Страница 255 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

537. – Найдите по таблицам натуральных логарифмов (или с помощью калькулятора):

а) $ln 3$, $ln 5.6$, $ln 1.7$;

б) $ln 8$, $ln 17$, $ln 1.3$;

в) $ln 2$, $ln 35$, $ln 1.4$;

г) $ln 7$, $ln 23$, $ln 1.5$.

Для нахождения значений натуральных логарифмов, указанных в задании, воспользуемся калькулятором. Натуральный логарифм, обозначаемый как $\ln x$, является логарифмом по основанию $e$, где $e$ — число Эйлера ($e \approx 2,71828$). Результаты будем округлять до четырех знаков после запятой.

а)

Находим значения для $\ln 3$, $\ln 5,6$, $\ln 1,7$:

$\ln 3 \approx 1,0986$

$\ln 5,6 \approx 1,7228$

$\ln 1,7 \approx 0,5306$

Ответ: $\ln 3 \approx 1,0986$; $\ln 5,6 \approx 1,7228$; $\ln 1,7 \approx 0,5306$.

б)

Находим значения для $\ln 8$, $\ln 17$, $\ln 1,3$:

$\ln 8 \approx 2,0794$

$\ln 17 \approx 2,8332$

$\ln 1,3 \approx 0,2624$

Ответ: $\ln 8 \approx 2,0794$; $\ln 17 \approx 2,8332$; $\ln 1,3 \approx 0,2624$.

в)

Находим значения для $\ln 2$, $\ln 35$, $\ln 1,4$:

$\ln 2 \approx 0,6931$

$\ln 35 \approx 3,5553$

$\ln 1,4 \approx 0,3365$

Ответ: $\ln 2 \approx 0,6931$; $\ln 35 \approx 3,5553$; $\ln 1,4 \approx 0,3365$.

г)

Находим значения для $\ln 7$, $\ln 23$, $\ln 1,5$:

$\ln 7 \approx 1,9459$

$\ln 23 \approx 3,1355$

$\ln 1,5 \approx 0,4055$

Ответ: $\ln 7 \approx 1,9459$; $\ln 23 \approx 3,1355$; $\ln 1,5 \approx 0,4055$.

Найдите производную каждой из функций (538—539).

538. а) $y = 4e^x + 5$;

б) $y = 2x + 3e^{-x}$;

в) $y = 3 - \frac{1}{2}e^x$;

г) $y = 5e^{-x} - x^2$.

а) Дана функция $y = 4e^x + 5$.

Для нахождения производной используем правило дифференцирования суммы, правило вынесения константы за знак производной и производную константы: $(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)$, $(c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x)$ и $(c)' = 0$. Также используем табличную производную для экспоненциальной функции $(e^x)' = e^x$.

$y' = (4e^x + 5)' = (4e^x)' + (5)' = 4 \cdot (e^x)' + 0 = 4e^x$.

Ответ: $4e^x$.

б) Дана функция $y = 2x + 3e^{-x}$.

Используем правило дифференцирования суммы. Для слагаемого $3e^{-x}$ применяем правило дифференцирования сложной функции: $(e^{u(x)})' = e^{u(x)} \cdot u'(x)$. В данном случае $u(x) = -x$, и ее производная $u'(x) = -1$.

$y' = (2x + 3e^{-x})' = (2x)' + (3e^{-x})' = 2 + 3 \cdot (e^{-x})'$.

$(e^{-x})' = e^{-x} \cdot (-x)' = e^{-x} \cdot (-1) = -e^{-x}$.

Подставляем обратно: $y' = 2 + 3(-e^{-x}) = 2 - 3e^{-x}$.

Ответ: $2 - 3e^{-x}$.

в) Дана функция $y = 3 - \frac{1}{2}e^x$.

Используем правило дифференцирования разности: $(f(x) - g(x))' = f'(x) - g'(x)$.

$y' = (3 - \frac{1}{2}e^x)' = (3)' - (\frac{1}{2}e^x)'$.

Производная константы $(3)' = 0$. Постоянный множитель $\frac{1}{2}$ выносим за знак производной.

$y' = 0 - \frac{1}{2} \cdot (e^x)' = -\frac{1}{2}e^x$.

Ответ: $-\frac{1}{2}e^x$.

г) Дана функция $y = 5e^{-x} - x^2$.

