Страница 235 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Найдите логарифм по основанию a числа, представленного в виде степени с основанием a (476—478).

476.

а) $3^2 = 9$;

б) $2^{-3} = \frac{1}{8}$;

в) $4^2 = 16$;

г) $5^{-2} = \frac{1}{25}$.

а) По определению, логарифмом числа $b$ по основанию $a$ является показатель степени $c$, в которую нужно возвести основание $a$, чтобы получить число $b$. То есть, если $a^c = b$, то $\log_a b = c$. В данном равенстве $3^2 = 9$ основание $a=3$, число $b=9$, а показатель степени $c=2$. Следовательно, логарифм числа 9 по основанию 3 равен 2. Запись в виде логарифма: $\log_3 9 = 2$.
Ответ: 2

б) В равенстве $2^{-3} = \frac{1}{8}$ основание $a=2$, число $b=\frac{1}{8}$, а показатель степени $c=-3$. Применяя определение логарифма ($a^c = b \iff \log_a b = c$), получаем, что логарифм числа $\frac{1}{8}$ по основанию 2 равен -3. Запись в виде логарифма: $\log_2 \frac{1}{8} = -3$.
Ответ: -3

в) В равенстве $4^2 = 16$ основание $a=4$, число $b=16$, а показатель степени $c=2$. Согласно определению логарифма, из этого следует, что логарифм числа 16 по основанию 4 равен 2. Запись в виде логарифма: $\log_4 16 = 2$.
Ответ: 2

г) В равенстве $5^{-2} = \frac{1}{25}$ основание $a=5$, число $b=\frac{1}{25}$, а показатель степени $c=-2$. На основе определения логарифма ($a^c = b \iff \log_a b = c$), находим, что логарифм числа $\frac{1}{25}$ по основанию 5 равен -2. Запись в виде логарифма: $\log_5 \frac{1}{25} = -2$.
Ответ: -2

477. a) $9^{\frac{1}{2}} = 3$;

б) $7^0 = 1$;

в) $32^{\frac{1}{5}} = 2$;

г) $3^{-1} = \frac{1}{3}$.

а) Чтобы записать равенство $9^{\frac{1}{2}} = 3$ в виде логарифмического, воспользуемся определением логарифма. Согласно определению, равенство $a^c = b$ эквивалентно логарифмическому равенству $\log_a b = c$. В данном случае основание $a = 9$, показатель степени $c = \frac{1}{2}$ и результат $b = 3$. Подставляя эти значения в логарифмическую форму, получаем: $\log_9 3 = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\log_9 3 = \frac{1}{2}$.

б) Исходное равенство: $7^0 = 1$. Используя определение логарифма, где показательное равенство $a^c = b$ равносильно логарифмическому $\log_a b = c$, определим значения для нашего случая. Основание степени $a=7$, показатель степени $c=0$, а результат $b=1$. Таким образом, логарифмическая форма данного равенства: $\log_7 1 = 0$.
Ответ: $\log_7 1 = 0$.

в) Исходное равенство: $32^{\frac{1}{5}} = 2$. Согласно определению логарифма, равенство $a^c = b$ можно переписать в виде $\log_a b = c$. В этом примере основание степени $a=32$, показатель степени $c=\frac{1}{5}$, и результат $b=2$. Заменяя значения в логарифмическом равенстве, получаем: $\log_{32} 2 = \frac{1}{5}$.
Ответ: $\log_{32} 2 = \frac{1}{5}$.

г) Исходное равенство: $3^{-1} = \frac{1}{3}$. Применим определение логарифма, по которому $a^c = b$ эквивалентно $\log_a b = c$. Здесь основание степени $a=3$, показатель степени $c=-1$, а результат $b=\frac{1}{3}$. Следовательно, соответствующее логарифмическое равенство имеет вид: $\log_3 \left(\frac{1}{3}\right) = -1$.
Ответ: $\log_3 \left(\frac{1}{3}\right) = -1$.

478.-

a) $27^{\frac{2}{3}} = 9;$

б) $32^{\frac{3}{5}} = 8;$

в) $81^{\frac{3}{4}} = 27;$

г) $125^{\frac{2}{3}} = 25.$

а) Для проверки равенства $27^{\frac{2}{3}} = 9$ преобразуем его левую часть. Сначала представим основание 27 в виде степени числа 3, то есть $27=3^3$. Затем воспользуемся свойством возведения степени в степень $(a^p)^q = a^{pq}$. Вычисление выглядит следующим образом: $27^{\frac{2}{3}} = (3^3)^{\frac{2}{3}} = 3^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 3^2 = 9$. Так как результат вычисления левой части, равный 9, совпадает с правой частью равенства, то исходное равенство является верным.
Ответ: равенство верное.

б) Проверим равенство $32^{\frac{3}{5}} = 8$. Представим основание 32 как степень числа 2, то есть $32=2^5$. Применим свойство степеней для левой части выражения: $32^{\frac{3}{5}} = (2^5)^{\frac{3}{5}} = 2^{5 \cdot \frac{3}{5}} = 2^3 = 8$. Полученный результат 8 совпадает с правой частью исходного выражения. Следовательно, равенство верное.
Ответ: равенство верное.

в) Проверим равенство $81^{\frac{3}{4}} = 27$. Представим основание 81 как степень числа 3, то есть $81=3^4$. Выполним преобразование левой части: $81^{\frac{3}{4}} = (3^4)^{\frac{3}{4}} = 3^{4 \cdot \frac{3}{4}} = 3^3 = 27$. Левая часть равна 27, что совпадает с правой частью. Таким образом, равенство верное.
Ответ: равенство верное.

г) Проверим равенство $125^{\frac{2}{3}} = 25$. Представим основание 125 как степень числа 5, то есть $125=5^3$. Преобразуем левую часть равенства, используя свойство степеней: $125^{\frac{2}{3}} = (5^3)^{\frac{2}{3}} = 5^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 5^2 = 25$. Результат вычисления левой части, 25, совпадает с правой частью. Следовательно, равенство верное.
Ответ: равенство верное.