) $, что дает $ 2x = 2 $, откуда $ x=1 $.Подставим значение $ x=1 $ в первое уравнение: $ 1+y = 3 $, откуда $ y=2 $.Второе решение: $ (1, 2) $.Ответ: $ (2, 1); (1, 2) $.

б)Исходная система уравнений:$ \begin{cases} x + y = 5, \\ 4^x + 4^y = 80; \end{cases} $Из первого уравнения выразим $ y $: $ y = 5-x $.Подставим это выражение во второе уравнение:$ 4^x + 4^{5-x} = 80 $Используя свойство степеней $ a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n} $, получаем:$ 4^x + \frac{4^5}{4^x} = 80 $Так как $ 4^5 = 1024 $, уравнение принимает вид:$ 4^x + \frac{1024}{4^x} = 80 $Сделаем замену переменной. Пусть $ t = 4^x $. Так как показательная функция всегда положительна, $ t>0 $.$ t + \frac{1024}{t} = 80 $Умножим обе части на $ t $ (так как $ t \ne 0 $):$ t^2 + 1024 = 80t $Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:$ t^2 - 80t + 1024 = 0 $Решим это уравнение с помощью дискриминанта:$ D = b^2 - 4ac = (-80)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1024 = 6400 - 4096 = 2304 $$ \sqrt{D} = \sqrt{2304} = 48 $Найдем корни для $ t $:$ t_1 = \frac{80 + 48}{2} = \frac{128}{2} = 64 $$ t_2 = \frac{80 - 48}{2} = \frac{32}{2} = 16 $Оба корня положительны, поэтому оба подходят. Вернемся к замене.1) Если $ t=64 $:$ 4^x = 64 \Rightarrow 4^x = 4^3 \Rightarrow x=3 $.Тогда $ y = 5 - x = 5 - 3 = 2 $.Первое решение: $ (3, 2) $.2) Если $ t=16 $:$ 4^x = 16 \Rightarrow 4^x = 4^2 \Rightarrow x=2 $.Тогда $ y = 5 - x = 5 - 2 = 3 $.Второе решение: $ (2, 3) $.Ответ: $ (3, 2); (2, 3) $.

в)Исходная система уравнений:$ \begin{cases} 3^x + 3^y = 12, \\ 6^{x+y} = 216; \end{cases} $Преобразуем второе уравнение, зная, что $ 216 = 6^3 $:$ 6^{x+y} = 6^3 $Отсюда следует, что $ x+y = 3 $.Выразим $ y $ через $ x $: $ y = 3-x $.Подставим это выражение в первое уравнение системы:$ 3^x + 3^{3-x} = 12 $Используем свойство степеней $ a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n} $:$ 3^x + \frac{3^3}{3^x} = 12 $$ 3^x + \frac{27}{3^x} = 12 $Сделаем замену переменной. Пусть $ t = 3^x $, где $ t > 0 $.$ t + \frac{27}{t} = 12 $Умножим на $ t $:$ t^2 + 27 = 12t $$ t^2 - 12t + 27 = 0 $Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 12, а произведение 27. Корни легко находятся: $ t_1 = 3 $ и $ t_2 = 9 $.Оба корня положительны. Вернемся к замене.1) Если $ t=3 $:$ 3^x = 3 \Rightarrow 3^x = 3^1 \Rightarrow x=1 $.Тогда $ y = 3 - x = 3 - 1 = 2 $.Первое решение: $ (1, 2) $.2) Если $ t=9 $:$ 3^x = 9 \Rightarrow 3^x = 3^2 \Rightarrow x=2 $.Тогда $ y = 3 - x = 3 - 2 = 1 $.Второе решение: $ (2, 1) $.Ответ: $ (1, 2); (2, 1) $.

г)Исходная система уравнений:$ \begin{cases} 4^{x+y} = 128, \\ 5^{3x-2y-3} = 1. \end{cases} $Преобразуем первое уравнение, приведя обе части к основанию 2: $ 4 = 2^2 $ и $ 128 = 2^7 $.$ (2^2)^{x+y} = 2^7 $$ 2^{2(x+y)} = 2^7 $Приравниваем показатели:$ 2(x+y) = 7 \Rightarrow 2x + 2y = 7 $.Теперь преобразуем второе уравнение, зная, что $ 1 = 5^0 $:$ 5^{3x-2y-3} = 5^0 $Приравниваем показатели:$ 3x-2y-3=0 \Rightarrow 3x-2y = 3 $.В результате мы получили систему двух линейных уравнений:$ \begin{cases} 2x + 2y = 7 \\ 3x - 2y = 3 \end{cases} $Сложим эти два уравнения, чтобы исключить переменную $ y $:$ (2x+2y) + (3x-2y) = 7+3 $$ 5x = 10 $$ x = 2 $Подставим найденное значение $ x=2 $ в первое уравнение $ 2x+2y=7 $:$ 2(2) + 2y = 7 $$ 4 + 2y = 7 $$ 2y = 7 - 4 $$ 2y = 3 $$ y = \frac{3}{2} $Решение системы: $ (2, \frac{3}{2}) $.Ответ: $ (2, \frac{3}{2}) $.

