Страница 251 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

535.-

a) $f(x) = x^2 + 1, x \le 0;$

б) $f(x) = 2x, (-\infty; \infty);$

В) $f(x) = \sqrt[4]{x}, x \ge 0;$

г) $f(x) = x^3 + 1, (-\infty; \infty).$

а) Дана функция $y = f(x) = x^2 + 1$ с областью определения $D(f) = (-\infty, 0]$.
Чтобы найти обратную функцию, необходимо сначала определить область значений $E(f)$ исходной функции. На промежутке $(-\infty, 0]$ функция $x^2$ является убывающей, принимая значения от $+\infty$ до $0$. Следовательно, функция $f(x) = x^2 + 1$ также является убывающей на своей области определения.
Найдем значения на границах:
При $x=0$, $y = 0^2 + 1 = 1$.
Когда $x \to -\infty$, $x^2 \to +\infty$, и, следовательно, $y \to +\infty$.
Таким образом, область значений функции $E(f) = [1, +\infty)$. Эта область является областью определения для обратной функции.
Теперь выразим переменную $x$ через $y$ из уравнения $y = x^2 + 1$:
$x^2 = y - 1$
$x = \pm\sqrt{y - 1}$
Поскольку по условию $x \le 0$, мы выбираем отрицательный корень:
$x = -\sqrt{y - 1}$
Для получения обратной функции в стандартном виде заменим $x$ на $f^{-1}(x)$ и $y$ на $x$. Получаем: $f^{-1}(x) = -\sqrt{x - 1}$.
Область определения обратной функции $D(f^{-1})$ совпадает с областью значений исходной функции $E(f)$, то есть $x \in [1, +\infty)$.
Ответ: $f^{-1}(x) = -\sqrt{x - 1}$ с областью определения $[1, +\infty)$.

б) Дана функция $y = f(x) = 2x$ с областью определения $D(f) = (-\infty, \infty)$.
Это линейная функция, которая является монотонно возрастающей на всей числовой оси. Её область значений $E(f)$ также является $(-\infty, \infty)$.
Выразим $x$ через $y$ из уравнения $y = 2x$:
$x = \frac{y}{2}$
Заменяя $y$ на $x$, получаем обратную функцию: $f^{-1}(x) = \frac{x}{2}$.
Область определения обратной функции $D(f^{-1})$ совпадает с областью значений исходной функции $E(f)$, то есть $x \in (-\infty, \infty)$.
Ответ: $f^{-1}(x) = \frac{1}{2}x$ с областью определения $(-\infty, \infty)$.

в) Дана функция $y = f(x) = \sqrt[4]{x}$ с областью определения $D(f) = [0, \infty)$.
Эта функция является монотонно возрастающей на своей области определения.
Найдем область значений $E(f)$. При $x=0$, $y = \sqrt[4]{0} = 0$. Когда $x \to +\infty$, $y \to +\infty$.
Следовательно, область значений $E(f) = [0, \infty)$.
Теперь выразим $x$ через $y$ из уравнения $y = \sqrt[4]{x}$. Учитывая, что $x \ge 0$, имеем $y \ge 0$.
Возведем обе части уравнения в четвертую степень:
$y^4 = (\sqrt[4]{x})^4$
$x = y^4$
Заменяя $y$ на $x$, получаем обратную функцию: $f^{-1}(x) = x^4$.
Область определения обратной функции $D(f^{-1})$ есть область значений исходной функции $E(f)$, то есть $x \in [0, \infty)$.
Ответ: $f^{-1}(x) = x^4$ с областью определения $[0, \infty)$.

г) Дана функция $y = f(x) = x^3 + 1$ с областью определения $D(f) = (-\infty, \infty)$.
Функция $y=x^3$ является строго возрастающей на всей числовой оси, следовательно, функция $f(x) = x^3 + 1$ также строго возрастает.
Её область значений $E(f)$ совпадает с областью определения и равна $(-\infty, \infty)$.
Выразим $x$ через $y$ из уравнения $y = x^3 + 1$:
$x^3 = y - 1$
$x = \sqrt[3]{y - 1}$
Заменяя $y$ на $x$, получаем обратную функцию: $f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x - 1}$.
Область определения обратной функции $D(f^{-1})$ совпадает с областью значений исходной функции $E(f)$, то есть $x \in (-\infty, \infty)$.
Ответ: $f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x - 1}$ с областью определения $(-\infty, \infty)$.