Используем правило дифференцирования разности, правило для сложной функции $(e^{u(x)})'$ и правило для степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$.

$y' = (5e^{-x} - x^2)' = (5e^{-x})' - (x^2)'$.

Находим производную первого слагаемого, как в пункте б): $(5e^{-x})' = 5 \cdot (e^{-x})' = 5 \cdot (-e^{-x}) = -5e^{-x}$.

Находим производную второго слагаемого: $(x^2)' = 2x$.

Объединяем результаты: $y' = -5e^{-x} - 2x$.

Ответ: $-5e^{-x} - 2x$.

539. a) $y = e^x \cos x$;

б) $y = 3e^x + 2^x$;

в) $y = 3^x - 3x^2$;

г) $y = x^2 e^x$.

а) $y = e^x \cos x$

Чтобы найти производную этой функции, воспользуемся правилом дифференцирования произведения двух функций: $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = e^x$ и $v(x) = \cos x$.

Найдем их производные:

$u'(x) = (e^x)' = e^x$

$v'(x) = (\cos x)' = -\sin x$

Теперь подставим эти значения в формулу производной произведения:

$y' = (e^x \cos x)' = (e^x)' \cdot \cos x + e^x \cdot (\cos x)' = e^x \cos x + e^x (-\sin x) = e^x \cos x - e^x \sin x$.

Вынесем общий множитель $e^x$ за скобки:

$y' = e^x(\cos x - \sin x)$.

Ответ: $y' = e^x(\cos x - \sin x)$

б) $y = 3e^x + 2x$

Для нахождения производной этой функции используем правило дифференцирования суммы: $(u+v)' = u' + v'$.

Найдем производную каждого слагаемого по отдельности:

Производная первого слагаемого: $(3e^x)' = 3 \cdot (e^x)' = 3e^x$.

Производная второго слагаемого: $(2x)' = 2$.

Сложим полученные производные:

$y' = (3e^x)' + (2x)' = 3e^x + 2$.

Ответ: $y' = 3e^x + 2$

в) $y = 3^x - 3x^2$

Для нахождения производной этой функции используем правило дифференцирования разности: $(u-v)' = u' - v'$.

Найдем производную каждого члена функции:

Производная первого члена (показательная функция $a^x$): $(3^x)' = 3^x \ln 3$.

Производная второго члена (степенная функция): $(3x^2)' = 3 \cdot (x^2)' = 3 \cdot 2x = 6x$.

Вычтем вторую производную из первой:

$y' = (3^x)' - (3x^2)' = 3^x \ln 3 - 6x$.

Ответ: $y' = 3^x \ln 3 - 6x$

г) $y = x^2e^x$

Здесь снова применяем правило дифференцирования произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = x^2$ и $v(x) = e^x$.

Найдем их производные:

$u'(x) = (x^2)' = 2x$

$v'(x) = (e^x)' = e^x$

Подставим значения в формулу:

$y' = (x^2)' \cdot e^x + x^2 \cdot (e^x)' = 2x \cdot e^x + x^2 \cdot e^x$.

Вынесем общий множитель $xe^x$ за скобки для упрощения:

$y' = xe^x(2 + x)$.

Ответ: $y' = xe^x(x+2)$

540.- Напишите уравнение касательной к графику функции $f$ в точке с абсциссой $x_0$:

а) $f(x) = e^{-x}, x_0 = 0;$

б) $f(x) = 3^x, x_0 = 1;$

в) $f(x) = e^x, x_0 = 0;$

г) $f(x) = 2^{-x}, x_0 = 1.$

а) Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.
Дана функция $f(x) = e^{-x}$ и точка $x_0 = 0$.
1. Найдём значение функции в точке $x_0$:
$f(x_0) = f(0) = e^{-0} = 1$.
2. Найдём производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (e^{-x})' = e^{-x} \cdot (-x)' = -e^{-x}$.
3. Найдём значение производной в точке $x_0$ (угловой коэффициент касательной):
$f'(x_0) = f'(0) = -e^{-0} = -1$.
4. Подставим найденные значения $x_0=0$, $f(x_0)=1$, $f'(x_0)=-1$ в уравнение касательной:
$y = 1 + (-1)(x - 0)$
$y = 1 - x$
$y = -x + 1$
Ответ: $y = -x + 1$

б) Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.
Дана функция $f(x) = 3^x$ и точка $x_0 = 1$.
1. Найдём значение функции в точке $x_0$:
$f(x_0) = f(1) = 3^1 = 3$.
2. Найдём производную функции $f(x)$ по формуле $(a^x)' = a^x \ln a$:
$f'(x) = (3^x)' = 3^x \ln 3$.
3. Найдём значение производной в точке $x_0$ (угловой коэффициент касательной):
$f'(x_0) = f'(1) = 3^1 \ln 3 = 3 \ln 3$.
4. Подставим найденные значения $x_0=1$, $f(x_0)=3$, $f'(x_0)=3 \ln 3$ в уравнение касательной:
$y = 3 + 3 \ln 3 \cdot (x - 1)$
$y = 3 + (3 \ln 3)x - 3 \ln 3$
Ответ: $y = (3 \ln 3)x + 3 - 3 \ln 3$

в) Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.
Дана функция $f(x) = e^x$ и точка $x_0 = 0$.
1. Найдём значение функции в точке $x_0$:
$f(x_0) = f(0) = e^0 = 1$.
2. Найдём производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (e^x)' = e^x$.
3. Найдём значение производной в точке $x_0$ (угловой коэффициент касательной):
$f'(x_0) = f'(0) = e^0 = 1$.
4. Подставим найденные значения $x_0=0$, $f(x_0)=1$, $f'(x_0)=1$ в уравнение касательной:
$y = 1 + 1 \cdot (x - 0)$
$y = 1 + x$
$y = x + 1$
Ответ: $y = x + 1$

г) Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.
Дана функция $f(x) = 2^{-x}$ и точка $x_0 = 1$.
1. Найдём значение функции в точке $x_0$:
$f(x_0) = f(1) = 2^{-1} = \frac{1}{2}$.
2. Найдём производную функции $f(x)$ как сложной функции $(a^u)' = a^u \ln a \cdot u'$:
$f'(x) = (2^{-x})' = 2^{-x} \ln 2 \cdot (-1) = -2^{-x} \ln 2$.
3. Найдём значение производной в точке $x_0$ (угловой коэффициент касательной):
$f'(x_0) = f'(1) = -2^{-1} \ln 2 = -\frac{1}{2} \ln 2$.
4. Подставим найденные значения $x_0=1$, $f(x_0)=\frac{1}{2}$, $f'(x_0)=-\frac{\ln 2}{2}$ в уравнение касательной:
$y = \frac{1}{2} + (-\frac{\ln 2}{2})(x - 1)$
$y = \frac{1}{2} - \frac{\ln 2}{2}x + \frac{\ln 2}{2}$
$y = -\frac{\ln 2}{2}x + \frac{1 + \ln 2}{2}$
Ответ: $y = -\frac{\ln 2}{2}x + \frac{1 + \ln 2}{2}$

541. Найдите общий вид первообразных для функции:

а) $f(x) = 5e^x$;

б) $f(x) = 2 \cdot 3^x$;

в) $f(x) = 4^x$;

г) $f(x) = \frac{1}{2}e^x + 1$.

а) Для нахождения общего вида первообразных для функции $f(x) = 5e^x$ необходимо найти ее неопределенный интеграл. Общий вид первообразных $F(x)$ находится по формуле $F(x) = \int f(x) dx$.
$F(x) = \int 5e^x dx$
Используя свойство интеграла, выносим постоянный множитель 5 за знак интеграла:
$F(x) = 5 \int e^x dx$
Первообразной для функции $e^x$ является сама функция $e^x$. Таким образом, получаем:
$F(x) = 5e^x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $F(x) = 5e^x + C$.

б) Найдем общий вид первообразных для функции $f(x) = 2 \cdot 3^x$.
$F(x) = \int 2 \cdot 3^x dx$
Выносим константу 2 за знак интеграла:
$F(x) = 2 \int 3^x dx$
Используем табличную формулу для первообразной показательной функции $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a}$. В данном случае $a=3$.
$F(x) = 2 \cdot \frac{3^x}{\ln 3} + C$
Ответ: $F(x) = \frac{2 \cdot 3^x}{\ln 3} + C$.

в) Найдем общий вид первообразных для функции $f(x) = 4^x$.
$F(x) = \int 4^x dx$
Применяем формулу для первообразной показательной функции $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a}$, где $a=4$.
$F(x) = \frac{4^x}{\ln 4} + C$
Ответ: $F(x) = \frac{4^x}{\ln 4} + C$.

