Страница 241 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Найдите область определения выражения (499—500).

499.—

a) $\log_{\pi} (10 - 5x)$;

б) $\log_{5} (9 - x^2)$;

в) $\log_{3} (x - 4)$;

г) $\log_{0.3} (x^2 - 16).$

а) Область определения логарифмической функции находится из условия, что ее аргумент должен быть строго положительным. Для выражения $\log_{\pi}(10 - 5x)$ это условие записывается в виде неравенства:
$10 - 5x > 0$
Перенесем $-5x$ в правую часть неравенства (или $10$ в правую и умножим на $-1$ с изменением знака):
$10 > 5x$
Разделим обе части на 5:
$2 > x$, что эквивалентно $x < 2$.
Следовательно, область определения — это интервал $(-\infty; 2)$.
Ответ: $x \in (-\infty; 2)$.

б) Аргумент логарифма в выражении $\log_{5}(9 - x^2)$ должен быть положительным:
$9 - x^2 > 0$
Это квадратичное неравенство. Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$(3 - x)(3 + x) > 0$
Решим это неравенство методом интервалов. Корнями уравнения $(3 - x)(3 + x) = 0$ являются $x = 3$ и $x = -3$. Нанесем эти точки на числовую ось. Они разделят ее на три интервала: $(-\infty; -3)$, $(-3; 3)$ и $(3; +\infty)$. Определим знак выражения на каждом интервале.
- Для $x \in (-3; 3)$, например $x=0$: $(3-0)(3+0) = 9 > 0$.
- Для $x \in (3; +\infty)$, например $x=4$: $(3-4)(3+4) = -7 < 0$.
- Для $x \in (-\infty; -3)$, например $x=-4$: $(3-(-4))(3+(-4)) = 7 \cdot (-1) = -7 < 0$.
Неравенство выполняется на интервале, где выражение положительно.
Ответ: $x \in (-3; 3)$.

в) Для выражения $\log_{3}(x - 4)$ его аргумент должен быть строго больше нуля:
$x - 4 > 0$
Перенесем 4 в правую часть неравенства:
$x > 4$
Область определения — это все значения $x$, которые строго больше 4.
Ответ: $x \in (4; +\infty)$.

г) Аргумент логарифма в выражении $\log_{0.3}(x^2 - 16)$ должен быть положительным:
$x^2 - 16 > 0$
Разложим левую часть на множители:
$(x - 4)(x + 4) > 0$
Решим неравенство методом интервалов. Корни уравнения $(x - 4)(x + 4) = 0$ равны $x_1 = 4$ и $x_2 = -4$. Парабола $y=x^2-16$ имеет ветви, направленные вверх, и пересекает ось абсцисс в точках -4 и 4. Значения функции положительны там, где график находится выше оси $x$, то есть левее -4 и правее 4.
Следовательно, решение неравенства — это объединение двух интервалов: $x < -4$ или $x > 4$.
Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (4; +\infty)$.

500. a) $log_{\sqrt{10}}(6 + x - x^2)$;

б) $lg\frac{2x+5}{x-1}$;

в) $log_{0.9}\frac{2+3x}{5-2x}$;

г) $log_{\sqrt{2}}(x^2 - 2x - 3)$.

а) Область определения логарифмической функции находится из условия, что ее аргумент должен быть строго положительным. Для функции $log_{\sqrt{10}}(6 + x - x^2)$ это условие записывается в виде неравенства:

$6 + x - x^2 > 0$

Для удобства решения умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$x^2 - x - 6 < 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - x - 6 = 0$. Используя теорему Виета, находим корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$ (поскольку $3 + (-2) = 1$ и $3 \cdot (-2) = -6$).

Графиком функции $y = x^2 - x - 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции отрицательны на интервале между корнями.

Таким образом, решение неравенства есть интервал $(-2; 3)$.

Ответ: $x \in (-2; 3)$.

б) Аргумент десятичного логарифма (lg) должен быть строго больше нуля. Для функции $lg\frac{2x+5}{x-1}$ получаем неравенство:

$\frac{2x+5}{x-1} > 0$

Решим это рациональное неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $2x + 5 = 0 \Rightarrow x = -2.5$

Нуль знаменателя: $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$

Нанесем эти точки на числовую ось, они разбивают ее на три интервала: $(-\infty; -2.5)$, $(-2.5; 1)$ и $(1; +\infty)$. Определим знак дроби в каждом интервале:

• При $x > 1$ (например, $x=2$): $\frac{2(2)+5}{2-1} = 9 > 0$. Интервал подходит.
• При $-2.5 < x < 1$ (например, $x=0$): $\frac{2(0)+5}{0-1} = -5 < 0$. Интервал не подходит.
• При $x < -2.5$ (например, $x=-3$): $\frac{2(-3)+5}{-3-1} = \frac{-1}{-4} > 0$. Интервал подходит.

Объединяя подходящие интервалы, получаем область определения.

Ответ: $x \in (-\infty; -2.5) \cup (1; +\infty)$.

