Страница 262 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Вычислите с помощью формулы (4) приближенные значения (560—561).

560.— a) $24^{\frac{1}{3}}$; б) $\sqrt[4]{625 \cdot 3}$; в) $\sqrt[3]{81}$; г) $\sqrt[4]{48}$.

Для вычисления приближенных значений воспользуемся формулой линейного приближения функции, которая, по-видимому, имеется в виду под «формулой (4)»:

$f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0) \Delta x$

где $f(x)$ — вычисляемая функция, $x_0$ — точка, близкая к искомому значению, в которой значение функции и ее производной легко вычислить, а $\Delta x$ — приращение аргумента.

а) Вычислим приближенное значение для $243^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{243}$.

1. Рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt[3]{x}$.

2. Выберем точку $x_0$, близкую к 243, для которой кубический корень известен. Ближайший к 243 куб целого числа — это $6^3 = 216$. Итак, пусть $x_0 = 216$.

3. Найдем приращение $\Delta x = 243 - x_0 = 243 - 216 = 27$.

4. Найдем производную функции: $f'(x) = (\sqrt[3]{x})' = (x^{\frac{1}{3}})' = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$.

5. Вычислим значения функции и ее производной в точке $x_0=216$:

$f(x_0) = f(216) = \sqrt[3]{216} = 6$.

$f'(x_0) = f'(216) = \frac{1}{3\sqrt[3]{216^2}} = \frac{1}{3 \cdot (\sqrt[3]{216})^2} = \frac{1}{3 \cdot 6^2} = \frac{1}{3 \cdot 36} = \frac{1}{108}$.

6. Подставим найденные значения в формулу приближения:

$\sqrt[3]{243} = f(216 + 27) \approx f(216) + f'(216) \cdot 27 = 6 + \frac{1}{108} \cdot 27 = 6 + \frac{27}{108} = 6 + \frac{1}{4} = 6.25$.

Ответ: 6.25.

б) Вычислим приближенное значение для $\sqrt[4]{625 \cdot 3}$.

1. Упростим выражение: $\sqrt[4]{625 \cdot 3} = \sqrt[4]{625} \cdot \sqrt[4]{3} = 5\sqrt[4]{3}$. Теперь задача сводится к вычислению приближенного значения $\sqrt[4]{3}$.

2. Рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt[4]{x}$.

3. Выберем $x_0 = 1$, так как $1^4=1$ и это число близко к 3. Тогда $\Delta x = 3 - 1 = 2$.

4. Найдем производную: $f'(x) = (\sqrt[4]{x})' = (x^{\frac{1}{4}})' = \frac{1}{4}x^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}$.

5. Вычислим значения в точке $x_0=1$:

$f(x_0) = f(1) = \sqrt[4]{1} = 1$.

$f'(x_0) = f'(1) = \frac{1}{4\sqrt[4]{1^3}} = \frac{1}{4}$.

6. Найдем приближенное значение для $\sqrt[4]{3}$:

$\sqrt[4]{3} = f(1+2) \approx f(1) + f'(1) \cdot 2 = 1 + \frac{1}{4} \cdot 2 = 1 + \frac{1}{2} = 1.5$.

7. Теперь вычислим исходное выражение:

$\sqrt[4]{625 \cdot 3} = 5\sqrt[4]{3} \approx 5 \cdot 1.5 = 7.5$.

Ответ: 7.5.

в) Вычислим приближенное значение для $\sqrt[3]{81}$.

1. Рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt[3]{x}$.

2. Ближайший к 81 куб целого числа — это $4^3 = 64$. Выберем $x_0 = 64$.

3. Приращение $\Delta x = 81 - 64 = 17$.

4. Производная функции: $f'(x) = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$.

5. Вычислим значения в точке $x_0=64$:

$f(x_0) = f(64) = \sqrt[3]{64} = 4$.

$f'(x_0) = f'(64) = \frac{1}{3\sqrt[3]{64^2}} = \frac{1}{3 \cdot (\sqrt[3]{64})^2} = \frac{1}{3 \cdot 4^2} = \frac{1}{3 \cdot 16} = \frac{1}{48}$.

6. Подставим в формулу:

$\sqrt[3]{81} = f(64 + 17) \approx f(64) + f'(64) \cdot 17 = 4 + \frac{1}{48} \cdot 17 = 4 + \frac{17}{48} = 4\frac{17}{48}$.

Ответ: $4\frac{17}{48}$.

г) Вычислим приближенное значение для $\sqrt[4]{48}$.

1. Рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt[4]{x}$.

2. Найдем число, близкое к 48, из которого легко извлекается корень 4-й степени. Возможные варианты: $2^4 = 16$ и $3^4 = 81$. Для получения более точного результата выберем точку $x_0 = 81$, так как относительное приращение $|\frac{\Delta x}{x_0}|$ будет меньше.

3. Выберем $x_0 = 81$. Тогда приращение $\Delta x = 48 - 81 = -33$.

4. Производная функции: $f'(x) = \frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}$.

5. Вычислим значения в точке $x_0=81$:

$f(x_0) = f(81) = \sqrt[4]{81} = 3$.

$f'(x_0) = f'(81) = \frac{1}{4\sqrt[4]{81^3}} = \frac{1}{4 \cdot (\sqrt[4]{81})^3} = \frac{1}{4 \cdot 3^3} = \frac{1}{4 \cdot 27} = \frac{1}{108}$.

6. Подставим в формулу:

$\sqrt[4]{48} = f(81 - 33) \approx f(81) + f'(81) \cdot (-33) = 3 + \frac{1}{108} \cdot (-33) = 3 - \frac{33}{108}$.