г) Найдем общий вид первообразных для функции $f(x) = \frac{1}{2}e^x + 1$.
$F(x) = \int (\frac{1}{2}e^x + 1) dx$
Используя свойство аддитивности интеграла (интеграл суммы равен сумме интегралов), разобьем его на два:
$F(x) = \int \frac{1}{2}e^x dx + \int 1 dx$
Вычисляем каждый интеграл по отдельности:
$\int \frac{1}{2}e^x dx = \frac{1}{2} \int e^x dx = \frac{1}{2}e^x$
$\int 1 dx = x$
Складываем полученные результаты и добавляем одну общую константу интегрирования $C$:
$F(x) = \frac{1}{2}e^x + x + C$
Ответ: $F(x) = \frac{1}{2}e^x + x + C$.

542. Вычислите интеграл:

a) $\int_{0}^{1} 0.5^{x} dx;$

б) $\int_{0}^{1} e^{2x} dx;$

в) $\int_{-2}^{1} 2^{x} dx;$

г) $\int_{-\frac{1}{2}}^{1} 3^{x} dx.$

а) Для вычисления определенного интеграла $\int_{0}^{1} 0,5^x dx$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для $f(x)$. Первообразная для показательной функции $a^x$ находится по формуле $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a}$. В нашем случае $a = 0,5$. Находим первообразную: $F(x) = \frac{0,5^x}{\ln 0,5}$. Теперь вычисляем интеграл: $\int_{0}^{1} 0,5^x dx = \left. \frac{0,5^x}{\ln 0,5} \right|_{0}^{1} = \frac{0,5^1}{\ln 0,5} - \frac{0,5^0}{\ln 0,5} = \frac{0,5 - 1}{\ln 0,5} = \frac{-0,5}{\ln 0,5}$. Учитывая, что $\ln 0,5 = \ln(1/2) = \ln(2^{-1}) = -\ln 2$, получаем: $\frac{-0,5}{-\ln 2} = \frac{0,5}{\ln 2} = \frac{1}{2\ln 2}$.

Ответ: $\frac{1}{2\ln 2}$.

б) Вычислим интеграл $\int_{0}^{1} e^{2x} dx$. Первообразная для функции $e^{kx}$ равна $\frac{1}{k}e^{kx}$. В данном случае $k=2$. Таким образом, первообразная для $e^{2x}$ есть $F(x) = \frac{1}{2}e^{2x}$. Применяем формулу Ньютона-Лейбница: $\int_{0}^{1} e^{2x} dx = \left. \frac{1}{2}e^{2x} \right|_{0}^{1} = \frac{1}{2}e^{2 \cdot 1} - \frac{1}{2}e^{2 \cdot 0} = \frac{1}{2}e^2 - \frac{1}{2}e^0 = \frac{1}{2}e^2 - \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{e^2 - 1}{2}$.

Ответ: $\frac{e^2 - 1}{2}$.

в) Вычислим интеграл $\int_{-2}^{1} 2^x dx$. Используем ту же формулу для первообразной показательной функции $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a}$. Здесь $a=2$, поэтому первообразная $F(x) = \frac{2^x}{\ln 2}$. Подставляем пределы интегрирования по формуле Ньютона-Лейбница: $\int_{-2}^{1} 2^x dx = \left. \frac{2^x}{\ln 2} \right|_{-2}^{1} = \frac{2^1}{\ln 2} - \frac{2^{-2}}{\ln 2} = \frac{2}{\ln 2} - \frac{1/4}{\ln 2} = \frac{2 - \frac{1}{4}}{\ln 2} = \frac{\frac{7}{4}}{\ln 2} = \frac{7}{4\ln 2}$.

Ответ: $\frac{7}{4\ln 2}$.

г) Вычислим интеграл $\int_{-\frac{1}{2}}^{1} 3^x dx$. Первообразная для $3^x$ находится по формуле $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a}$, где $a=3$. Следовательно, $F(x) = \frac{3^x}{\ln 3}$. Применяем формулу Ньютона-Лейбница: $\int_{-\frac{1}{2}}^{1} 3^x dx = \left. \frac{3^x}{\ln 3} \right|_{-\frac{1}{2}}^{1} = \frac{3^1}{\ln 3} - \frac{3^{-1/2}}{\ln 3} = \frac{3 - \frac{1}{\sqrt{3}}}{\ln 3}$. Упростим выражение: $\frac{3 - \frac{1}{\sqrt{3}}}{\ln 3} = \frac{3 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{\ln 3} = \frac{\frac{9 - \sqrt{3}}{3}}{\ln 3} = \frac{9 - \sqrt{3}}{3\ln 3}$.