в) Аргумент логарифма должен быть строго положителен. Для функции $log_{0.9}\frac{2+3x}{5-2x}$ получаем неравенство:

$\frac{2+3x}{5-2x} > 0$

Решим неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $2 + 3x = 0 \Rightarrow x = -2/3$

Нуль знаменателя: $5 - 2x = 0 \Rightarrow x = 5/2 = 2.5$

Нанесем точки $x = -2/3$ и $x = 2.5$ на числовую ось. Они разбивают ее на три интервала: $(-\infty; -2/3)$, $(-2/3; 2.5)$ и $(2.5; +\infty)$. Определим знак дроби в каждом интервале:

• При $x > 2.5$ (например, $x=3$): $\frac{2+3(3)}{5-2(3)} = \frac{11}{-1} < 0$. Интервал не подходит.
• При $-2/3 < x < 2.5$ (например, $x=0$): $\frac{2+3(0)}{5-2(0)} = \frac{2}{5} > 0$. Интервал подходит.
• При $x < -2/3$ (например, $x=-1$): $\frac{2+3(-1)}{5-2(-1)} = \frac{-1}{7} < 0$. Интервал не подходит.

Решением является интервал, где дробь положительна.

Ответ: $x \in (-2/3; 2.5)$.

г) Область определения функции $log_{\sqrt{2}}(x^2-2x-3)$ задается условием положительности ее аргумента:

$x^2 - 2x - 3 > 0$

Это квадратичное неравенство. Сначала найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$ (поскольку $3 + (-1) = 2$ и $3 \cdot (-1) = -3$).

Графиком функции $y = x^2 - 2x - 3$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции положительны вне интервала между корнями.

Следовательно, неравенство выполняется при $x < -1$ или $x > 3$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (3; +\infty)$.

Сравните числа (501–503).

501. a) $log_2 3,8$ и $log_2 4,7$;

б) $log_{\frac{1}{3}} 0,15$ и $log_{\frac{1}{3}} 0,2$;

a) Чтобы сравнить числа $\log_2 3,8$ и $\log_2 4,7$, необходимо проанализировать свойства логарифмической функции $y = \log_a x$.

В данном случае мы имеем дело с функцией $y = \log_2 x$. Основание логарифма $a = 2$.

Поскольку основание $a > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента ($x$) соответствует большее значение функции ($y$).

Сравним аргументы данных логарифмов: $3,8$ и $4,7$.

Так как $3,8 < 4,7$, и функция $y = \log_2 x$ возрастающая, то и для значений логарифмов будет выполняться такое же неравенство:

$\log_2 3,8 < \log_2 4,7$.

Ответ: $\log_2 3,8 < \log_2 4,7$.

б) Чтобы сравнить числа $\log_{\frac{1}{3}} 0,15$ и $\log_{\frac{1}{3}} 0,2$, мы также воспользуемся свойствами логарифмической функции.

В этом случае мы рассматриваем функцию $y = \log_{\frac{1}{3}} x$. Основание логарифма $a = \frac{1}{3}$.

Поскольку основание $0 < a < 1$, логарифмическая функция является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента ($x$) соответствует меньшее значение функции ($y$), то есть знак неравенства меняется на противоположный.

Сравним аргументы данных логарифмов: $0,15$ и $0,2$.

Так как $0,15 < 0,2$, и функция $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ убывающая, то для значений логарифмов будет выполняться противоположное по знаку неравенство:

$\log_{\frac{1}{3}} 0,15 > \log_{\frac{1}{3}} 0,2$.

Ответ: $\log_{\frac{1}{3}} 0,15 > \log_{\frac{1}{3}} 0,2$.

502. В) $log_3 5.1$ и $log_3 4.9$;

г) $log_{0.2} 1.8$ и $log_{0.2} 2.1$.

а) $log_{\sqrt{2}} 3$ и $1$;

б) $log_{\frac{1}{\sqrt{3}}} 1.9$ и $log_{\frac{1}{\sqrt{3}}} 2.5$;

В) $log_{\pi} 2.9$ и $1$;

г) $log_{0.7} \sqrt{2}$ и $log_{0.7} 0.3$.

в) Для сравнения $\log_3 5,1$ и $\log_3 4,9$ воспользуемся свойством монотонности логарифмической функции. Основание логарифма $a=3$. Так как $a > 1$, функция $y = \log_3 x$ является возрастающей. Это значит, что большему значению аргумента соответствует большее значение логарифма. Сравним аргументы: $5,1 > 4,9$. Следовательно, $\log_3 5,1 > \log_3 4,9$.
Ответ: $\log_3 5,1 > \log_3 4,9$.

г) Сравниваем $\log_{0,2} 1,8$ и $\log_{0,2} 2,1$. Основание логарифма $a=0,2$. Так как $0 < a < 1$, функция $y = \log_{0,2} x$ является убывающей. Это значит, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение логарифма. Сравним аргументы: $1,8 < 2,1$. Следовательно, $\log_{0,2} 1,8 > \log_{0,2} 2,1$.
Ответ: $\log_{0,2} 1,8 > \log_{0,2} 2,1$.