Сократим дробь: $\frac{33}{108} = \frac{11 \cdot 3}{36 \cdot 3} = \frac{11}{36}$.

Тогда $\sqrt[4]{48} \approx 3 - \frac{11}{36} = \frac{108 - 11}{36} = \frac{97}{36}$.

Ответ: $\frac{97}{36}$.

561. a) $\sqrt[3]{30}$;

б) $\sqrt[4]{90}$;

в) $\sqrt{9,02}$;

г) $\sqrt[5]{33}$.

а) Чтобы оценить значение выражения $\sqrt[3]{30}$, необходимо найти два последовательных целых числа, между которыми оно заключено. Для этого будем возводить целые числа в третью степень, пока не найдем два числа, между кубами которых находится число 30.
Найдем кубы последовательных целых чисел:
$2^3 = 8$
$3^3 = 27$
$4^3 = 64$
Из этого следует, что $27 < 30 < 64$.
Запишем это неравенство в виде $3^3 < 30 < 4^3$.
Теперь извлечем кубический корень из каждой части неравенства:
$\sqrt[3]{3^3} < \sqrt[3]{30} < \sqrt[3]{4^3}$
$3 < \sqrt[3]{30} < 4$
Таким образом, значение выражения $\sqrt[3]{30}$ находится между числами 3 и 4.
Ответ: $3 < \sqrt[3]{30} < 4$.

б) Чтобы оценить значение выражения $\sqrt[4]{90}$, найдем два последовательных целых числа, между которыми оно заключено. Для этого будем возводить целые числа в четвертую степень.
Найдем четвертые степени последовательных целых чисел:
$2^4 = 16$
$3^4 = 81$
$4^4 = 256$
Из этого следует, что $81 < 90 < 256$.
Запишем это неравенство в виде $3^4 < 90 < 4^4$.
Теперь извлечем корень четвертой степени из каждой части неравенства:
$\sqrt[4]{3^4} < \sqrt[4]{90} < \sqrt[4]{4^4}$
$3 < \sqrt[4]{90} < 4$
Таким образом, значение выражения $\sqrt[4]{90}$ находится между числами 3 и 4.
Ответ: $3 < \sqrt[4]{90} < 4$.

в) Чтобы оценить значение выражения $\sqrt{9,02}$, найдем два последовательных целых числа, между которыми оно заключено. Для этого будем возводить целые числа в квадрат (так как корень квадратный).
Найдем квадраты последовательных целых чисел:
$2^2 = 4$
$3^2 = 9$
$4^2 = 16$
Из этого следует, что $9 < 9,02 < 16$.
Запишем это неравенство в виде $3^2 < 9,02 < 4^2$.
Теперь извлечем квадратный корень из каждой части неравенства:
$\sqrt{3^2} < \sqrt{9,02} < \sqrt{4^2}$
$3 < \sqrt{9,02} < 4$
Таким образом, значение выражения $\sqrt{9,02}$ находится между числами 3 и 4.
Ответ: $3 < \sqrt{9,02} < 4$.

г) Чтобы оценить значение выражения $\sqrt[5]{33}$, найдем два последовательных целых числа, между которыми оно заключено. Для этого будем возводить целые числа в пятую степень.
Найдем пятые степени последовательных целых чисел:
$1^5 = 1$
$2^5 = 32$
$3^5 = 243$
Из этого следует, что $32 < 33 < 243$.
Запишем это неравенство в виде $2^5 < 33 < 3^5$.
Теперь извлечем корень пятой степени из каждой части неравенства:
$\sqrt[5]{2^5} < \sqrt[5]{33} < \sqrt[5]{3^5}$
$2 < \sqrt[5]{33} < 3$
Таким образом, значение выражения $\sqrt[5]{33}$ находится между числами 2 и 3.
Ответ: $2 < \sqrt[5]{33} < 3$.

562. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f$ на промежутке $I$:

а) $f(x) = x^{\frac{2}{5}}$, $I = [1; 32]$;

б) $f(x) = x^{-\frac{4}{3}}$, $I = \left[\frac{1}{8}; 27\right]$;

в) $f(x) = x^{-4}$, $I = \left[\frac{1}{2}; 1\right]$;

г) $f(x) = x^{\frac{3}{4}}$, $I = \left[\frac{1}{16}; 81\right]$.

а) $f(x) = x^{\frac{2}{5}}$, $I = [1; 32]$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке, исследуем ее на монотонность. Найдем производную функции: $f'(x) = (x^{\frac{2}{5}})' = \frac{2}{5}x^{\frac{2}{5}-1} = \frac{2}{5}x^{-\frac{3}{5}} = \frac{2}{5\sqrt[5]{x^3}}$.

Производная не определена в точке $x=0$, но эта точка не принадлежит отрезку $[1; 32]$. На всем отрезке $[1; 32]$ производная $f'(x)$ положительна, так как $x > 0$. Это означает, что функция $f(x)$ монотонно возрастает на данном отрезке.

Следовательно, наименьшее значение функция принимает на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом. Вычислим значения функции на концах отрезка:

Наименьшее значение: $f_{наим} = f(1) = 1^{\frac{2}{5}} = 1$.

Наибольшее значение: $f_{наиб} = f(32) = 32^{\frac{2}{5}} = (2^5)^{\frac{2}{5}} = 2^2 = 4$.

Ответ: наименьшее значение 1, наибольшее значение 4.