Решите неравенства (472–474).

472. a) $2^{x^2} > \left(\frac{1}{2}\right)^{2x-3};$

б) $\left(\frac{1}{25}\right)^{2x} < (\sqrt{5})^{x^2+3,75};$

в) $3^{4x+3} \leqslant \left(\frac{1}{9}\right)^{\frac{x^2}{2}};$

г) $\left(\frac{1}{4}\right)^{10x} > 64^{\frac{2}{3}-x^2}.$

а) $2^{x^2} > (\frac{1}{2})^{2x-3}$

Чтобы решить показательное неравенство, приведем обе его части к одному основанию. В данном случае это основание 2, так как $\frac{1}{2} = 2^{-1}$.

$(2)^{-1 \cdot (2x-3)} = 2^{-2x+3}$

Неравенство принимает вид:

$2^{x^2} > 2^{3-2x}$

Так как основание степени $2 > 1$, то при переходе от неравенства для степеней к неравенству для их показателей знак неравенства сохраняется:

$x^2 > 3-2x$

Перенесем все члены в левую часть и решим полученное квадратное неравенство:

$x^2 + 2x - 3 > 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна -2, а произведение -3. Следовательно, корни равны $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$.

Графиком функции $y = x^2 + 2x - 3$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции положительны (больше нуля) при $x$, находящихся за пределами интервала между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $x < -3$ или $x > 1$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (1; +\infty)$.

б) $(\frac{1}{25})^{2x} < (\sqrt{5})^{x^2 + 3.75}$

Приведем обе части неравенства к основанию 5. Учтем, что $\frac{1}{25} = \frac{1}{5^2} = 5^{-2}$ и $\sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}}$.

Неравенство преобразуется к виду:

$(5^{-2})^{2x} < (5^{\frac{1}{2}})^{x^2 + 3.75}$

$5^{-4x} < 5^{\frac{1}{2}(x^2 + 3.75)}$

Поскольку основание $5 > 1$, знак неравенства при переходе к показателям сохраняется:

$-4x < \frac{1}{2}(x^2 + 3.75)$

Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дроби:

$-8x < x^2 + 3.75$

Перенесем все члены в правую часть:

$0 < x^2 + 8x + 3.75$

Для удобства решения умножим неравенство на 4, представив $3.75 = \frac{15}{4}$:

$4x^2 + 32x + 15 > 0$

Найдем корни уравнения $4x^2 + 32x + 15 = 0$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 32^2 - 4 \cdot 4 \cdot 15 = 1024 - 240 = 784 = 28^2$

$x_1 = \frac{-32 - 28}{2 \cdot 4} = \frac{-60}{8} = -7.5$

$x_2 = \frac{-32 + 28}{2 \cdot 4} = \frac{-4}{8} = -0.5$

Парабола $y = 4x^2 + 32x + 15$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство выполняется вне интервала между корнями.

Ответ: $x \in (-\infty; -7.5) \cup (-0.5; +\infty)$.

в) $3^{4x+3} \le (\frac{1}{9})^{\frac{x^2}{2}}$

Приведем обе части к основанию 3. Так как $\frac{1}{9} = 3^{-2}$, неравенство принимает вид:

$3^{4x+3} \le (3^{-2})^{\frac{x^2}{2}}$

$3^{4x+3} \le 3^{-2 \cdot \frac{x^2}{2}}$

$3^{4x+3} \le 3^{-x^2}$

Так как основание $3 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$4x + 3 \le -x^2$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 + 4x + 3 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = -1$ и $x_2 = -3$.

Парабола $y = x^2 + 4x + 3$ имеет ветви, направленные вверх. Неравенство $\le 0$ выполняется на отрезке между корнями, включая сами корни.

Ответ: $x \in [-3; -1]$.