а) Чтобы сравнить $\log_{\sqrt{2}} 3$ и $1$, представим $1$ как логарифм с основанием $\sqrt{2}$. Используя свойство $\log_a a = 1$, получаем $1 = \log_{\sqrt{2}} \sqrt{2}$. Теперь сравним $\log_{\sqrt{2}} 3$ и $\log_{\sqrt{2}} \sqrt{2}$. Основание $a = \sqrt{2} \approx 1,414 > 1$, значит, логарифмическая функция возрастающая. Сравниваем аргументы: $3 > \sqrt{2}$ (поскольку $3^2=9$ и $(\sqrt{2})^2=2$). Так как функция возрастающая, то $\log_{\sqrt{2}} 3 > \log_{\sqrt{2}} \sqrt{2}$.
Ответ: $\log_{\sqrt{2}} 3 > 1$.

б) Сравниваем $\log_{\frac{1}{\sqrt{3}}} 1,9$ и $\log_{\frac{1}{\sqrt{3}}} 2,5$. Основание логарифма $a = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Так как $\sqrt{3} > 1$, то $0 < \frac{1}{\sqrt{3}} < 1$. Следовательно, функция $y = \log_{\frac{1}{\sqrt{3}}} x$ является убывающей. Сравним аргументы: $1,9 < 2,5$. Так как функция убывающая, меньшему аргументу соответствует большее значение логарифма. Значит, $\log_{\frac{1}{\sqrt{3}}} 1,9 > \log_{\frac{1}{\sqrt{3}}} 2,5$.
Ответ: $\log_{\frac{1}{\sqrt{3}}} 1,9 > \log_{\frac{1}{\sqrt{3}}} 2,5$.

в) Чтобы сравнить $\log_{\pi} 2,9$ и $1$, представим $1$ как логарифм с основанием $\pi$. Имеем $1 = \log_{\pi} \pi$. Теперь сравним $\log_{\pi} 2,9$ и $\log_{\pi} \pi$. Основание $a = \pi \approx 3,14 > 1$, значит, логарифмическая функция возрастающая. Сравним аргументы: $2,9 < \pi$. Так как функция возрастающая, меньшему аргументу соответствует меньшее значение логарифма. Следовательно, $\log_{\pi} 2,9 < \log_{\pi} \pi$.
Ответ: $\log_{\pi} 2,9 < 1$.

г) Сравниваем $\log_{0,7} \sqrt{2}$ и $\log_{0,7} 0,3$. Основание логарифма $a=0,7$. Так как $0 < a < 1$, функция $y = \log_{0,7} x$ является убывающей. Сравним аргументы: $\sqrt{2}$ и $0,3$. Поскольку $\sqrt{2} \approx 1,414$, то $\sqrt{2} > 0,3$. Так как функция убывающая, большему аргументу соответствует меньшее значение логарифма. Значит, $\log_{0,7} \sqrt{2} < \log_{0,7} 0,3$.
Ответ: $\log_{0,7} \sqrt{2} < \log_{0,7} 0,3$.

503. а) $\log_2 10$ и $\log_5 30$;

б) $\log_{0,3} 2$ и $\log_5 3$;

в) $\log_3 5$ и $\log_7 4$;

г) $\log_3 10$ и $\log_8 57$.

а)

Чтобы сравнить $\log_2 10$ и $\log_5 30$, оценим каждое выражение, сравнив его с целыми числами.
Для первого выражения $\log_2 10$:
Известно, что $2^3 = 8$ и $2^4 = 16$.
Так как $8 < 10 < 16$, то, логарифмируя по основанию 2 (функция возрастающая, так как основание $2>1$), получаем $\log_2 8 < \log_2 10 < \log_2 16$.
Следовательно, $3 < \log_2 10 < 4$.
Для второго выражения $\log_5 30$:
Известно, что $5^2 = 25$ и $5^3 = 125$.
Так как $25 < 30 < 125$, то, логарифмируя по основанию 5 (функция возрастающая, так как основание $5>1$), получаем $\log_5 25 < \log_5 30 < \log_5 125$.
Следовательно, $2 < \log_5 30 < 3$.
Сравнивая полученные неравенства, видим, что $\log_2 10 > 3$, а $\log_5 30 < 3$.
Значит, $\log_2 10 > \log_5 30$.
Ответ: $\log_2 10 > \log_5 30$.

б)

Чтобы сравнить $\log_{0,3} 2$ и $\log_5 3$, определим знак каждого из логарифмов.
Для первого выражения $\log_{0,3} 2$:
Основание логарифма $a = 0,3$, что удовлетворяет условию $0 < a < 1$. Логарифмическая функция с таким основанием является убывающей.
Аргумент логарифма $x=2$, что больше 1.
Так как $0,3^0 = 1$, а функция убывающая, то для аргумента $2 > 1$ значение логарифма будет меньше, чем для аргумента 1: $\log_{0,3} 2 < \log_{0,3} 1 = 0$.
Для второго выражения $\log_5 3$:
Основание логарифма $a = 5$, что больше 1. Логарифмическая функция с таким основанием является возрастающей.
Аргумент логарифма $x=3$, что больше 1.
Так как $5^0 = 1$, а функция возрастающая, то для аргумента $3 > 1$ значение логарифма будет больше, чем для аргумента 1: $\log_5 3 > \log_5 1 = 0$.
Следовательно, $\log_{0,3} 2$ является отрицательным числом, а $\log_5 3$ — положительным.
Ответ: $\log_{0,3} 2 < \log_5 3$.

