Номер 571, страница 268 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 11. Производная показательной и логарифмической функций. Глава 4. Показательная и логарифмическая функции - номер 571, страница 268.

Условие.

571. Докажите, что функция $y = 3e^{-7x}$ удовлетворяет уравнению $y' = -7y$.

Решение 1.

Решение 5.

Для того чтобы доказать, что функция $y = 3e^{-7x}$ удовлетворяет дифференциальному уравнению $y' = -7y$, необходимо найти производную данной функции и подставить ее и саму функцию в уравнение.

1. Найдем производную функции $y = 3e^{-7x}$

Используем правило дифференцирования сложной функции. Производная показательной функции $(e^{u})'$ равна $e^u \cdot u'$. В нашем случае, $u = -7x$, и производная внутренней функции $u' = -7$.

$y' = (3e^{-7x})' = 3 \cdot (e^{-7x})' = 3 \cdot e^{-7x} \cdot (-7x)' = 3 \cdot e^{-7x} \cdot (-7) = -21e^{-7x}$.

2. Подставим найденную производную $y'$ и исходную функцию $y$ в уравнение $y' = -7y$

Подставляем выражения в левую и правую части уравнения, чтобы проверить, выполняется ли равенство.

Левая часть уравнения: $y' = -21e^{-7x}$.

Правая часть уравнения: $-7y = -7 \cdot (3e^{-7x}) = -21e^{-7x}$.

3. Сравним левую и правую части

$-21e^{-7x} = -21e^{-7x}$.

Мы получили верное тождество. Это означает, что функция $y = 3e^{-7x}$ является решением данного дифференциального уравнения.

Ответ: Что и требовалось доказать.