Номер 575, страница 268 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 11. Производная показательной и логарифмической функций. Глава 4. Показательная и логарифмическая функции - номер 575, страница 268.

Условие.

575.-

От $m$ миллиграммов радия $C$ через $t$ минут радиоактивного распада осталось $n$ миллиграммов. Найдите период полураспада радия $C$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

Закон радиоактивного распада описывает, как количество радиоактивного вещества уменьшается со временем. Этот процесс подчиняется экспоненциальному закону. Формула, связывающая начальное и конечное количество вещества с периодом полураспада, выглядит следующим образом:

$N(t) = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}$

где $N(t)$ — количество вещества, оставшееся через время $t$; $N_0$ — начальное количество вещества; $t$ — прошедшее время; $T$ — период полураспада, то есть время, за которое количество вещества уменьшается вдвое.

В условиях данной задачи нам дано: начальное количество радия $N_0 = m$ миллиграммов; количество радия, оставшееся через $t$ минут, $N(t) = n$ миллиграммов; время распада составляет $t$ минут. Нам необходимо найти период полураспада $T$.

Подставим известные значения в формулу закона радиоактивного распада:

$n = m \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}$

Для того чтобы найти $T$, необходимо решить это уравнение относительно этой переменной. Сначала разделим обе части уравнения на $m$ (поскольку $m > n > 0$, деление на $m$ корректно):

$\frac{n}{m} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}$

Чтобы выделить показатель степени $\frac{t}{T}$, прологарифмируем обе части уравнения. Можно использовать логарифм по любому основанию, но наиболее удобным является натуральный логарифм ($\ln$).

$\ln\left(\frac{n}{m}\right) = \ln\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}\right)$

Воспользуемся свойством логарифма $\ln(a^b) = b \cdot \ln(a)$:

$\ln\left(\frac{n}{m}\right) = \frac{t}{T} \cdot \ln\left(\frac{1}{2}\right)$

Используя свойства логарифмов $\ln\left(\frac{1}{2}\right) = \ln(1) - \ln(2) = -\ln(2)$ и $\ln\left(\frac{n}{m}\right) = - \ln\left(\frac{m}{n}\right)$, преобразуем уравнение:

$-\ln\left(\frac{m}{n}\right) = \frac{t}{T} \cdot (-\ln(2))$

Умножим обе части на $-1$, чтобы избавиться от знаков минуса:

$\ln\left(\frac{m}{n}\right) = \frac{t}{T} \cdot \ln(2)$

Теперь выразим искомую величину $T$. Для этого умножим обе части на $T$ и разделим на $\ln\left(\frac{m}{n}\right)$:

$T \cdot \ln\left(\frac{m}{n}\right) = t \cdot \ln(2)$

$T = \frac{t \cdot \ln(2)}{\ln\left(\frac{m}{n}\right)}$

Эту формулу можно также записать, используя свойство логарифма частного $\ln(a/b) = \ln(a) - \ln(b)$:

$T = \frac{t \cdot \ln(2)}{\ln(m) - \ln(n)}$

Так как время $t$ было дано в минутах, то и период полураспада $T$ будет выражен в минутах.

Ответ: $T = \frac{t \cdot \ln 2}{\ln(m/n)}$ минут.