в)

Чтобы сравнить $\log_3 5$ и $\log_7 4$, сравним каждое из выражений с единицей.
Для первого выражения $\log_3 5$:
Основание $a=3 > 1$, функция $y = \log_3 x$ возрастающая.
Поскольку $5 > 3$, то $\log_3 5 > \log_3 3 = 1$.
Для второго выражения $\log_7 4$:
Основание $a=7 > 1$, функция $y = \log_7 x$ возрастающая.
Поскольку $4 < 7$, то $\log_7 4 < \log_7 7 = 1$.
Таким образом, $\log_3 5$ больше 1, а $\log_7 4$ меньше 1.
Ответ: $\log_3 5 > \log_7 4$.

г)

Чтобы сравнить $\log_3 10$ и $\log_8 57$, сравним каждое из выражений с целым числом 2.
Для первого выражения $\log_3 10$:
Основание $a=3 > 1$, функция $y = \log_3 x$ возрастающая.
Сравним $10$ с $3^2=9$. Поскольку $10 > 9$, то $\log_3 10 > \log_3 9 = 2$.
Для второго выражения $\log_8 57$:
Основание $a=8 > 1$, функция $y = \log_8 x$ возрастающая.
Сравним $57$ с $8^2=64$. Поскольку $57 < 64$, то $\log_8 57 < \log_8 64 = 2$.
Таким образом, $\log_3 10$ больше 2, а $\log_8 57$ меньше 2.
Ответ: $\log_3 10 > \log_8 57$.

504.- Перечислите основные свойства функции и постройте ее график:

а) $y = \log_3 x$;

б) $y = \log_{\frac{1}{2}} x$;

в) $y = \log_4 x$;

г) $y = \log_{\frac{1}{3}} x$.

Основные свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (0, +\infty)$. Аргумент логарифма должен быть строго положительным.
• Область значений: $E(y) = (-\infty, +\infty)$. Логарифмическая функция может принимать любое действительное значение.
• Функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида), так как ее область определения несимметрична относительно начала координат.
• Нули функции: $y=0$ при $\log_3 x = 0$, то есть при $x=1$. График пересекает ось абсцисс в точке $(1, 0)$.
• Пересечений с осью ординат нет. Ось $Oy$ (прямая $x=0$) является вертикальной асимптотой графика, так как $\lim_{x\to 0^+} \log_3 x = -\infty$.
• Монотонность: так как основание логарифма $a=3 > 1$, функция является строго возрастающей на всей области определения.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (1, +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (0, 1)$.

Для построения графика найдем координаты нескольких ключевых точек, выбирая значения $x$ как степени основания 3:

• при $x = 1/9$, $y = \log_3(1/9) = \log_3(3^{-2}) = -2$
• при $x = 1/3$, $y = \log_3(1/3) = \log_3(3^{-1}) = -1$
• при $x = 1$, $y = \log_3(1) = 0$
• при $x = 3$, $y = \log_3(3) = 1$
• при $x = 9$, $y = \log_3(9) = \log_3(3^2) = 2$

График функции — это логарифмическая кривая, которая проходит через точки $(1/9, -2)$, $(1/3, -1)$, $(1, 0)$, $(3, 1)$, $(9, 2)$, возрастает на всей области определения и неограниченно приближается к оси $Oy$ (вертикальной асимптоте) в нижней части координатной плоскости.

Ответ: Основные свойства функции $y = \log_3 x$: область определения $(0, +\infty)$, область значений $(-\infty, +\infty)$, пересечение с осью Ox в точке $(1, 0)$, вертикальная асимптота $x=0$. Функция строго возрастающая. График проходит через точки $(1/3, -1)$, $(1, 0)$ и $(3, 1)$.

Основные свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (0, +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty, +\infty)$.
• Функция общего вида.
• Нули функции: $y=0$ при $\log_{\frac{1}{2}} x = 0$, то есть при $x=1$. График пересекает ось абсцисс в точке $(1, 0)$.
• Пересечений с осью ординат нет. Ось $Oy$ ($x=0$) является вертикальной асимптотой, так как $\lim_{x\to 0^+} \log_{\frac{1}{2}} x = +\infty$.
• Монотонность: так как основание логарифма $a=1/2$, где $0 < a < 1$, функция является строго убывающей на всей области определения.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $0 < x < 1$; $y < 0$ при $x > 1$.