б) $f(x) = x^{-\frac{4}{3}}$, $I = [\frac{1}{8}; 27]$

Исследуем функцию на монотонность на заданном отрезке. Найдем ее производную: $f'(x) = (x^{-\frac{4}{3}})' = -\frac{4}{3}x^{-\frac{4}{3}-1} = -\frac{4}{3}x^{-\frac{7}{3}} = -\frac{4}{3\sqrt[3]{x^7}}$.

Производная не определена в точке $x=0$, которая не принадлежит отрезку $[\frac{1}{8}; 27]$. На всем отрезке $[\frac{1}{8}; 27]$ производная $f'(x)$ отрицательна. Следовательно, функция $f(x)$ монотонно убывает на данном отрезке.

В этом случае наибольшее значение достигается на левом конце отрезка, а наименьшее — на правом. Вычислим эти значения:

Наибольшее значение: $f_{наиб} = f(\frac{1}{8}) = (\frac{1}{8})^{-\frac{4}{3}} = (2^{-3})^{-\frac{4}{3}} = 2^{4} = 16$.

Наименьшее значение: $f_{наим} = f(27) = 27^{-\frac{4}{3}} = (3^3)^{-\frac{4}{3}} = 3^{-4} = \frac{1}{81}$.

Ответ: наименьшее значение $\frac{1}{81}$, наибольшее значение 16.

в) $f(x) = x^{-4}$, $I = [\frac{1}{2}; 1]$

Найдем производную функции для определения интервалов монотонности: $f'(x) = (x^{-4})' = -4x^{-5} = -\frac{4}{x^5}$.

На отрезке $[\frac{1}{2}; 1]$ производная $f'(x)$ всегда отрицательна, поскольку $x > 0$. Это означает, что функция $f(x)$ монотонно убывает на всем отрезке.

Таким образом, наибольшее значение функция принимает на левом конце отрезка, а наименьшее — на правом. Вычислим значения:

Наибольшее значение: $f_{наиб} = f(\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})^{-4} = 2^4 = 16$.

Наименьшее значение: $f_{наим} = f(1) = 1^{-4} = 1$.

Ответ: наименьшее значение 1, наибольшее значение 16.

г) $f(x) = x^{\frac{3}{4}}$, $I = [\frac{1}{16}; 81]$

Для исследования функции на монотонность найдем ее производную: $f'(x) = (x^{\frac{3}{4}})' = \frac{3}{4}x^{\frac{3}{4}-1} = \frac{3}{4}x^{-\frac{1}{4}} = \frac{3}{4\sqrt[4]{x}}$.

Производная не определена в точке $x=0$, которая не входит в отрезок $[\frac{1}{16}; 81]$. На всем отрезке производная $f'(x)$ положительна, так как $x > 0$. Значит, функция $f(x)$ монотонно возрастает на данном отрезке.

Следовательно, наименьшее значение достигается на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом. Вычислим значения функции на концах отрезка:

Наименьшее значение: $f_{наим} = f(\frac{1}{16}) = (\frac{1}{16})^{\frac{3}{4}} = ((\frac{1}{2})^4)^{\frac{3}{4}} = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$.

Наибольшее значение: $f_{наиб} = f(81) = 81^{\frac{3}{4}} = (3^4)^{\frac{3}{4}} = 3^3 = 27$.

Ответ: наименьшее значение $\frac{1}{8}$, наибольшее значение 27.

563. Найдите общий вид первообразных для функции:

a) $f(x) = -\frac{1}{2} x^{-\sqrt{2}};$

б) $f(x) = x^{2\sqrt{3}};$

в) $f(x) = 3x^{-1};$

г) $f(x) = x^{e}.$

а) Для нахождения общего вида первообразных функции $f(x) = -\frac{1}{2}x^{-\sqrt{2}}$ используется формула для интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, так как показатель степени $n = -\sqrt{2} \neq -1$.
Постоянный множитель $-\frac{1}{2}$ можно вынести за знак интеграла:
$F(x) = \int -\frac{1}{2}x^{-\sqrt{2}} dx = -\frac{1}{2} \int x^{-\sqrt{2}} dx$.
Применяем формулу, подставляя $n = -\sqrt{2}$:
$F(x) = -\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{-\sqrt{2}+1}}{-\sqrt{2}+1} + C$.
Упростим полученное выражение:
$F(x) = -\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{1-\sqrt{2}}}{1-\sqrt{2}} + C = -\frac{x^{1-\sqrt{2}}}{2(1-\sqrt{2})} + C = \frac{x^{1-\sqrt{2}}}{2(\sqrt{2}-1)} + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{x^{1-\sqrt{2}}}{2(\sqrt{2}-1)} + C$.

б) Для функции $f(x) = x^{2\sqrt{3}}$ также применяется формула для интегрирования степенной функции, так как показатель степени $n = 2\sqrt{3} \neq -1$.
$F(x) = \int x^{2\sqrt{3}} dx$.
Подставляем в формулу $n = 2\sqrt{3}$:
$F(x) = \frac{x^{2\sqrt{3}+1}}{2\sqrt{3}+1} + C$.
Это выражение является окончательным, так как дальнейшее упрощение нецелесообразно.
Ответ: $F(x) = \frac{x^{2\sqrt{3}+1}}{2\sqrt{3}+1} + C$.

в) Функция $f(x) = 3x^{-1}$ представляет собой частный случай степенной функции, где показатель степени $n = -1$. В этом случае формула для первообразной имеет вид $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$.
Вынесем постоянный множитель 3 за знак интеграла:
$F(x) = \int 3x^{-1} dx = 3 \int x^{-1} dx = 3 \int \frac{1}{x} dx$.
Применяем формулу для данного случая:
$F(x) = 3\ln|x| + C$.
Знак модуля у аргумента логарифма необходим, так как область определения исходной функции $f(x) = \frac{3}{x}$ включает все действительные числа, кроме нуля ($x \neq 0$), а логарифм определен только для положительных чисел.
Ответ: $F(x) = 3\ln|x| + C$.

