Страница 246 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Решите системы уравнений (529—530).

529.—

а) $\begin{cases} \log_{\frac{1}{3}} (x+y) = 2, \\ \log_3 (x-y) = 2; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \lg (x^2 + y^2) = 2, \\ \log_{48} x + \log_{48} y = 1; \end{cases}$

в) $\begin{cases} \log_{\frac{1}{3}} x + \log_{\frac{1}{3}} y = 2, \\ \log_{\frac{1}{3}} x - \log_{\frac{1}{3}} y = 4; \end{cases}$

г) $\begin{cases} \lg (x^2 + y^2) = 1 + \lg 13, \\ \lg (x+y) = \lg (x-y) + \lg 8. \end{cases}$

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} \log_{\frac{1}{3}}(x+y) = 2 \\ \log_3(x-y) = 2 \end{cases} $
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями положительности аргументов логарифмов:
$x+y > 0$ и $x-y > 0$.
Используя определение логарифма ($ \log_a b = c \iff a^c = b $), преобразуем оба уравнения.
Из первого уравнения: $ x+y = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9} $.
Из второго уравнения: $ x-y = 3^2 = 9 $.
В результате получаем систему линейных уравнений:
$ \begin{cases} x+y = \frac{1}{9} \\ x-y = 9 \end{cases} $
Сложим два уравнения: $ (x+y) + (x-y) = \frac{1}{9} + 9 \implies 2x = \frac{1+81}{9} \implies 2x = \frac{82}{9} \implies x = \frac{41}{9} $.
Подставим найденное значение $x$ в первое уравнение: $ \frac{41}{9} + y = \frac{1}{9} \implies y = \frac{1}{9} - \frac{41}{9} = -\frac{40}{9} $.
Проверим найденное решение на соответствие ОДЗ:
$ x+y = \frac{41}{9} - \frac{40}{9} = \frac{1}{9} > 0 $.
$ x-y = \frac{41}{9} - (-\frac{40}{9}) = \frac{81}{9} = 9 > 0 $.
Решение удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $( \frac{41}{9}; -\frac{40}{9} )$.

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} \lg(x^2 + y^2) = 2 \\ \log_{48}x + \log_{48}y = 1 \end{cases} $
ОДЗ: $ x > 0 $, $ y > 0 $ (из второго уравнения), что автоматически обеспечивает $ x^2 + y^2 > 0 $.
Преобразуем первое уравнение ($ \lg $ — это логарифм по основанию 10):
$ x^2 + y^2 = 10^2 = 100 $.
Преобразуем второе уравнение, используя свойство суммы логарифмов $ \log_a b + \log_a c = \log_a(bc) $:
$ \log_{48}(xy) = 1 \implies xy = 48^1 = 48 $.
Получаем систему:
$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 100 \\ xy = 48 \end{cases} $
Рассмотрим тождество $ (x+y)^2 = x^2+y^2+2xy $. Подставим известные значения:
$ (x+y)^2 = 100 + 2 \cdot 48 = 100 + 96 = 196 $.
$ x+y = \pm\sqrt{196} = \pm 14 $. Поскольку по ОДЗ $x>0$ и $y>0$, их сумма должна быть положительной, следовательно $ x+y=14 $.
Теперь решаем систему:
$ \begin{cases} x+y=14 \\ xy=48 \end{cases} $
По теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $ t^2 - 14t + 48 = 0 $.
Решаем уравнение: $ (t-6)(t-8)=0 $. Корни $ t_1 = 6, t_2 = 8 $.
Таким образом, решениями системы являются пары чисел $(6; 8)$ и $(8; 6)$. Оба решения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(6; 8)$, $(8; 6)$.

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} \log_{\frac{1}{3}}x + \log_{\frac{1}{3}}y = 2 \\ \log_{\frac{1}{3}}x - \log_{\frac{1}{3}}y = 4 \end{cases} $
ОДЗ: $ x > 0 $, $ y > 0 $.
Сделаем замену переменных. Пусть $ A = \log_{\frac{1}{3}}x $ и $ B = \log_{\frac{1}{3}}y $. Система примет вид:
$ \begin{cases} A + B = 2 \\ A - B = 4 \end{cases} $
Сложим уравнения: $ 2A = 6 \implies A = 3 $.
Подставим $A=3$ в первое уравнение: $ 3 + B = 2 \implies B = -1 $.
Вернемся к исходным переменным:
$ \log_{\frac{1}{3}}x = 3 \implies x = (\frac{1}{3})^3 = \frac{1}{27} $.
$ \log_{\frac{1}{3}}y = -1 \implies y = (\frac{1}{3})^{-1} = 3 $.
Проверим ОДЗ: $ x = \frac{1}{27} > 0 $ и $ y=3 > 0 $. Решение корректно.