г) $(\frac{1}{4})^{10x} > 64^{\frac{2}{3} - x^2}$

Приведем обе части к основанию 4. Заметим, что $\frac{1}{4} = 4^{-1}$ и $64 = 4^3$.

Неравенство преобразуется к виду:

$(4^{-1})^{10x} > (4^3)^{\frac{2}{3} - x^2}$

$4^{-10x} > 4^{3(\frac{2}{3} - x^2)}$

$4^{-10x} > 4^{2 - 3x^2}$

Так как основание $4 > 1$, знак неравенства при переходе к показателям сохраняется:

$-10x > 2 - 3x^2$

$3x^2 - 10x - 2 > 0$

Найдем корни уравнения $3x^2 - 10x - 2 = 0$ через дискриминант:

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 100 + 24 = 124$

$\sqrt{D} = \sqrt{124} = \sqrt{4 \cdot 31} = 2\sqrt{31}$

Корни уравнения:

$x = \frac{10 \pm 2\sqrt{31}}{2 \cdot 3} = \frac{2(5 \pm \sqrt{31})}{6} = \frac{5 \pm \sqrt{31}}{3}$

$x_1 = \frac{5 - \sqrt{31}}{3}$, $x_2 = \frac{5 + \sqrt{31}}{3}$

Парабола $y = 3x^2 - 10x - 2$ имеет ветви, направленные вверх. Неравенство $> 0$ выполняется вне интервала между корнями.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{5 - \sqrt{31}}{3}) \cup (\frac{5 + \sqrt{31}}{3}; +\infty)$.

473. а) $\left(\frac{2}{3}\right)^{x} + \left(\frac{2}{3}\right)^{x-1} > 2,5;$

б) $2^{2x-1} + 2^{2x-2} + 2^{2x-3} < 448;$

в) $\left(\frac{4}{3}\right)^{x+1} - \left(\frac{4}{3}\right)^{x} > \frac{3}{16};$

г) $3^{x+2} + 3^{x-1} < 28.$

а) $(\frac{2}{3})^x + (\frac{2}{3})^{x-1} > 2,5$

Преобразуем неравенство, вынеся общий множитель $(\frac{2}{3})^x$ за скобки. Для этого представим $(\frac{2}{3})^{x-1}$ как $(\frac{2}{3})^x \cdot (\frac{2}{3})^{-1}$.

$(\frac{2}{3})^x + (\frac{2}{3})^x \cdot (\frac{2}{3})^{-1} > 2,5$

$(\frac{2}{3})^x \left(1 + (\frac{2}{3})^{-1}\right) > 2,5$

Упростим выражение в скобках:

$1 + (\frac{2}{3})^{-1} = 1 + \frac{3}{2} = \frac{2}{2} + \frac{3}{2} = \frac{5}{2} = 2,5$

Подставим полученное значение обратно в неравенство:

$(\frac{2}{3})^x \cdot 2,5 > 2,5$

Разделим обе части на 2,5. Так как 2,5 > 0, знак неравенства не изменится:

$(\frac{2}{3})^x > 1$

Представим 1 как степень с основанием $\frac{2}{3}$:

$(\frac{2}{3})^x > (\frac{2}{3})^0$

Так как основание степени $\frac{2}{3}$ меньше 1 ($0 < \frac{2}{3} < 1$), показательная функция является убывающей. Поэтому при переходе к сравнению показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$x < 0$

Ответ: $x \in (-\infty; 0)$.

б) $2^{2x-1} + 2^{2x-2} + 2^{2x-3} < 448$

Вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем, то есть $2^{2x-3}$:

$2^{2x-3}(2^{(2x-1)-(2x-3)} + 2^{(2x-2)-(2x-3)} + 1) < 448$

$2^{2x-3}(2^2 + 2^1 + 1) < 448$

Упростим выражение в скобках:

$4 + 2 + 1 = 7$

Неравенство принимает вид:

$2^{2x-3} \cdot 7 < 448$

Разделим обе части на 7:

$2^{2x-3} < \frac{448}{7}$

$2^{2x-3} < 64$

Представим 64 как степень с основанием 2:

$64 = 2^6$

$2^{2x-3} < 2^6$

Так как основание степени 2 больше 1, показательная функция является возрастающей. Поэтому при переходе к сравнению показателей знак неравенства сохраняется:

$2x - 3 < 6$

$2x < 9$

$x < \frac{9}{2}$ или $x < 4,5$

Ответ: $x \in (-\infty; 4,5)$.