г) Для функции $f(x) = x^e$ используется стандартная формула для интегрирования степенной функции, так как показатель степени $n = e$ (число Эйлера, $e \approx 2.718$) не равен -1.
$F(x) = \int x^e dx$.
Применяем формулу, подставляя $n = e$:
$F(x) = \frac{x^{e+1}}{e+1} + C$.
Это окончательный вид первообразной.
Ответ: $F(x) = \frac{x^{e+1}}{e+1} + C$.

564. Вычислите интеграл:

а) $\int_1^4 x^{\frac{5}{2}} dx;$

б) $\int_1^8 \frac{4}{x^3} dx;$

в) $\int_e^{e^2} 2x^{-1}dx;$

г) $\int_{16}^{81} 5x^{-\frac{1}{4}} dx.$

а) Для вычисления определенного интеграла $\int_{1}^{4} x^{\frac{5}{2}} dx$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для $f(x)$.
Первообразная для степенной функции $x^n$ находится по формуле $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$.
В нашем случае $n = \frac{5}{2}$, поэтому первообразная $F(x) = \frac{x^{\frac{5}{2}+1}}{\frac{5}{2}+1} = \frac{x^{\frac{7}{2}}}{\frac{7}{2}} = \frac{2}{7}x^{\frac{7}{2}}$.
Теперь вычислим значение интеграла:
$\int_{1}^{4} x^{\frac{5}{2}} dx = \left. \frac{2}{7}x^{\frac{7}{2}} \right|_{1}^{4} = \frac{2}{7}(4^{\frac{7}{2}} - 1^{\frac{7}{2}})$.
Вычислим значения в пределах интегрирования:
$4^{\frac{7}{2}} = (\sqrt{4})^7 = 2^7 = 128$.
$1^{\frac{7}{2}} = 1$.
Подставляем значения: $\frac{2}{7}(128 - 1) = \frac{2}{7} \cdot 127 = \frac{254}{7}$.
Ответ: $\frac{254}{7}$.

б) Вычислим интеграл $\int_{1}^{8} \frac{4 dx}{x^{\frac{2}{3}}}$.
Сначала преобразуем подынтегральную функцию: $\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}} = 4x^{-\frac{2}{3}}$.
Интеграл принимает вид: $\int_{1}^{8} 4x^{-\frac{2}{3}} dx$.
Найдем первообразную, вынося константу за знак интеграла и используя формулу для степенной функции:
$F(x) = 4 \int x^{-\frac{2}{3}} dx = 4 \cdot \frac{x^{-\frac{2}{3}+1}}{-\frac{2}{3}+1} = 4 \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}}}{\frac{1}{3}} = 12x^{\frac{1}{3}}$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$\int_{1}^{8} 4x^{-\frac{2}{3}} dx = \left. 12x^{\frac{1}{3}} \right|_{1}^{8} = 12(8^{\frac{1}{3}} - 1^{\frac{1}{3}})$.
Вычислим значения:
$8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2$.
$1^{\frac{1}{3}} = 1$.
Подставляем значения: $12(2-1) = 12 \cdot 1 = 12$.
Ответ: $12$.

в) Вычислим интеграл $\int_{e}^{e^2} 2x^{-1} dx$.
Преобразуем подынтегральную функцию: $2x^{-1} = \frac{2}{x}$.
Интеграл принимает вид: $\int_{e}^{e^2} \frac{2}{x} dx$.
Первообразная для функции $\frac{1}{x}$ — это натуральный логарифм $\ln|x|$. Таким образом, первообразная для $\frac{2}{x}$ равна $2\ln|x|$. Поскольку пределы интегрирования $e$ и $e^2$ положительны, модуль можно опустить: $F(x) = 2\ln(x)$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$\int_{e}^{e^2} \frac{2}{x} dx = \left. 2\ln(x) \right|_{e}^{e^2} = 2(\ln(e^2) - \ln(e))$.
Используя свойства логарифмов ($\ln(e^a) = a$ и $\ln(e) = 1$):
$\ln(e^2) = 2$.
$\ln(e) = 1$.
Подставляем значения: $2(2-1) = 2 \cdot 1 = 2$.
Ответ: $2$.

г) Вычислим интеграл $\int_{16}^{81} 5x^{\frac{1}{4}} dx$.
Найдем первообразную для $5x^{\frac{1}{4}}$:
$F(x) = 5 \int x^{\frac{1}{4}} dx = 5 \cdot \frac{x^{\frac{1}{4}+1}}{\frac{1}{4}+1} = 5 \cdot \frac{x^{\frac{5}{4}}}{\frac{5}{4}} = 5 \cdot \frac{4}{5}x^{\frac{5}{4}} = 4x^{\frac{5}{4}}$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$\int_{16}^{81} 5x^{\frac{1}{4}} dx = \left. 4x^{\frac{5}{4}} \right|_{16}^{81} = 4(81^{\frac{5}{4}} - 16^{\frac{5}{4}})$.
Вычислим значения в пределах интегрирования:
$81^{\frac{5}{4}} = (\sqrt[4]{81})^5 = 3^5 = 243$.
$16^{\frac{5}{4}} = (\sqrt[4]{16})^5 = 2^5 = 32$.
Подставляем значения: $4(243 - 32) = 4 \cdot 211 = 844$.
Ответ: $844$.

