Номер 567, страница 262 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 11. Производная показательной и логарифмической функций. Глава 4. Показательная и логарифмическая функции - номер 567, страница 262.
№567 (с. 262)
Условие. №567 (с. 262)
скриншот условия

567. Верно ли, что функция $f(x) = x^{\sqrt{5}}$ обладает свойством:
а) в области определения можно найти отрезок, на концах которого функция принимает значения разных знаков;
б) является четной;
в) имеет экстремумы;
г) существует точка $x_0$, в которой функция принимает наименьшее значение?
Решение 1. №567 (с. 262)

Решение 5. №567 (с. 262)
Проанализируем функцию $f(x) = x^{\sqrt{5}}$. Показатель степени $\sqrt{5}$ является иррациональным числом, большим 1 ( $\sqrt{5} \approx 2.236$ ). По определению степенной функции с иррациональным показателем, ее область определения для действительных чисел — это $x \ge 0$. Таким образом, область определения функции $D(f) = [0, \infty)$.
а) в области определения можно найти отрезок, на концах которого функция принимает значения разных знаков
Для любого $x$ из области определения $[0, \infty)$ значение функции $f(x) = x^{\sqrt{5}} \ge 0$. В частности, $f(0) = 0$, а для любого $x > 0$, $f(x) > 0$. Таким образом, функция никогда не принимает отрицательных значений. Следовательно, невозможно найти отрезок $[a, b]$, на концах которого, $f(a)$ и $f(b)$, имели бы разные знаки (одно положительное, другое отрицательное).
Ответ: нет, неверно.
б) является четной
Функция называется четной, если ее область определения симметрична относительно нуля и для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. Область определения нашей функции — $D(f) = [0, \infty)$, которая не является симметричной относительно нуля (например, точка $x=1$ принадлежит области определения, а точка $x=-1$ — нет). Следовательно, функция не является четной.
Ответ: нет, неверно.
в) имеет экстремумы
Экстремум — это максимальное или минимальное значение функции. Найдем производную функции: $f'(x) = (\,x^{\sqrt{5}})' = \sqrt{5}x^{\sqrt{5}-1}$. Поскольку $\sqrt{5}-1 \approx 1.236 > 0$, производная $f'(x) > 0$ для всех $x \in (0, \infty)$. Это означает, что функция строго возрастает на всей своей области определения $[0, \infty)$. На границе области определения в точке $x=0$ значение функции $f(0)=0$. Для любого $x > 0$, так как функция возрастает, $f(x) > f(0)$. Следовательно, в точке $x=0$ функция достигает своего локального и абсолютного минимума. Таким образом, функция имеет экстремум.
Ответ: да, верно.
г) существует точка $x_0$, в которой функция принимает наименьшее значение?
Как было показано в пункте (в), функция $f(x)$ является строго возрастающей на своей области определения $[0, \infty)$. Ее наименьшее значение достигается в левой крайней точке области определения, то есть в точке $x_0 = 0$. Это наименьшее значение равно $f(0) = 0$. Для любого другого $x > 0$ из области определения будет выполняться неравенство $f(x) > f(0)$.
Ответ: да, верно.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 567 расположенного на странице 262 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №567 (с. 262), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.