Номер 567, страница 262 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 11. Производная показательной и логарифмической функций - номер 567, страница 262.

Условие.

567. Верно ли, что функция $f(x) = x^{\sqrt{5}}$ обладает свойством:

а) в области определения можно найти отрезок, на концах которого функция принимает значения разных знаков;

б) является четной;

в) имеет экстремумы;

г) существует точка $x_0$, в которой функция принимает наименьшее значение?

Решение 1.

Решение 5.

Проанализируем функцию $f(x) = x^{\sqrt{5}}$. Показатель степени $\sqrt{5}$ является иррациональным числом, большим 1 ( $\sqrt{5} \approx 2.236$ ). По определению степенной функции с иррациональным показателем, ее область определения для действительных чисел — это $x \ge 0$. Таким образом, область определения функции $D(f) = [0, \infty)$.

а) в области определения можно найти отрезок, на концах которого функция принимает значения разных знаков
Для любого $x$ из области определения $[0, \infty)$ значение функции $f(x) = x^{\sqrt{5}} \ge 0$. В частности, $f(0) = 0$, а для любого $x > 0$, $f(x) > 0$. Таким образом, функция никогда не принимает отрицательных значений. Следовательно, невозможно найти отрезок $[a, b]$, на концах которого, $f(a)$ и $f(b)$, имели бы разные знаки (одно положительное, другое отрицательное).
Ответ: нет, неверно.

б) является четной
Функция называется четной, если ее область определения симметрична относительно нуля и для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. Область определения нашей функции — $D(f) = [0, \infty)$, которая не является симметричной относительно нуля (например, точка $x=1$ принадлежит области определения, а точка $x=-1$ — нет). Следовательно, функция не является четной.
Ответ: нет, неверно.

в) имеет экстремумы
Экстремум — это максимальное или минимальное значение функции. Найдем производную функции: $f'(x) = (\,x^{\sqrt{5}})' = \sqrt{5}x^{\sqrt{5}-1}$. Поскольку $\sqrt{5}-1 \approx 1.236 > 0$, производная $f'(x) > 0$ для всех $x \in (0, \infty)$. Это означает, что функция строго возрастает на всей своей области определения $[0, \infty)$. На границе области определения в точке $x=0$ значение функции $f(0)=0$. Для любого $x > 0$, так как функция возрастает, $f(x) > f(0)$. Следовательно, в точке $x=0$ функция достигает своего локального и абсолютного минимума. Таким образом, функция имеет экстремум.
Ответ: да, верно.

г) существует точка $x_0$, в которой функция принимает наименьшее значение?
Как было показано в пункте (в), функция $f(x)$ является строго возрастающей на своей области определения $[0, \infty)$. Ее наименьшее значение достигается в левой крайней точке области определения, то есть в точке $x_0 = 0$. Это наименьшее значение равно $f(0) = 0$. Для любого другого $x > 0$ из области определения будет выполняться неравенство $f(x) > f(0)$.
Ответ: да, верно.