565.— Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

a) $y = x^{\sqrt{2}}$, $y = 0$, $x = 1$;

б) $y = x^{\sqrt{3}}$, $y = \frac{1}{x}$, $x = \frac{1}{2}$;

в) $y = x^{-0.8}$, $y = 0$, $x = 1$, $x = 32$;

г) $y = \frac{1}{x}$, $y = 0$, $x = 3$, $x = 5$.

а) Фигура ограничена графиком функции $y = x^{\sqrt{2}}$, осью абсцисс $y=0$ и вертикальной прямой $x=1$. Поскольку $y(0) = 0^{\sqrt{2}} = 0$, график функции выходит из начала координат, и второй вертикальной границей является прямая $x=0$. Площадь фигуры, таким образом, представляет собой площадь криволинейной трапеции и вычисляется как определенный интеграл от функции $y = x^{\sqrt{2}}$ в пределах от 0 до 1.
Формула для вычисления площади: $S = \int_a^b f(x) \,dx$.
В данном случае $f(x) = x^{\sqrt{2}}$, $a=0$, $b=1$.
$S = \int_0^1 x^{\sqrt{2}} \,dx$
Используем формулу интегрирования степенной функции $\int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$:
$S = \left[ \frac{x^{\sqrt{2}+1}}{\sqrt{2}+1} \right]_0^1 = \frac{1^{\sqrt{2}+1}}{\sqrt{2}+1} - \frac{0^{\sqrt{2}+1}}{\sqrt{2}+1} = \frac{1}{\sqrt{2}+1} - 0 = \frac{1}{\sqrt{2}+1}$
Для упрощения ответа избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{2}-1)$:
$S = \frac{1}{\sqrt{2}+1} \cdot \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1} = \frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{\sqrt{2}-1}{2-1} = \sqrt{2}-1$.
Ответ: $\sqrt{2}-1$.

б) Фигура ограничена линиями $y = x^{\sqrt{3}}$, $y = \frac{1}{x}$ и $x = \frac{1}{2}$. Сначала найдем точку пересечения кривых $y = x^{\sqrt{3}}$ и $y = \frac{1}{x}$, чтобы определить пределы интегрирования.
$x^{\sqrt{3}} = \frac{1}{x} \implies x^{\sqrt{3}} \cdot x = 1 \implies x^{\sqrt{3}+1} = 1$.
Отсюда следует, что $x=1$ (при $x>0$). Таким образом, фигура ограничена вертикальными прямыми $x=\frac{1}{2}$ и $x=1$.
На интервале $[\frac{1}{2}, 1]$ сравним значения функций. Для любого $x \in (0, 1)$ и $a > b$, выполняется неравенство $x^a < x^b$. Так как $\sqrt{3} \approx 1.732$ и $y=\frac{1}{x}=x^{-1}$, имеем $\sqrt{3} > -1$. Следовательно, на интервале $[\frac{1}{2}, 1]$ выполняется $x^{\sqrt{3}} < x^{-1}$, то есть график функции $y=\frac{1}{x}$ лежит выше графика $y=x^{\sqrt{3}}$.
Площадь фигуры вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций:
$S = \int_{1/2}^1 \left(\frac{1}{x} - x^{\sqrt{3}}\right) \,dx$
Вычисляем интеграл:
$S = \left[ \ln|x| - \frac{x^{\sqrt{3}+1}}{\sqrt{3}+1} \right]_{1/2}^1 = \left(\ln(1) - \frac{1^{\sqrt{3}+1}}{\sqrt{3}+1}\right) - \left(\ln\left(\frac{1}{2}\right) - \frac{(\frac{1}{2})^{\sqrt{3}+1}}{\sqrt{3}+1}\right)$
$S = \left(0 - \frac{1}{\sqrt{3}+1}\right) - \left(-\ln(2) - \frac{(1/2)^{\sqrt{3}+1}}{\sqrt{3}+1}\right) = \ln(2) - \frac{1}{\sqrt{3}+1} + \frac{(1/2)^{\sqrt{3}+1}}{\sqrt{3}+1}$
$S = \ln(2) - \frac{1 - (1/2)^{\sqrt{3}+1}}{\sqrt{3}+1} = \ln(2) - \frac{1 - 2^{-(\sqrt{3}+1)}}{\sqrt{3}+1}$.
Ответ: $\ln(2) - \frac{1 - 2^{-(\sqrt{3}+1)}}{\sqrt{3}+1}$.

в) Фигура ограничена графиком функции $y = x^{-0.8}$, осью абсцисс $y=0$ и вертикальными прямыми $x=1$ и $x=32$. На интервале $[1, 32]$ функция $y=x^{-0.8}$ положительна, так как основание $x$ положительно.
Площадь фигуры вычисляется как определенный интеграл:
$S = \int_1^{32} x^{-0.8} \,dx$
Используем формулу интегрирования степенной функции $\int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$. Здесь $n=-0.8$, поэтому $n+1 = 0.2$.
$S = \left[ \frac{x^{-0.8+1}}{-0.8+1} \right]_1^{32} = \left[ \frac{x^{0.2}}{0.2} \right]_1^{32} = \left[ 5x^{0.2} \right]_1^{32}$
Подставляем пределы интегрирования:
$S = 5 \cdot 32^{0.2} - 5 \cdot 1^{0.2}$
Так как $0.2 = \frac{1}{5}$, то $32^{0.2} = 32^{1/5} = \sqrt[5]{32} = 2$. Также $1^{0.2} = 1$.
$S = 5 \cdot 2 - 5 \cdot 1 = 10 - 5 = 5$.
Ответ: 5.