Ответ: $( \frac{1}{27}; 3 )$.

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} \lg(x^2 + y^2) = 1 + \lg 13 \\ \lg(x+y) = \lg(x-y) + \lg 8 \end{cases} $
ОДЗ: $ x^2+y^2>0 $, $ x+y>0 $, $ x-y>0 $. Из последних двух неравенств следует, что $ x>y $ и $ x>0 $. Складывая их, получаем $2x>0 \implies x>0$. Если $x>y$, то $x+y > y+y=2y$. Так как $x+y>0$, то $2y$ может быть любого знака. Однако, вычитая второе из первого, получаем $2y>0 \implies y>0$. Итак, ОДЗ: $ x>y>0 $.
Преобразуем первое уравнение, зная что $ 1 = \lg 10 $:
$ \lg(x^2 + y^2) = \lg 10 + \lg 13 = \lg(10 \cdot 13) = \lg 130 $.
Отсюда $ x^2 + y^2 = 130 $.
Преобразуем второе уравнение:
$ \lg(x+y) = \lg(8(x-y)) $.
Отсюда $ x+y = 8(x-y) \implies x+y = 8x-8y \implies 9y = 7x \implies y = \frac{7}{9}x $.
Подставим выражение для $y$ в первое уравнение:
$ x^2 + (\frac{7}{9}x)^2 = 130 $
$ x^2 + \frac{49}{81}x^2 = 130 $
$ x^2(1 + \frac{49}{81}) = 130 $
$ x^2(\frac{81+49}{81}) = 130 $
$ x^2(\frac{130}{81}) = 130 $
$ x^2 = 81 $.
Поскольку по ОДЗ $x>0$, то $ x=9 $.
Находим $y$: $ y = \frac{7}{9}x = \frac{7}{9} \cdot 9 = 7 $.
Проверим ОДЗ: $ x=9 > y=7 > 0 $. Все условия выполнены.

Ответ: $(9; 7)$.

530. a) $ \begin{cases} 3^y \cdot 9^x = 81, \\ \lg (x+y)^2 - \lg x = 2 \lg 3; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} 10^{1+\lg(x+y)} = 50, \\ \lg (x+y) + \lg (x-y) = 2 - \lg 5; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} 3^x \cdot 2^y = 576, \\ \log_{\sqrt{2}}(y-x) = 4; \end{cases} $

г) $ \begin{cases} \lg x - \lg y = \lg 15 - 1, \\ 10^{\lg(3x-2y)} = 39. \end{cases} $

а)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 3^y \cdot 9^x = 81 \\ \lg (x+y)^2 - \lg x = 2 \lg 3 \end{cases}$

Область допустимых значений (ОДЗ) для второго уравнения: $x > 0$ и $(x+y)^2 > 0$, что означает $x+y \neq 0$.

Упростим первое уравнение. Так как $9 = 3^2$ и $81 = 3^4$, уравнение можно переписать в виде:

$3^y \cdot (3^2)^x = 3^4$

$3^y \cdot 3^{2x} = 3^4$

Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получаем:

$3^{y+2x} = 3^4$

Отсюда следует: $y + 2x = 4$.

Теперь упростим второе уравнение, используя свойства логарифмов $\lg a - \lg b = \lg(a/b)$ и $n \lg a = \lg a^n$:

$\lg \frac{(x+y)^2}{x} = \lg 3^2$

$\lg \frac{(x+y)^2}{x} = \lg 9$

Приравнивая выражения под логарифмами, получаем: $\frac{(x+y)^2}{x} = 9$, или $(x+y)^2 = 9x$.

Теперь необходимо решить систему двух полученных уравнений:

$\begin{cases} y + 2x = 4 \\ (x+y)^2 = 9x \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $y$: $y = 4 - 2x$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$(x + (4 - 2x))^2 = 9x$

$(4 - x)^2 = 9x$

$16 - 8x + x^2 = 9x$

$x^2 - 17x + 16 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 17, а произведение равно 16. Корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 16$.

Оба корня удовлетворяют условию ОДЗ $x > 0$.

Найдем соответствующие значения $y$ для каждого корня:

1. При $x_1 = 1$, $y_1 = 4 - 2(1) = 2$. Проверим ОДЗ: $x+y = 1+2 = 3 \neq 0$. Решение $(1, 2)$ подходит.

2. При $x_2 = 16$, $y_2 = 4 - 2(16) = 4 - 32 = -28$. Проверим ОДЗ: $x+y = 16-28 = -12 \neq 0$. Решение $(16, -28)$ подходит.

Проверим оба решения в исходной системе.

Для $(1, 2)$: $3^2 \cdot 9^1 = 9 \cdot 9 = 81$ и $\lg(1+2)^2 - \lg 1 = \lg 9 - 0 = 2 \lg 3$. Верно.

