Номер 576, страница 268 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 11. Производная показательной и логарифмической функций - номер 576, страница 268.

Условие.

576.-

К началу радиоактивного распада имели 1 г радия А. Через сколько минут его останется 0,125 г, если его период полураспада равен 3 мин?

Решение 1.

Решение 5.

Для решения этой задачи используется закон радиоактивного распада. Этот закон описывает, как со временем уменьшается количество радиоактивного вещества.

Способ 1: Использование формулы

Формула закона радиоактивного распада имеет вид:$m = m_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}}$где:

• $m$ – масса вещества, оставшаяся после распада;
• $m_0$ – начальная масса вещества;
• $t$ – время распада;
• $T$ – период полураспада.

Согласно условиям задачи:

• $m_0 = 1$ г
• $m = 0,125$ г
• $T = 3$ мин

Подставим эти значения в формулу, чтобы найти время $t$:$0,125 = 1 \cdot 2^{-\frac{t}{3}}$

Сначала преобразуем десятичную дробь 0,125 в обыкновенную, а затем в степень с основанием 2:$0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}$

Теперь уравнение выглядит так:$2^{-3} = 2^{-\frac{t}{3}}$

Так как основания степеней одинаковы, мы можем приравнять их показатели:$-3 = -\frac{t}{3}$

Умножим обе части уравнения на $-3$:$t = (-3) \cdot (-3) = 9$

Таким образом, время распада составляет 9 минут.

Способ 2: Логический расчет

Период полураспада – это время, за которое количество вещества уменьшается вдвое. Рассчитаем массу радия после каждого периода полураспада.

• Начальная масса: 1 г.
• После первого периода полураспада (через 3 мин): масса уменьшится в 2 раза и станет $1 / 2 = 0,5$ г.
• После второго периода полураспада (через 3 + 3 = 6 мин): масса снова уменьшится в 2 раза и станет $0,5 / 2 = 0,25$ г.
• После третьего периода полураспада (через 6 + 3 = 9 мин): масса вновь уменьшится в 2 раза и станет $0,25 / 2 = 0,125$ г.

Мы получили требуемую массу 0,125 г. Это произошло через 3 периода полураспада. Общее время составляет $3 \cdot 3 = 9$ минут.

Ответ: через 9 минут его останется 0,125 г.