г) Фигура ограничена графиком функции $y = \frac{1}{x}$ (гипербола), осью абсцисс $y=0$ и вертикальными прямыми $x=3$ и $x=5$. На интервале $[3, 5]$ функция $y = \frac{1}{x}$ положительна.
Площадь фигуры вычисляется как определенный интеграл:
$S = \int_3^5 \frac{1}{x} \,dx$
Интеграл от $\frac{1}{x}$ равен натуральному логарифму: $\int \frac{1}{x} \,dx = \ln|x| + C$.
$S = \left[ \ln|x| \right]_3^5 = \ln(5) - \ln(3)$
Используя свойство логарифмов $\ln a - \ln b = \ln \frac{a}{b}$, получаем:
$S = \ln\left(\frac{5}{3}\right)$.
Ответ: $\ln\left(\frac{5}{3}\right)$.

566.— На миллиметровой бумаге постройте графики функций $y = \sqrt{x}, y = \sqrt[3]{x}, y = \sqrt[4]{x} (x \geq 0)$.

1) Найдите с помощью графика приближенные значения:

а) $\sqrt{2}, \sqrt[3]{3}$; б) $\sqrt{3}, \sqrt[4]{2,5}$; в) $\sqrt[3]{2,5}, \sqrt[4]{3}$; г) $\sqrt{2,5}, \sqrt[4]{2}$;

2) Найдите значения этих корней с помощью калькулятора.

3) Вычислите их приближенные значения, пользуясь формулой (4). Указание:

$2,5 = 1,6^2 - 0,06$; $2,5 = 1,3^3 + 0,303$; $2,5 = 1,25^4 + \frac{15}{256}$; $2 = 1,4^2 + 0,04$; $3 = 1,4^3 + 0,256$;

$3 = 1,3^4 - 0,1439$.

4) Сравните полученные результаты.

Для решения задачи сначала построим на миллиметровой бумаге графики функций $y=\sqrt{x}$, $y=\sqrt[3]{x}$ и $y=\sqrt[4]{x}$ для $x \ge 0$. Для этого составим таблицу значений для каждой функции:

Для $y=\sqrt{x}$:

x: 0, 0.25, 1, 2, 2.5, 3, 4

y: 0, 0.5, 1, 1.41, 1.58, 1.73, 2

Для $y=\sqrt[3]{x}$:

x: 0, 0.125, 1, 2, 2.5, 3, 4

y: 0, 0.5, 1, 1.26, 1.36, 1.44, 1.59

Для $y=\sqrt[4]{x}$:

x: 0, 0.0625, 1, 2, 2.5, 3, 4

y: 0, 0.5, 1, 1.19, 1.26, 1.32, 1.41

Все три графика проходят через точки (0, 0) и (1, 1). При $x > 1$ график $y=\sqrt{x}$ лежит выше остальных, а $y=\sqrt[4]{x}$ — ниже. При $0 < x < 1$ расположение графиков обратное. Используя эти построенные графики, выполним задания.

1) Найдём приближенные значения с помощью графиков. Для этого находим на оси Ox нужное значение, проводим вертикальную линию до пересечения с соответствующим графиком, а затем горизонтальную линию от точки пересечения до оси Oy.

а) Для нахождения $\sqrt{2}$ используем график $y=\sqrt{x}$. На оси Ox находим $x=2$ и по графику определяем соответствующее значение y. Получаем $\sqrt{2} \approx 1.4$. Для $\sqrt[3]{3}$ используем график $y=\sqrt[3]{x}$. На оси Ox находим $x=3$ и по графику определяем y. Получаем $\sqrt[3]{3} \approx 1.45$.

б) Для $\sqrt{3}$ используем график $y=\sqrt{x}$. При $x=3$ получаем $\sqrt{3} \approx 1.7$. Для $\sqrt[4]{2.5}$ используем график $y=\sqrt[4]{x}$. При $x=2.5$ получаем $\sqrt[4]{2.5} \approx 1.25$.

в) Для $\sqrt[3]{2.5}$ используем график $y=\sqrt[3]{x}$. При $x=2.5$ получаем $\sqrt[3]{2.5} \approx 1.35$. Для $\sqrt[4]{3}$ используем график $y=\sqrt[4]{x}$. При $x=3$ получаем $\sqrt[4]{3} \approx 1.3$.

г) Для $\sqrt{2.5}$ используем график $y=\sqrt{x}$. При $x=2.5$ получаем $\sqrt{2.5} \approx 1.6$. Для $\sqrt[4]{2}$ используем график $y=\sqrt[4]{x}$. При $x=2$ получаем $\sqrt[4]{2} \approx 1.2$.

Ответ: а) $\sqrt{2} \approx 1.4$, $\sqrt[3]{3} \approx 1.45$; б) $\sqrt{3} \approx 1.7$, $\sqrt[4]{2.5} \approx 1.25$; в) $\sqrt[3]{2.5} \approx 1.35$, $\sqrt[4]{3} \approx 1.3$; г) $\sqrt{2.5} \approx 1.6$, $\sqrt[4]{2} \approx 1.2$.

