Номер 572, страница 268 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 11. Производная показательной и логарифмической функций. Глава 4. Показательная и логарифмическая функции - номер 572, страница 268.
№572 (с. 268)
Условие. №572 (с. 268)
скриншот условия

572. Найдите какое-нибудь отличное от нуля решение дифференциального уравнения:
a) $y'' = -25y$;
б) $\frac{1}{9} y'' + 4y = 0$;
в) $4y'' + 16y = 0$;
г) $y'' = -\frac{1}{4} y.$
Решение 1. №572 (с. 268)


Решение 3. №572 (с. 268)

Решение 5. №572 (с. 268)
Все представленные уравнения являются линейными однородными дифференциальными уравнениями второго порядка с постоянными коэффициентами вида $y'' + \omega^2 y = 0$. Общее решение таких уравнений имеет вид $y(x) = C_1 \cos(\omega x) + C_2 \sin(\omega x)$. Для нахождения какого-либо ненулевого решения достаточно определить $\omega$ и выбрать ненулевые константы $C_1$ или $C_2$. В качестве примеров будем использовать частные решения, где одна из констант равна 1, а другая — 0.
а) $y'' = -25y$
Перепишем уравнение в стандартном виде $y'' + \omega^2 y = 0$:
$y'' + 25y = 0$
Отсюда квадрат угловой частоты $\omega^2 = 25$, следовательно, $\omega = 5$.
Общее решение: $y(x) = C_1 \cos(5x) + C_2 \sin(5x)$.
Выберем в качестве частного ненулевого решения $y = \sin(5x)$. Проверим его, найдя вторую производную:
$y' = 5\cos(5x)$
$y'' = -25\sin(5x)$
Подставляя в исходное уравнение, получаем верное тождество:
$-25\sin(5x) = -25 \cdot (\sin(5x))$
Ответ: $y = \sin(5x)$
б) $\frac{1}{9}y'' + 4y = 0$
Приведем уравнение к стандартному виду, умножив обе части на 9:
$y'' + 36y = 0$
Здесь $\omega^2 = 36$, значит $\omega = 6$.
Общее решение: $y(x) = C_1 \cos(6x) + C_2 \sin(6x)$.
Возьмем в качестве частного решения $y = \cos(6x)$. Его производные:
$y' = -6\sin(6x)$
$y'' = -36\cos(6x)$
Подставим в исходное уравнение:
$\frac{1}{9}(-36\cos(6x)) + 4(\cos(6x)) = -4\cos(6x) + 4\cos(6x) = 0$
Решение верное.
Ответ: $y = \cos(6x)$
в) $4y'' + 16y = 0$
Разделим обе части уравнения на 4, чтобы привести его к стандартному виду:
$y'' + 4y = 0$
Отсюда $\omega^2 = 4$, и $\omega = 2$.
Общее решение: $y(x) = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x)$.
Выберем в качестве частного решения $y = \sin(2x)$. Найдем производные:
$y' = 2\cos(2x)$
$y'' = -4\sin(2x)$
Проверим подстановкой в исходное уравнение:
$4(-4\sin(2x)) + 16(\sin(2x)) = -16\sin(2x) + 16\sin(2x) = 0$
Решение верное.
Ответ: $y = \sin(2x)$
г) $y'' = -\frac{1}{4}y$
Перепишем уравнение в стандартном виде:
$y'' + \frac{1}{4}y = 0$
Здесь $\omega^2 = \frac{1}{4}$, следовательно, $\omega = \frac{1}{2}$.
Общее решение: $y(x) = C_1 \cos(\frac{x}{2}) + C_2 \sin(\frac{x}{2})$.
Возьмем в качестве частного решения $y = \cos(\frac{x}{2})$. Его производные:
$y' = -\frac{1}{2}\sin(\frac{x}{2})$
$y'' = -\frac{1}{4}\cos(\frac{x}{2})$
Подставим в исходное уравнение:
$-\frac{1}{4}\cos(\frac{x}{2}) = -\frac{1}{4} \cdot (\cos(\frac{x}{2}))$
Решение верное.
Ответ: $y = \cos(\frac{x}{2})$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 572 расположенного на странице 268 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №572 (с. 268), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.