Для $(16, -28)$: $3^{-28} \cdot 9^{16} = 3^{-28} \cdot 3^{32} = 3^4 = 81$ и $\lg(16-28)^2 - \lg 16 = \lg(-12)^2 - \lg 16 = \lg 144 - \lg 16 = \lg(144/16) = \lg 9 = 2 \lg 3$. Верно.

Ответ: $(1, 2)$, $(16, -28)$.

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 10^{1+\lg(x+y)} = 50 \\ \lg(x+y) + \lg(x-y) = 2 - \lg 5 \end{cases}$

ОДЗ: $x+y > 0$ и $x-y > 0$.

Упростим первое уравнение, используя свойство $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:

$10^1 \cdot 10^{\lg(x+y)} = 50$

$10 \cdot (x+y) = 50$

$x+y = 5$. Это удовлетворяет ОДЗ $x+y > 0$.

Упростим второе уравнение. Подставим в него найденное значение $x+y=5$:

$\lg 5 + \lg(x-y) = 2 - \lg 5$

$\lg(x-y) = 2 - 2 \lg 5$

Представим $2$ как $\lg 100$ и используем свойство $n \lg a = \lg a^n$:

$\lg(x-y) = \lg 100 - \lg 5^2$

$\lg(x-y) = \lg 100 - \lg 25$

Используем свойство $\lg a - \lg b = \lg(a/b)$:

$\lg(x-y) = \lg(100/25)$

$\lg(x-y) = \lg 4$

Отсюда $x-y = 4$. Это удовлетворяет ОДЗ $x-y > 0$.

Теперь решаем систему линейных уравнений:

$\begin{cases} x+y = 5 \\ x-y = 4 \end{cases}$

Сложив два уравнения, получим: $2x = 9$, откуда $x = 4.5$.

Вычтем второе уравнение из первого: $2y = 1$, откуда $y = 0.5$.

Ответ: $(4.5, 0.5)$.

в)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 3^x \cdot 2^y = 576 \\ \log_{\sqrt{2}}(y-x) = 4 \end{cases}$

ОДЗ для второго уравнения: $y-x > 0$, т.е. $y > x$.

Упростим второе уравнение по определению логарифма:

$y-x = (\sqrt{2})^4$

$y-x = (2^{1/2})^4 = 2^2 = 4$

Отсюда $y = x+4$. Это выражение гарантирует выполнение ОДЗ $y-x > 0$.

Подставим $y=x+4$ в первое уравнение:

$3^x \cdot 2^{x+4} = 576$

Используя свойства степеней:

$3^x \cdot 2^x \cdot 2^4 = 576$

$(3 \cdot 2)^x \cdot 16 = 576$

$6^x \cdot 16 = 576$

$6^x = \frac{576}{16}$

$6^x = 36$

$6^x = 6^2$

Отсюда $x = 2$.

Теперь найдем $y$: $y = x+4 = 2+4 = 6$.

Проверим решение $(2, 6)$:

$3^2 \cdot 2^6 = 9 \cdot 64 = 576$ (верно).

$\log_{\sqrt{2}}(6-2) = \log_{\sqrt{2}} 4 = 4$ (верно, так как $(\sqrt{2})^4 = 4$).

Ответ: $(2, 6)$.

г)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} \lg x - \lg y = \lg 15 - 1 \\ 10^{\lg(3x-2y)} = 39 \end{cases}$

ОДЗ: $x > 0$, $y > 0$, $3x-2y > 0$.

Упростим второе уравнение, используя основное логарифмическое тождество:

$3x-2y = 39$. Это удовлетворяет ОДЗ $3x-2y > 0$.

Упростим первое уравнение, представив $1$ как $\lg 10$ и используя свойства логарифмов:

$\lg x - \lg y = \lg 15 - \lg 10$

$\lg(x/y) = \lg(15/10)$

$\lg(x/y) = \lg(1.5)$

Отсюда $\frac{x}{y} = 1.5$, или $x = 1.5y$.

Теперь решаем систему линейных уравнений:

$\begin{cases} x = 1.5y \\ 3x-2y = 39 \end{cases}$

Подставим выражение для $x$ из первого уравнения во второе:

$3(1.5y) - 2y = 39$

$4.5y - 2y = 39$

$2.5y = 39$

$y = \frac{39}{2.5} = \frac{390}{25} = \frac{78}{5} = 15.6$

Теперь найдем $x$:

$x = 1.5y = 1.5 \cdot 15.6 = 23.4$

Проверим ОДЗ для решения $(23.4, 15.6)$:

$x = 23.4 > 0$ (верно).

$y = 15.6 > 0$ (верно).

$3x-2y = 3(23.4) - 2(15.6) = 70.2 - 31.2 = 39 > 0$ (верно).

Ответ: $(23.4, 15.6)$.