Для построения графика найдем координаты нескольких ключевых точек:

• при $x = 1/4$, $y = \log_{\frac{1}{2}}(1/4) = \log_{\frac{1}{2}}((1/2)^2) = 2$
• при $x = 1/2$, $y = \log_{\frac{1}{2}}(1/2) = 1$
• при $x = 1$, $y = \log_{\frac{1}{2}}(1) = 0$
• при $x = 2$, $y = \log_{\frac{1}{2}}(2) = \log_{\frac{1}{2}}((1/2)^{-1}) = -1$
• при $x = 4$, $y = \log_{\frac{1}{2}}(4) = \log_{\frac{1}{2}}((1/2)^{-2}) = -2$

График функции — это логарифмическая кривая, которая проходит через точки $(1/4, 2)$, $(1/2, 1)$, $(1, 0)$, $(2, -1)$, $(4, -2)$, убывает на всей области определения и неограниченно приближается к оси $Oy$ (вертикальной асимптоте) в верхней части координатной плоскости.

Ответ: Основные свойства функции $y = \log_{\frac{1}{2}} x$: область определения $(0, +\infty)$, область значений $(-\infty, +\infty)$, пересечение с осью Ox в точке $(1, 0)$, вертикальная асимптота $x=0$. Функция строго убывающая. График проходит через точки $(1/2, 1)$, $(1, 0)$ и $(2, -1)$.

Основные свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (0, +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty, +\infty)$.
• Функция общего вида.
• Нули функции: $y=0$ при $\log_4 x = 0$, то есть при $x=1$. График пересекает ось абсцисс в точке $(1, 0)$.
• Пересечений с осью ординат нет. Ось $Oy$ ($x=0$) является вертикальной асимптотой, так как $\lim_{x\to 0^+} \log_4 x = -\infty$.
• Монотонность: так как основание логарифма $a=4 > 1$, функция является строго возрастающей на всей области определения.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x > 1$; $y < 0$ при $0 < x < 1$.

Для построения графика найдем координаты нескольких ключевых точек:

• при $x = 1/16$, $y = \log_4(1/16) = \log_4(4^{-2}) = -2$
• при $x = 1/4$, $y = \log_4(1/4) = \log_4(4^{-1}) = -1$
• при $x = 1$, $y = \log_4(1) = 0$
• при $x = 4$, $y = \log_4(4) = 1$
• при $x = 16$, $y = \log_4(16) = \log_4(4^2) = 2$

График функции — это логарифмическая кривая, которая проходит через точки $(1/16, -2)$, $(1/4, -1)$, $(1, 0)$, $(4, 1)$, $(16, 2)$, возрастает на всей области определения и неограниченно приближается к оси $Oy$ в нижней части плоскости. По сравнению с графиком $y=\log_3 x$, данный график растет медленнее при $x>1$.

Ответ: Основные свойства функции $y = \log_4 x$: область определения $(0, +\infty)$, область значений $(-\infty, +\infty)$, пересечение с осью Ox в точке $(1, 0)$, вертикальная асимптота $x=0$. Функция строго возрастающая. График проходит через точки $(1/4, -1)$, $(1, 0)$ и $(4, 1)$.

Основные свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (0, +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty, +\infty)$.
• Функция общего вида.
• Нули функции: $y=0$ при $\log_{\frac{1}{3}} x = 0$, то есть при $x=1$. График пересекает ось абсцисс в точке $(1, 0)$.
• Пересечений с осью ординат нет. Ось $Oy$ ($x=0$) является вертикальной асимптотой, так как $\lim_{x\to 0^+} \log_{\frac{1}{3}} x = +\infty$.
• Монотонность: так как основание логарифма $a=1/3$, где $0 < a < 1$, функция является строго убывающей на всей области определения.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $0 < x < 1$; $y < 0$ при $x > 1$.

Для построения графика найдем координаты нескольких ключевых точек:

• при $x = 1/9$, $y = \log_{\frac{1}{3}}(1/9) = \log_{\frac{1}{3}}((1/3)^2) = 2$
• при $x = 1/3$, $y = \log_{\frac{1}{3}}(1/3) = 1$
• при $x = 1$, $y = \log_{\frac{1}{3}}(1) = 0$
• при $x = 3$, $y = \log_{\frac{1}{3}}(3) = \log_{\frac{1}{3}}((1/3)^{-1}) = -1$
• при $x = 9$, $y = \log_{\frac{1}{3}}(9) = \log_{\frac{1}{3}}((1/3)^{-2}) = -2$

График функции — это логарифмическая кривая, которая проходит через точки $(1/9, 2)$, $(1/3, 1)$, $(1, 0)$, $(3, -1)$, $(9, -2)$, убывает на всей области определения и неограниченно приближается к оси $Oy$ в верхней части плоскости. По сравнению с графиком $y=\log_{1/2} x$, данный график убывает быстрее при $x>1$.

Ответ: Основные свойства функции $y = \log_{\frac{1}{3}} x$: область определения $(0, +\infty)$, область значений $(-\infty, +\infty)$, пересечение с осью Ox в точке $(1, 0)$, вертикальная асимптота $x=0$. Функция строго убывающая. График проходит через точки $(1/3, 1)$, $(1, 0)$ и $(3, -1)$.