536. a) $f(x) = \sin x, x \in \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right];$

Б) $f(x) = \tan x, x \in \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right);$

В) $f(x) = \cos x, x \in [0; \pi];$

Г) $f(x) = \cot x, x \in (0; \pi).$

а) Дана функция $f(x) = \sin x$ на области определения $D(f) = [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Чтобы найти обратную функцию, обозначим $y = \sin x$. Нам нужно выразить $x$ через $y$.
Сначала определим область значений функции $f(x)$. На отрезке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ функция синус является строго возрастающей. Её наименьшее значение достигается в точке $x = -\frac{\pi}{2}$ и равно $\sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$. Наибольшее значение достигается в точке $x = \frac{\pi}{2}$ и равно $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$. Таким образом, область значений функции $f(x)$ есть отрезок $E(f) = [-1, 1]$.
Для обратной функции $g(x)$ область определения совпадает с областью значений исходной функции, а область значений — с областью определения исходной функции. Следовательно, для обратной функции $g(x)$ имеем:
Область определения $D(g) = E(f) = [-1, 1]$.
Область значений $E(g) = D(f) = [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
Из уравнения $y = \sin x$ по определению функции арксинус, если $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, то $x = \arcsin y$.
Заменив $y$ на $x$ (стандартное обозначение аргумента), получим формулу для обратной функции: $g(x) = \arcsin x$.
Ответ: Обратной функцией является $g(x) = \arcsin x$ с областью определения $D(g) = [-1, 1]$ и областью значений $E(g) = [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

б) Дана функция $f(x) = \operatorname{tg} x$ на области определения $D(f) = (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Обозначим $y = \operatorname{tg} x$.
Определим область значений функции $f(x)$. На интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ функция тангенс строго возрастает. При $x \to \frac{\pi}{2}$ слева, $f(x) \to +\infty$. При $x \to -\frac{\pi}{2}$ справа, $f(x) \to -\infty$. Таким образом, область значений функции $f(x)$ — это множество всех действительных чисел, $E(f) = (-\infty, +\infty)$ или $\mathbb{R}$.
Для обратной функции $g(x)$ имеем:
Область определения $D(g) = E(f) = (-\infty, +\infty)$.
Область значений $E(g) = D(f) = (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
Из уравнения $y = \operatorname{tg} x$ по определению функции арктангенс, если $x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, то $x = \operatorname{arctg} y$.
Заменив $y$ на $x$, получим обратную функцию: $g(x) = \operatorname{arctg} x$.
Ответ: Обратной функцией является $g(x) = \operatorname{arctg} x$ с областью определения $D(g) = (-\infty, +\infty)$ и областью значений $E(g) = (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

в) Дана функция $f(x) = \cos x$ на области определения $D(f) = [0, \pi]$. Обозначим $y = \cos x$.
Определим область значений функции $f(x)$. На отрезке $[0, \pi]$ функция косинус является строго убывающей. Её наибольшее значение достигается в точке $x = 0$ и равно $\cos(0) = 1$. Наименьшее значение достигается в точке $x = \pi$ и равно $\cos(\pi) = -1$. Таким образом, область значений функции $f(x)$ есть отрезок $E(f) = [-1, 1]$.
Для обратной функции $g(x)$ имеем:
Область определения $D(g) = E(f) = [-1, 1]$.
Область значений $E(g) = D(f) = [0, \pi]$.
Из уравнения $y = \cos x$ по определению функции арккосинус, если $x \in [0, \pi]$, то $x = \arccos y$.
Заменив $y$ на $x$, получим обратную функцию: $g(x) = \arccos x$.
Ответ: Обратной функцией является $g(x) = \arccos x$ с областью определения $D(g) = [-1, 1]$ и областью значений $E(g) = [0, \pi]$.

г) Дана функция $f(x) = \operatorname{ctg} x$ на области определения $D(f) = (0, \pi)$. Обозначим $y = \operatorname{ctg} x$.
Определим область значений функции $f(x)$. На интервале $(0, \pi)$ функция котангенс строго убывает. При $x \to 0$ справа, $f(x) \to +\infty$. При $x \to \pi$ слева, $f(x) \to -\infty$. Таким образом, область значений функции $f(x)$ — это множество всех действительных чисел, $E(f) = (-\infty, +\infty)$ или $\mathbb{R}$.
Для обратной функции $g(x)$ имеем:
Область определения $D(g) = E(f) = (-\infty, +\infty)$.
Область значений $E(g) = D(f) = (0, \pi)$.
Из уравнения $y = \operatorname{ctg} x$ по определению функции арккотангенс, если $x \in (0, \pi)$, то $x = \operatorname{arcctg} y$.
Заменив $y$ на $x$, получим обратную функцию: $g(x) = \operatorname{arcctg} x$.
Ответ: Обратной функцией является $g(x) = \operatorname{arcctg} x$ с областью определения $D(g) = (-\infty, +\infty)$ и областью значений $E(g) = (0, \pi)$.