2) Найдём значения этих корней с помощью калькулятора (округляя до трёх знаков после запятой):

а) $\sqrt{2} \approx 1.414$; $\sqrt[3]{3} \approx 1.442$

б) $\sqrt{3} \approx 1.732$; $\sqrt[4]{2.5} \approx 1.257$

в) $\sqrt[3]{2.5} \approx 1.357$; $\sqrt[4]{3} \approx 1.316$

г) $\sqrt{2.5} \approx 1.581$; $\sqrt[4]{2} \approx 1.189$

Ответ: а) $\sqrt{2} \approx 1.414$, $\sqrt[3]{3} \approx 1.442$; б) $\sqrt{3} \approx 1.732$, $\sqrt[4]{2.5} \approx 1.257$; в) $\sqrt[3]{2.5} \approx 1.357$, $\sqrt[4]{3} \approx 1.316$; г) $\sqrt{2.5} \approx 1.581$, $\sqrt[4]{2} \approx 1.189$.

3) Вычислим приближенные значения, пользуясь формулой (4), которая является формулой приближенного вычисления с помощью дифференциала: $f(x_0+\Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0)\Delta x$. Для функции $f(x)=\sqrt[n]{x}$ эта формула имеет вид: $\sqrt[n]{x_0 + \Delta x} \approx \sqrt[n]{x_0} + \frac{1}{n\sqrt[n]{x_0^{n-1}}}\Delta x$.

а) $\sqrt{2}$. Используем указание $2 = 1.4^2 + 0.04$. Здесь $x_0=1.4^2=1.96$, $\Delta x=0.04$, $n=2$.

$\sqrt{2} = \sqrt{1.96+0.04} \approx \sqrt{1.96} + \frac{0.04}{2\sqrt{1.96}} = 1.4 + \frac{0.04}{2 \cdot 1.4} = 1.4 + \frac{0.04}{2.8} \approx 1.4 + 0.01428 \approx 1.4143$.

$\sqrt[3]{3}$. Используем указание $3 = 1.4^3 + 0.256$. Здесь $x_0=1.4^3=2.744$, $\Delta x=0.256$, $n=3$.

$\sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{2.744+0.256} \approx \sqrt[3]{2.744} + \frac{0.256}{3\cdot(\sqrt[3]{2.744})^2} = 1.4 + \frac{0.256}{3 \cdot 1.4^2} = 1.4 + \frac{0.256}{5.88} \approx 1.4 + 0.04354 \approx 1.4435$.

б) $\sqrt{3}$. Указания нет. Возьмем $x_0=1.7^2=2.89$, тогда $\Delta x = 3-2.89 = 0.11$, $n=2$.

$\sqrt{3} = \sqrt{2.89+0.11} \approx \sqrt{2.89} + \frac{0.11}{2\sqrt{2.89}} = 1.7 + \frac{0.11}{2 \cdot 1.7} = 1.7 + \frac{0.11}{3.4} \approx 1.7 + 0.03235 \approx 1.7324$.

$\sqrt[4]{2.5}$. Используем указание $2.5 = 1.25^4 + \frac{15}{256}$. Здесь $x_0=1.25^4$, $\Delta x = \frac{15}{256}$, $n=4$.

$\sqrt[4]{2.5} \approx \sqrt[4]{1.25^4} + \frac{15/256}{4\cdot(\sqrt[4]{1.25^4})^3} = 1.25 + \frac{15/256}{4 \cdot 1.25^3} = 1.25 + \frac{15/256}{4 \cdot (5/4)^3} = 1.25 + \frac{15/256}{4 \cdot 125/64} = 1.25 + \frac{15/256}{500/64} = 1.25 + \frac{15}{256} \cdot \frac{64}{500} = 1.25 + \frac{15}{4 \cdot 500} = 1.25 + \frac{3}{400} = 1.25 + 0.0075 = 1.2575$.

в) $\sqrt[3]{2.5}$. Используем указание $2.5 = 1.3^3 + 0.303$. Здесь $x_0=1.3^3=2.197$, $\Delta x=0.303$, $n=3$.

$\sqrt[3]{2.5} \approx \sqrt[3]{2.197} + \frac{0.303}{3\cdot(\sqrt[3]{2.197})^2} = 1.3 + \frac{0.303}{3 \cdot 1.3^2} = 1.3 + \frac{0.303}{5.07} \approx 1.3 + 0.05976 \approx 1.3598$.

$\sqrt[4]{3}$. Указание $3 = 1.3^4 - 0.1439$ содержит опечатку, т.к. $1.3^4 - 0.1439 \approx 2.8561 - 0.1439 = 2.7122 \ne 3$. Вероятно, имелось в виду $3 = 1.3^4 + 0.1439$. Тогда $x_0=1.3^4=2.8561$, $\Delta x=0.1439$, $n=4$.

$\sqrt[4]{3} \approx \sqrt[4]{2.8561} + \frac{0.1439}{4\cdot(\sqrt[4]{2.8561})^3} = 1.3 + \frac{0.1439}{4 \cdot 1.3^3} = 1.3 + \frac{0.1439}{4 \cdot 2.197} = 1.3 + \frac{0.1439}{8.788} \approx 1.3 + 0.01637 \approx 1.3164$.

г) $\sqrt{2.5}$. Используем указание $2.5 = 1.6^2 - 0.06$. Здесь $x_0=1.6^2=2.56$, $\Delta x=-0.06$, $n=2$.

$\sqrt{2.5} = \sqrt{2.56-0.06} \approx \sqrt{2.56} + \frac{-0.06}{2\sqrt{2.56}} = 1.6 - \frac{0.06}{2 \cdot 1.6} = 1.6 - \frac{0.06}{3.2} = 1.6 - 0.01875 = 1.58125$.

$\sqrt[4]{2}$. Указания нет. Возьмем $x_0=1.2^4=2.0736$, тогда $\Delta x = 2 - 2.0736 = -0.0736$, $n=4$.