в) $(\frac{4}{3})^{x+1} - (\frac{4}{3})^x > \frac{3}{16}$

Преобразуем неравенство, вынеся общий множитель $(\frac{4}{3})^x$ за скобки:

$(\frac{4}{3})^x \cdot (\frac{4}{3})^1 - (\frac{4}{3})^x > \frac{3}{16}$

$(\frac{4}{3})^x \left(\frac{4}{3} - 1\right) > \frac{3}{16}$

Упростим выражение в скобках:

$\frac{4}{3} - 1 = \frac{4}{3} - \frac{3}{3} = \frac{1}{3}$

Неравенство принимает вид:

$(\frac{4}{3})^x \cdot \frac{1}{3} > \frac{3}{16}$

Умножим обе части на 3:

$(\frac{4}{3})^x > \frac{3}{16} \cdot 3$

$(\frac{4}{3})^x > \frac{9}{16}$

Представим $\frac{9}{16}$ как степень с основанием $\frac{4}{3}$:

$\frac{9}{16} = (\frac{3}{4})^2 = ((\frac{4}{3})^{-1})^2 = (\frac{4}{3})^{-2}$

Неравенство принимает вид:

$(\frac{4}{3})^x > (\frac{4}{3})^{-2}$

Так как основание степени $\frac{4}{3}$ больше 1, показательная функция является возрастающей. Поэтому при переходе к сравнению показателей знак неравенства сохраняется:

$x > -2$

Ответ: $x \in (-2; +\infty)$.

г) $3^{x+2} + 3^{x-1} < 28$

Вынесем за скобки общий множитель $3^{x-1}$:

$3^{x-1}(3^{(x+2)-(x-1)} + 1) < 28$

$3^{x-1}(3^3 + 1) < 28$

Упростим выражение в скобках:

$27 + 1 = 28$

Неравенство принимает вид:

$3^{x-1} \cdot 28 < 28$

Разделим обе части на 28:

$3^{x-1} < 1$

Представим 1 как степень с основанием 3:

$3^{x-1} < 3^0$

Так как основание степени 3 больше 1, показательная функция является возрастающей. Поэтому при переходе к сравнению показателей знак неравенства сохраняется:

$x - 1 < 0$

$x < 1$

Ответ: $x \in (-\infty; 1)$.

474.-

a) $\pi^x - \pi^{2x} \ge 0;$

б) $\left(\frac{1}{3}\right)^{2x-1} - 10 \cdot 3^{-x} + 3 < 0;$

В) $4^x - 2^{x+1} - 8 > 0;$

г) $\left(\frac{1}{36}\right)^{x} - 5 \cdot 6^{-x} - 6 \le 0.$

а) Исходное неравенство: $ \pi^x - \pi^{2x} \ge 0 $.
Перенесем $ \pi^{2x} $ в правую часть: $ \pi^x \ge \pi^{2x} $.
Основание степени $ \pi $ (число Пи) больше 1 ($ \pi \approx 3.14 > 1 $). Для показательной функции с основанием больше 1, большему значению функции соответствует большее значение показателя. Поэтому мы можем перейти к неравенству для показателей, сохранив знак неравенства:
$ x \ge 2x $
$ x - 2x \ge 0 $
$ -x \ge 0 $
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$ x \le 0 $
Ответ: $ x \in (-\infty, 0] $.