Ответ: $\frac{9 - \sqrt{3}}{3\ln 3}$.

Найдите производную каждой из функций (543—544).

543.—

a) $y = e^{x^2} \sin \frac{x}{2}$;

б) $y = 7^x \tan 3x$;

в) $y = e^{\sqrt{x}} \cos 2x$;

г) $y = 2^{-x} \cot \frac{x}{3}$.

а) Дана функция $y = e^{x^2} \sin{\frac{x}{2}}$.

Для нахождения производной этой функции необходимо применить правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

В нашем случае, $u(x) = e^{x^2}$ и $v(x) = \sin{\frac{x}{2}}$.

Найдем производные каждой из этих функций, используя правило дифференцирования сложной функции $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

Производная от $u(x) = e^{x^2}$:

$u'(x) = (e^{x^2})' = e^{x^2} \cdot (x^2)' = e^{x^2} \cdot 2x = 2x e^{x^2}$.

Производная от $v(x) = \sin{\frac{x}{2}}$:

$v'(x) = (\sin{\frac{x}{2}})' = \cos{\frac{x}{2}} \cdot (\frac{x}{2})' = \cos{\frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\cos{\frac{x}{2}}$.

Теперь подставим найденные производные в формулу для производной произведения:

$y' = u'v + uv' = (2x e^{x^2}) \cdot \sin{\frac{x}{2}} + e^{x^2} \cdot (\frac{1}{2}\cos{\frac{x}{2}})$.

Вынесем общий множитель $e^{x^2}$ за скобки для упрощения выражения:

$y' = e^{x^2} (2x \sin{\frac{x}{2}} + \frac{1}{2}\cos{\frac{x}{2}})$.

Ответ: $y' = e^{x^2} (2x \sin{\frac{x}{2}} + \frac{1}{2}\cos{\frac{x}{2}})$.

б) Дана функция $y = 7^{\frac{x}{2}} \text{tg}(3x)$.

Это произведение двух функций: $u(x) = 7^{\frac{x}{2}}$ и $v(x) = \text{tg}(3x)$. Применим правило $(uv)' = u'v + uv'$.

Найдем производную $u(x) = 7^{\frac{x}{2}}$, используя формулу $(a^z)' = a^z \ln a \cdot z'$:

$u'(x) = (7^{\frac{x}{2}})' = 7^{\frac{x}{2}} \ln 7 \cdot (\frac{x}{2})' = 7^{\frac{x}{2}} \ln 7 \cdot \frac{1}{2} = \frac{\ln 7}{2} \cdot 7^{\frac{x}{2}}$.

Найдем производную $v(x) = \text{tg}(3x)$, используя формулу $(\text{tg} z)' = \frac{1}{\cos^2 z} \cdot z'$:

$v'(x) = (\text{tg}(3x))' = \frac{1}{\cos^2(3x)} \cdot (3x)' = \frac{3}{\cos^2(3x)}$.

Подставляем в правило произведения:

$y' = u'v + uv' = (\frac{\ln 7}{2} \cdot 7^{\frac{x}{2}}) \cdot \text{tg}(3x) + 7^{\frac{x}{2}} \cdot \frac{3}{\cos^2(3x)}$.

Вынесем общий множитель $7^{\frac{x}{2}}$:

$y' = 7^{\frac{x}{2}} \left( \frac{\ln 7}{2} \text{tg}(3x) + \frac{3}{\cos^2(3x)} \right)$.

Ответ: $y' = 7^{\frac{x}{2}} \left( \frac{\ln 7}{2} \text{tg}(3x) + \frac{3}{\cos^2(3x)} \right)$.

в) Дана функция $y = e^{\sqrt{x}} \cos(2x)$.

Используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$ для $u(x) = e^{\sqrt{x}}$ и $v(x) = \cos(2x)$.

Найдем производную $u(x) = e^{\sqrt{x}}$:

$u'(x) = (e^{\sqrt{x}})' = e^{\sqrt{x}} \cdot (\sqrt{x})' = e^{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Найдем производную $v(x) = \cos(2x)$:

$v'(x) = (\cos(2x))' = -\sin(2x) \cdot (2x)' = -2\sin(2x)$.