505. – Найдите область определения выражения:

а) $\log_2 \sin x$;

б) $\log_3 (2^x - 1)$;

в) $\log_{\frac{1}{2}} \cos x$;

г) $\lg (1 - 3^x)$.

a) Область определения выражения $\log_2 \sin x$ находится из условия, что аргумент логарифма должен быть строго положительным. Таким образом, необходимо решить неравенство:
$\sin x > 0$
Функция синуса принимает положительные значения в первой и второй координатных четвертях. Решением данного тригонометрического неравенства являются интервалы, в которых угол $x$ удовлетворяет условию $0 < x < \pi$. Учитывая периодичность функции синус, равную $2\pi$, общее решение можно записать в виде:
$2\pi k < x < \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (k — любое целое число).
Ответ: $2\pi k < x < \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) Для выражения $\log_3 (2^x - 1)$ область определения задается условием, что выражение, стоящее под знаком логарифма, должно быть строго больше нуля.
Составим и решим неравенство:
$2^x - 1 > 0$
Перенесем 1 в правую часть:
$2^x > 1$
Так как $1 = 2^0$, неравенство принимает вид:
$2^x > 2^0$
Поскольку основание степени $2$ больше 1, показательная функция $y=2^x$ является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента, поэтому знак неравенства сохраняется для показателей степеней:
$x > 0$
Ответ: $x > 0$, или в виде интервала $(0; +\infty)$.

в) Область определения выражения $\log_{\frac{1}{2}} \cos x$ находится из условия, что аргумент логарифма должен быть строго положительным.
Решим неравенство:
$\cos x > 0$
Функция косинуса принимает положительные значения в первой и четвертой координатных четвертях. Решением данного неравенства являются интервалы, в которых угол $x$ удовлетворяет условию $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$. Учитывая периодичность функции косинус, равную $2\pi$, общее решение записывается как:
$-\frac{\pi}{2} + 2\pi k < x < \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (k — любое целое число).
Ответ: $-\frac{\pi}{2} + 2\pi k < x < \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

г) Для выражения $\lg (1 - 3^x)$ (десятичный логарифм) область определения находится из условия, что аргумент логарифма должен быть строго положительным.
Составим и решим неравенство:
$1 - 3^x > 0$
Перенесем $3^x$ в правую часть:
$1 > 3^x$ или $3^x < 1$
Представим 1 в виде степени с основанием 3: $1 = 3^0$.
$3^x < 3^0$
Так как основание степени $3$ больше 1, показательная функция $y=3^x$ является возрастающей. Следовательно, при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:
$x < 0$
Ответ: $x < 0$, или в виде интервала $(-\infty; 0)$.

506.— Найдите значение выражения:

а) $ \log_2 2 \sin \frac{\pi}{15} + \log_2 \cos \frac{\pi}{15} $;

б) $ \log_4 (\sqrt[3]{7} - \sqrt[3]{3}) + \log_4 (\sqrt[3]{49} + \sqrt[3]{21} + \sqrt[3]{9}) $;

в) $ \lg \operatorname{tg} 4 + \lg \operatorname{ctg} 4 $;

г) $ \log_\pi (5 + 2 \sqrt{6}) + \log_\pi (5 - 2 \sqrt{6}) $.

а) Для нахождения значения выражения $\log_2 2 \sin\frac{\pi}{15} + \log_2 \cos\frac{\pi}{15}$, будем исходить из наиболее вероятной его записи в виде суммы двух логарифмов: $\log_2(2\sin\frac{\pi}{15}) + \log_2(\cos\frac{\pi}{15})$.
Воспользуемся свойством суммы логарифмов с одинаковым основанием: $\log_a b + \log_a c = \log_a(b \cdot c)$.
$\log_2(2\sin\frac{\pi}{15}) + \log_2(\cos\frac{\pi}{15}) = \log_2(2\sin\frac{\pi}{15} \cos\frac{\pi}{15})$.
Далее применим формулу синуса двойного угла: $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$.
В данном случае $\alpha = \frac{\pi}{15}$, поэтому $2\sin\frac{\pi}{15}\cos\frac{\pi}{15} = \sin(2 \cdot \frac{\pi}{15}) = \sin\frac{2\pi}{15}$.
Таким образом, итоговое значение выражения равно $\log_2(\sin\frac{2\pi}{15})$.

Ответ: $\log_2(\sin\frac{2\pi}{15})$.

б) Дано выражение $\log_4 (\sqrt[3]{7}-\sqrt[3]{3}) + \log_4 (\sqrt[3]{49}+\sqrt[3]{21}+\sqrt[3]{9})$.
Используем свойство суммы логарифмов: $\log_a b + \log_a c = \log_a(b \cdot c)$.
$\log_4 ((\sqrt[3]{7}-\sqrt[3]{3})(\sqrt[3]{49}+\sqrt[3]{21}+\sqrt[3]{9}))$.
Выражение под логарифмом представляет собой формулу разности кубов $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3 - b^3$.
Здесь $a = \sqrt[3]{7}$ и $b = \sqrt[3]{3}$, а второй множитель можно записать как $(\sqrt[3]{7})^2 + \sqrt[3]{7}\cdot\sqrt[3]{3} + (\sqrt[3]{3})^2$.
Следовательно, произведение равно $(\sqrt[3]{7})^3 - (\sqrt[3]{3})^3 = 7 - 3 = 4$.
Получаем: $\log_4(4) = 1$.