б) Исходное неравенство: $ \left(\frac{1}{3}\right)^{2x-1} - 10 \cdot 3^{-x} + 3 < 0 $.
Приведем все степени к одному основанию 3. Используем свойство $ \frac{1}{a} = a^{-1} $:
$ \left(\frac{1}{3}\right)^{2x-1} = (3^{-1})^{2x-1} = 3^{-1 \cdot (2x-1)} = 3^{-2x+1} = 3^{-2x} \cdot 3^1 = 3 \cdot (3^{-x})^2 $.
Подставим это выражение в исходное неравенство:
$ 3 \cdot (3^{-x})^2 - 10 \cdot 3^{-x} + 3 < 0 $.
Введем замену переменной. Пусть $ t = 3^{-x} $. Так как показательная функция всегда положительна, то $ t > 0 $.
Неравенство принимает вид квадратного неравенства относительно $ t $:
$ 3t^2 - 10t + 3 < 0 $.
Найдем корни соответствующего уравнения $ 3t^2 - 10t + 3 = 0 $ с помощью дискриминанта:
$ D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 = 8^2 $.
$ t_1 = \frac{10 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $.
$ t_2 = \frac{10 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3 $.
Так как коэффициент при $ t^2 $ положителен, ветви параболы $ y = 3t^2 - 10t + 3 $ направлены вверх. Следовательно, неравенство $ 3t^2 - 10t + 3 < 0 $ выполняется между корнями: $ \frac{1}{3} < t < 3 $.
Это решение удовлетворяет условию $ t > 0 $.
Вернемся к переменной $ x $:
$ \frac{1}{3} < 3^{-x} < 3 $.
Представим $ \frac{1}{3} $ как $ 3^{-1} $ и $ 3 $ как $ 3^1 $:
$ 3^{-1} < 3^{-x} < 3^1 $.
Так как основание $ 3 > 1 $, переходим к неравенству для показателей, сохраняя знаки:
$ -1 < -x < 1 $.
Умножим все части двойного неравенства на -1, меняя знаки неравенства на противоположные:
$ 1 > x > -1 $, что то же самое, что и $ -1 < x < 1 $.
Ответ: $ x \in (-1, 1) $.

в) Исходное неравенство: $ 4^x - 2^{x+1} - 8 > 0 $.
Приведем все степени к основанию 2. Используем свойства $ 4^x = (2^2)^x = 2^{2x} = (2^x)^2 $ и $ 2^{x+1} = 2^x \cdot 2^1 = 2 \cdot 2^x $.
Неравенство принимает вид:
$ (2^x)^2 - 2 \cdot 2^x - 8 > 0 $.
Сделаем замену. Пусть $ t = 2^x $. Так как $ 2^x > 0 $ для любого $ x $, то $ t > 0 $.
Получаем квадратное неравенство:
$ t^2 - 2t - 8 > 0 $.
Найдем корни уравнения $ t^2 - 2t - 8 = 0 $. По теореме Виета, сумма корней равна 2, а произведение -8. Корни: $ t_1 = -2 $ и $ t_2 = 4 $.
Ветви параболы $ y = t^2 - 2t - 8 $ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется вне интервала между корнями: $ t < -2 $ или $ t > 4 $.
Учитывая ограничение $ t > 0 $, отбрасываем решение $ t < -2 $. Остается $ t > 4 $.
Выполним обратную замену:
$ 2^x > 4 $.
$ 2^x > 2^2 $.
Так как основание $ 2 > 1 $, переходим к неравенству для показателей:
$ x > 2 $.
Ответ: $ x \in (2, +\infty) $.

г) Исходное неравенство: $ \left(\frac{1}{36}\right)^x - 5 \cdot 6^{-x} - 6 \le 0 $.
Приведем степени к одному основанию 6. Используем свойство $ \frac{1}{36} = \frac{1}{6^2} = 6^{-2} $.
$ \left(\frac{1}{36}\right)^x = (6^{-2})^x = 6^{-2x} = (6^{-x})^2 $.
Неравенство переписывается в виде:
$ (6^{-x})^2 - 5 \cdot 6^{-x} - 6 \le 0 $.
Сделаем замену. Пусть $ t = 6^{-x} $. Так как $ 6^{-x} > 0 $, то $ t > 0 $.
Получаем квадратное неравенство:
$ t^2 - 5t - 6 \le 0 $.
Найдем корни уравнения $ t^2 - 5t - 6 = 0 $. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а произведение -6. Корни: $ t_1 = -1 $ и $ t_2 = 6 $.
Ветви параболы $ y = t^2 - 5t - 6 $ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями (включая их): $ -1 \le t \le 6 $.
Учитывая ограничение $ t > 0 $, получаем $ 0 < t \le 6 $.
Выполним обратную замену:
$ 0 < 6^{-x} \le 6 $.
Левая часть неравенства, $ 6^{-x} > 0 $, верна для любого действительного $ x $.
Решим правую часть: $ 6^{-x} \le 6^1 $.
Так как основание $ 6 > 1 $, переходим к неравенству для показателей, сохраняя знак:
$ -x \le 1 $.
Умножим на -1, изменив знак неравенства:
$ x \ge -1 $.
Ответ: $ x \in [-1, +\infty) $.

475. Решите графически неравенство:

a) $2^x \le 3 - x$;

б) $(\frac{1}{3})^x \le 2x + 5$;

в) $(\frac{1}{4})^x \ge 2x + 1$;

г) $3^x \ge 4 - x$.