Подставляем в правило произведения:

$y' = u'v + uv' = \left(e^{\sqrt{x}} \frac{1}{2\sqrt{x}}\right) \cdot \cos(2x) + e^{\sqrt{x}} \cdot (-2\sin(2x))$.

$y' = \frac{e^{\sqrt{x}}\cos(2x)}{2\sqrt{x}} - 2e^{\sqrt{x}}\sin(2x)$.

Вынесем общий множитель $e^{\sqrt{x}}$:

$y' = e^{\sqrt{x}} \left( \frac{\cos(2x)}{2\sqrt{x}} - 2\sin(2x) \right)$.

Ответ: $y' = e^{\sqrt{x}} \left( \frac{\cos(2x)}{2\sqrt{x}} - 2\sin(2x) \right)$.

г) Дана функция $y = 2^{-x} \text{ctg}{\frac{x}{3}}$.

Это произведение функций $u(x) = 2^{-x}$ и $v(x) = \text{ctg}{\frac{x}{3}}$. Применим правило $(uv)' = u'v + uv'$.

Найдем производную $u(x) = 2^{-x}$:

$u'(x) = (2^{-x})' = 2^{-x} \ln 2 \cdot (-x)' = -2^{-x} \ln 2$.

Найдем производную $v(x) = \text{ctg}{\frac{x}{3}}$, используя формулу $(\text{ctg} z)' = -\frac{1}{\sin^2 z} \cdot z'$:

$v'(x) = \left(\text{ctg}{\frac{x}{3}}\right)' = -\frac{1}{\sin^2(\frac{x}{3})} \cdot \left(\frac{x}{3}\right)' = -\frac{1}{\sin^2(\frac{x}{3})} \cdot \frac{1}{3} = -\frac{1}{3\sin^2(\frac{x}{3})}$.

Подставляем в правило произведения:

$y' = u'v + uv' = (-2^{-x} \ln 2) \cdot \text{ctg}{\frac{x}{3}} + 2^{-x} \cdot \left(-\frac{1}{3\sin^2(\frac{x}{3})}\right)$.

$y' = -2^{-x} \ln 2 \cdot \text{ctg}{\frac{x}{3}} - \frac{2^{-x}}{3\sin^2(\frac{x}{3})}$.

Вынесем общий множитель $-2^{-x}$:

$y' = -2^{-x} \left( \ln 2 \cdot \text{ctg}{\frac{x}{3}} + \frac{1}{3\sin^2(\frac{x}{3})} \right)$.

Ответ: $y' = -2^{-x} \left( \ln 2 \cdot \text{ctg}\frac{x}{3} + \frac{1}{3\sin^2(\frac{x}{3})} \right)$.

544. a) $y = \frac{x^6}{4^x + 5}$;

б) $y = \frac{e^{-x}}{x^2 + 2}$;

в) $y = \frac{3^x}{2^x + 5^x}$;

г) $y = \frac{0.3^{-x}}{\sqrt{x+0.5}}$.

а) $y = \frac{x^6}{4^x + 5}$

Для нахождения производной данной функции воспользуемся правилом дифференцирования частного (формулой производной дроби): $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

В нашем случае $u(x) = x^6$ и $v(x) = 4^x + 5$.

Найдем производные $u'(x)$ и $v'(x)$:

$u'(x) = (x^6)' = 6x^5$

$v'(x) = (4^x + 5)' = (4^x)' + (5)' = 4^x \ln(4) + 0 = 4^x \ln(4)$.

Теперь подставим найденные производные в формулу производной частного:

$y' = \frac{(x^6)'(4^x + 5) - x^6(4^x + 5)'}{(4^x + 5)^2} = \frac{6x^5(4^x + 5) - x^6(4^x \ln(4))}{(4^x + 5)^2}$.

Можно вынести общий множитель $x^5$ в числителе за скобки для упрощения выражения:

$y' = \frac{x^5(6(4^x + 5) - x \cdot 4^x \ln(4))}{(4^x + 5)^2} = \frac{x^5(6 \cdot 4^x + 30 - x \cdot 4^x \ln(4))}{(4^x + 5)^2}$.

Ответ: $y' = \frac{x^5(6 \cdot 4^x + 30 - x \cdot 4^x \ln(4))}{(4^x + 5)^2}$.