$\sqrt[4]{2} \approx \sqrt[4]{2.0736} + \frac{-0.0736}{4\cdot(\sqrt[4]{2.0736})^3} = 1.2 - \frac{0.0736}{4 \cdot 1.2^3} = 1.2 - \frac{0.0736}{4 \cdot 1.728} = 1.2 - \frac{0.0736}{6.912} \approx 1.2 - 0.01066 \approx 1.1893$.

Ответ: а) $\sqrt{2} \approx 1.4143$, $\sqrt[3]{3} \approx 1.4435$; б) $\sqrt{3} \approx 1.7324$, $\sqrt[4]{2.5} \approx 1.2575$; в) $\sqrt[3]{2.5} \approx 1.3598$, $\sqrt[4]{3} \approx 1.3164$; г) $\sqrt{2.5} \approx 1.5813$, $\sqrt[4]{2} \approx 1.1893$.

4) Сравним полученные результаты.

Сведём все результаты в одну таблицу для наглядности (значения округлены до 3-4 знаков).

Корень | По графику | По формуле | На калькуляторе

---|---|---|---

$\sqrt{2}$ | $\approx 1.4$ | $\approx 1.4143$ | $\approx 1.4142$

$\sqrt[3]{3}$ | $\approx 1.45$ | $\approx 1.4435$ | $\approx 1.4422$

$\sqrt{3}$ | $\approx 1.7$ | $\approx 1.7324$ | $\approx 1.7321$

$\sqrt[4]{2.5}$ | $\approx 1.25$ | $\approx 1.2575$ | $\approx 1.2574$

$\sqrt[3]{2.5}$ | $\approx 1.35$ | $\approx 1.3598$ | $\approx 1.3572$

$\sqrt[4]{3}$ | $\approx 1.3$ | $\approx 1.3164$ | $\approx 1.3161$

$\sqrt{2.5}$ | $\approx 1.6$ | $\approx 1.5813$ | $\approx 1.5811$

$\sqrt[4]{2}$ | $\approx 1.2$ | $\approx 1.1893$ | $\approx 1.1892$

Из сравнения видно, что:

1. Графический метод даёт самую грубую оценку. Точность зависит от масштаба и аккуратности построения графика, обычно погрешность составляет около 5-10%.

2. Метод вычисления по формуле (линейное приближение) даёт очень высокую точность. Результаты, полученные по формуле, практически совпадают со значениями с калькулятора, расхождения наблюдаются в третьем или четвертом знаке после запятой. Это говорит о высокой эффективности данного метода для малых $\Delta x$.

3. Значения с калькулятора принимаются за эталонные (наиболее точные) для данного сравнения.

Ответ: Графический метод является оценочным и наименее точным. Вычисление по формуле приближения даёт результат, очень близкий к значению, полученному на калькуляторе, что подтверждает его высокую точность при правильном выборе начального приближения $x_0$.

567. Верно ли, что функция $f(x) = x^{\sqrt{5}}$ обладает свойством:

а) в области определения можно найти отрезок, на концах которого функция принимает значения разных знаков;

б) является четной;

в) имеет экстремумы;

г) существует точка $x_0$, в которой функция принимает наименьшее значение?

Проанализируем функцию $f(x) = x^{\sqrt{5}}$. Показатель степени $\sqrt{5}$ является иррациональным числом, большим 1 ( $\sqrt{5} \approx 2.236$ ). По определению степенной функции с иррациональным показателем, ее область определения для действительных чисел — это $x \ge 0$. Таким образом, область определения функции $D(f) = [0, \infty)$.

а) в области определения можно найти отрезок, на концах которого функция принимает значения разных знаков
Для любого $x$ из области определения $[0, \infty)$ значение функции $f(x) = x^{\sqrt{5}} \ge 0$. В частности, $f(0) = 0$, а для любого $x > 0$, $f(x) > 0$. Таким образом, функция никогда не принимает отрицательных значений. Следовательно, невозможно найти отрезок $[a, b]$, на концах которого, $f(a)$ и $f(b)$, имели бы разные знаки (одно положительное, другое отрицательное).
Ответ: нет, неверно.

б) является четной
Функция называется четной, если ее область определения симметрична относительно нуля и для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. Область определения нашей функции — $D(f) = [0, \infty)$, которая не является симметричной относительно нуля (например, точка $x=1$ принадлежит области определения, а точка $x=-1$ — нет). Следовательно, функция не является четной.
Ответ: нет, неверно.

в) имеет экстремумы
Экстремум — это максимальное или минимальное значение функции. Найдем производную функции: $f'(x) = (\,x^{\sqrt{5}})' = \sqrt{5}x^{\sqrt{5}-1}$. Поскольку $\sqrt{5}-1 \approx 1.236 > 0$, производная $f'(x) > 0$ для всех $x \in (0, \infty)$. Это означает, что функция строго возрастает на всей своей области определения $[0, \infty)$. На границе области определения в точке $x=0$ значение функции $f(0)=0$. Для любого $x > 0$, так как функция возрастает, $f(x) > f(0)$. Следовательно, в точке $x=0$ функция достигает своего локального и абсолютного минимума. Таким образом, функция имеет экстремум.
Ответ: да, верно.

г) существует точка $x_0$, в которой функция принимает наименьшее значение?
Как было показано в пункте (в), функция $f(x)$ является строго возрастающей на своей области определения $[0, \infty)$. Ее наименьшее значение достигается в левой крайней точке области определения, то есть в точке $x_0 = 0$. Это наименьшее значение равно $f(0) = 0$. Для любого другого $x > 0$ из области определения будет выполняться неравенство $f(x) > f(0)$.
Ответ: да, верно.