Ответ: 1.

в) Дано выражение $\lg \tg 4 + \lg \ctg 4$.
Здесь $\lg$ обозначает десятичный логарифм (логарифм по основанию 10). Используем свойство суммы логарифмов: $\log_a b + \log_a c = \log_a(b \cdot c)$.
$\lg(\tg 4 \cdot \ctg 4)$.
Так как по основному тригонометрическому тождеству $\ctg\alpha = \frac{1}{\tg\alpha}$, то их произведение $\tg 4 \cdot \ctg 4 = 1$ (при условии, что $\tg 4$ определен и не равен нулю, что выполняется).
Получаем: $\lg(1) = 0$.

Ответ: 0.

г) Дано выражение $\log_{\pi} (5+2\sqrt{6}) + \log_{\pi} (5-2\sqrt{6})$.
Используем свойство суммы логарифмов: $\log_a b + \log_a c = \log_a(b \cdot c)$.
$\log_{\pi} ((5+2\sqrt{6})(5-2\sqrt{6}))$.
Выражение в скобках является формулой разности квадратов: $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.
Здесь $a=5$ и $b=2\sqrt{6}$.
Произведение равно $5^2 - (2\sqrt{6})^2 = 25 - (4 \cdot 6) = 25 - 24 = 1$.
Получаем: $\log_{\pi}(1) = 0$.

Ответ: 0.

507. Постройте график функции:

а) $y = \log_3 (x - 2);$

б) $y = -\log_{\frac{1}{2}} x;$

в) $y = \log_2 (x + 1);$

г) $y = \log_{\frac{1}{3}} x + 2.$

а) $y = \log_3 (x - 2)$

Для построения графика данной функции мы будем использовать метод преобразования графика базовой функции $y_0 = \log_3 x$.

1. Определение свойств функции.
• Область определения: Аргумент логарифма должен быть строго положительным. Решаем неравенство: $x - 2 > 0$, откуда $x > 2$. Таким образом, $D(y) = (2; +\infty)$.
• Асимптота: График имеет вертикальную асимптоту. Для базовой функции $y_0 = \log_3 x$ асимптотой является ось Oy (прямая $x=0$). В нашем случае из-за сдвига асимптотой будет прямая $x = 2$.
• Монотонность: Основание логарифма $a=3 > 1$, следовательно, функция является возрастающей на всей области определения.

2. Преобразование графика.
График функции $y = \log_3(x - 2)$ получается из графика базовой функции $y_0 = \log_3 x$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси Ox на 2 единицы вправо.

3. Нахождение контрольных точек для построения.
• Найдем точку пересечения графика с осью абсцисс, для этого положим $y = 0$:
$\log_3(x - 2) = 0$
$x - 2 = 3^0$
$x - 2 = 1$
$x = 3$.
Получаем точку (3, 0).
• Найдем еще несколько точек для более точного построения:
Если $x = 5$, то $y = \log_3(5 - 2) = \log_3 3 = 1$. Точка (5, 1).
Если $x = 11$, то $y = \log_3(11 - 2) = \log_3 9 = 2$. Точка (11, 2).

4. Построение графика.
В системе координат строим вертикальную асимптоту $x=2$. Затем отмечаем вычисленные точки (3, 0), (5, 1) и соединяем их плавной линией, учитывая, что функция возрастает и приближается к асимптоте при $x \to 2^+$.

Ответ: График функции $y = \log_3 (x - 2)$ — это график $y = \log_3 x$, сдвинутый на 2 единицы вправо. Вертикальная асимптота графика — прямая $x = 2$. График проходит через точки (3, 0) и (5, 1).

б) $y = -\log_{\frac{1}{2}} x$

Для построения графика данной функции сначала упростим ее выражение, используя свойства логарифмов.

1. Преобразование выражения функции.
Используем свойство логарифма $-\log_a b = \log_{1/a} b$ или $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$. Основание $\frac{1}{2}$ можно представить как $2^{-1}$.
$y = -\log_{2^{-1}} x = -(\frac{1}{-1} \log_2 x) = -(-\log_2 x) = \log_2 x$.
Таким образом, задача сводится к построению графика функции $y = \log_2 x$.

2. Определение свойств функции $y = \log_2 x$.
• Область определения: Аргумент логарифма должен быть положительным: $x > 0$. Таким образом, $D(y) = (0; +\infty)$.
• Асимптота: Вертикальная асимптота графика — прямая $x = 0$ (ось Oy).
• Монотонность: Основание логарифма $a=2 > 1$, следовательно, функция является возрастающей.