б) $y = \frac{e^{-x}}{x^2 + 2}$

Применим правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Здесь $u(x) = e^{-x}$ и $v(x) = x^2 + 2$.

Найдем производные $u'(x)$ и $v'(x)$. Для $u'(x)$ используем правило дифференцирования сложной функции:

$u'(x) = (e^{-x})' = e^{-x} \cdot (-x)' = e^{-x} \cdot (-1) = -e^{-x}$.

$v'(x) = (x^2 + 2)' = 2x$.

Подставим производные в формулу:

$y' = \frac{(-e^{-x})(x^2 + 2) - e^{-x}(2x)}{(x^2 + 2)^2}$.

Вынесем общий множитель $-e^{-x}$ в числителе:

$y' = \frac{-e^{-x}((x^2 + 2) + 2x)}{(x^2 + 2)^2} = \frac{-e^{-x}(x^2 + 2x + 2)}{(x^2 + 2)^2}$.

Ответ: $y' = -\frac{e^{-x}(x^2 + 2x + 2)}{(x^2 + 2)^2}$.

в) $y = \frac{3^x}{2^x + 5^x}$

Используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

В данном случае $u(x) = 3^x$ и $v(x) = 2^x + 5^x$.

Найдем производные $u'(x)$ и $v'(x)$ по формуле $(a^x)' = a^x \ln(a)$:

$u'(x) = (3^x)' = 3^x \ln(3)$.

$v'(x) = (2^x + 5^x)' = (2^x)' + (5^x)' = 2^x \ln(2) + 5^x \ln(5)$.

Подставляем в формулу производной частного:

$y' = \frac{(3^x \ln(3))(2^x + 5^x) - 3^x(2^x \ln(2) + 5^x \ln(5))}{(2^x + 5^x)^2}$.

Раскроем скобки в числителе:

$y' = \frac{3^x \cdot 2^x \ln(3) + 3^x \cdot 5^x \ln(3) - 3^x \cdot 2^x \ln(2) - 3^x \cdot 5^x \ln(5)}{(2^x + 5^x)^2}$.

Сгруппируем слагаемые, используя свойство степеней $a^x b^x = (ab)^x$:

$y' = \frac{6^x \ln(3) + 15^x \ln(3) - 6^x \ln(2) - 15^x \ln(5)}{(2^x + 5^x)^2} = \frac{6^x(\ln(3) - \ln(2)) + 15^x(\ln(3) - \ln(5))}{(2^x + 5^x)^2}$.

Используя свойство логарифмов $\ln(a) - \ln(b) = \ln(\frac{a}{b})$, получим:

$y' = \frac{6^x \ln(\frac{3}{2}) + 15^x \ln(\frac{3}{5})}{(2^x + 5^x)^2}$.

Ответ: $y' = \frac{6^x \ln(\frac{3}{2}) + 15^x \ln(\frac{3}{5})}{(2^x + 5^x)^2}$.

г) $y = \frac{0.3^{-x}}{\sqrt{x} + 0.5}$

Снова применяем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Здесь $u(x) = 0.3^{-x}$ и $v(x) = \sqrt{x} + 0.5 = x^{1/2} + 0.5$.

Найдем производные $u'(x)$ и $v'(x)$:

$u'(x) = (0.3^{-x})' = 0.3^{-x} \ln(0.3) \cdot (-x)' = -0.3^{-x} \ln(0.3)$.

$v'(x) = (\sqrt{x} + 0.5)' = (x^{1/2})' + (0.5)' = \frac{1}{2}x^{-1/2} + 0 = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Подставляем в формулу:

$y' = \frac{(-0.3^{-x} \ln(0.3))(\sqrt{x} + 0.5) - 0.3^{-x}(\frac{1}{2\sqrt{x}})}{(\sqrt{x} + 0.5)^2}$.

Вынесем общий множитель $-0.3^{-x}$ в числителе:

$y' = \frac{-0.3^{-x}(\ln(0.3)(\sqrt{x} + 0.5) + \frac{1}{2\sqrt{x}})}{(\sqrt{x} + 0.5)^2}$.

Ответ: $y' = -\frac{0.3^{-x}(\ln(0.3)(\sqrt{x} + 0.5) + \frac{1}{2\sqrt{x}})}{(\sqrt{x} + 0.5)^2}$.