3. Нахождение контрольных точек для построения.
• Найдем точку пересечения с осью Ox ($y=0$):
$\log_2 x = 0 \Rightarrow x = 2^0 = 1$. Точка (1, 0).
• Найдем еще несколько точек:
Если $x = 2$, то $y = \log_2 2 = 1$. Точка (2, 1).
Если $x = 4$, то $y = \log_2 4 = 2$. Точка (4, 2).
Если $x = \frac{1}{2}$, то $y = \log_2 \frac{1}{2} = -1$. Точка ($\frac{1}{2}$, -1).

4. Построение графика.
В системе координат отмечаем точки (1, 0), (2, 1), (4, 2), ($\frac{1}{2}$, -1) и соединяем их плавной возрастающей кривой, которая асимптотически приближается к оси Oy при $x \to 0^+$.

Ответ: График функции $y = -\log_{\frac{1}{2}} x$ совпадает с графиком функции $y = \log_2 x$. Это возрастающая логарифмическая кривая с вертикальной асимптотой $x = 0$, проходящая через точки (1, 0) и (2, 1).

в) $y = \log_2 (x + 1)$

Построение графика этой функции основано на преобразовании графика базовой функции $y_0 = \log_2 x$.

1. Определение свойств функции.
• Область определения: $x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1$. Таким образом, $D(y) = (-1; +\infty)$.
• Асимптота: Вертикальная асимптота графика — прямая $x = -1$.
• Монотонность: Основание логарифма $a=2 > 1$, следовательно, функция является возрастающей.

2. Преобразование графика.
График функции $y = \log_2(x + 1)$ получается из графика базовой функции $y_0 = \log_2 x$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси Ox на 1 единицу влево.

3. Нахождение контрольных точек для построения.
• Найдем точку пересечения с осями координат:
При $y = 0$: $\log_2(x + 1) = 0 \Rightarrow x + 1 = 2^0 = 1 \Rightarrow x = 0$. Точка пересечения с обеими осями — (0, 0), начало координат.
• Найдем еще несколько точек:
Если $x = 1$, то $y = \log_2(1 + 1) = \log_2 2 = 1$. Точка (1, 1).
Если $x = 3$, то $y = \log_2(3 + 1) = \log_2 4 = 2$. Точка (3, 2).
Если $x = -\frac{1}{2}$, то $y = \log_2(-\frac{1}{2} + 1) = \log_2 \frac{1}{2} = -1$. Точка ($-\frac{1}{2}$, -1).

4. Построение графика.
Строим вертикальную асимптоту $x=-1$. Отмечаем точки (0, 0), (1, 1), (3, 2) и соединяем их плавной возрастающей кривой.

Ответ: График функции $y = \log_2 (x + 1)$ — это график $y = \log_2 x$, сдвинутый на 1 единицу влево. Вертикальная асимптота: $x=-1$. График проходит через начало координат (0, 0) и точку (1, 1).

г) $y = \log_{\frac{1}{3}} x + 2$

Построение графика этой функции основано на преобразовании графика базовой функции $y_0 = \log_{\frac{1}{3}} x$.

1. Определение свойств функции.
• Область определения: $x > 0$. Таким образом, $D(y) = (0; +\infty)$.
• Асимптота: Вертикальная асимптота графика — прямая $x = 0$ (ось Oy). Сдвиг по оси Oy не влияет на положение вертикальной асимптоты.
• Монотонность: Основание логарифма $a=\frac{1}{3}$. Так как $0 < a < 1$, функция является убывающей на всей области определения.

2. Преобразование графика.
График функции $y = \log_{\frac{1}{3}} x + 2$ получается из графика базовой функции $y_0 = \log_{\frac{1}{3}} x$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси Oy на 2 единицы вверх.

3. Нахождение контрольных точек для построения.
• Найдем точку пересечения с осью Ox ($y=0$):
$\log_{\frac{1}{3}} x + 2 = 0$
$\log_{\frac{1}{3}} x = -2$
$x = (\frac{1}{3})^{-2} = (3^{-1})^{-2} = 3^2 = 9$.
Получаем точку (9, 0).
• Найдем еще несколько точек:
Если $x = 1$, то $y = \log_{\frac{1}{3}} 1 + 2 = 0 + 2 = 2$. Точка (1, 2).
Если $x = 3$, то $y = \log_{\frac{1}{3}} 3 + 2 = -1 + 2 = 1$. Точка (3, 1).
Если $x = \frac{1}{3}$, то $y = \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{3} + 2 = 1 + 2 = 3$. Точка ($\frac{1}{3}$, 3).

4. Построение графика.
В системе координат отмечаем точки (9, 0), (1, 2), (3, 1). Соединяем их плавной убывающей кривой, которая асимптотически приближается к оси Oy при $x \to 0^+$.

Ответ: График функции $y = \log_{\frac{1}{3}} x + 2$ — это график $y = \log_{\frac{1}{3}} x$, сдвинутый на 2 единицы вверх. Вертикальная асимптота: $x=0$. График проходит через точки (1, 2), (3, 1) и (9, 0).