Номер 572, страница 268 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 11. Производная показательной и логарифмической функций - номер 572, страница 268.

Условие.

572. Найдите какое-нибудь отличное от нуля решение дифференциального уравнения:

a) $y'' = -25y$;

б) $\frac{1}{9} y'' + 4y = 0$;

в) $4y'' + 16y = 0$;

г) $y'' = -\frac{1}{4} y.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

Все представленные уравнения являются линейными однородными дифференциальными уравнениями второго порядка с постоянными коэффициентами вида $y'' + \omega^2 y = 0$. Общее решение таких уравнений имеет вид $y(x) = C_1 \cos(\omega x) + C_2 \sin(\omega x)$. Для нахождения какого-либо ненулевого решения достаточно определить $\omega$ и выбрать ненулевые константы $C_1$ или $C_2$. В качестве примеров будем использовать частные решения, где одна из констант равна 1, а другая — 0.

а) $y'' = -25y$

Перепишем уравнение в стандартном виде $y'' + \omega^2 y = 0$:

$y'' + 25y = 0$

Отсюда квадрат угловой частоты $\omega^2 = 25$, следовательно, $\omega = 5$.

Общее решение: $y(x) = C_1 \cos(5x) + C_2 \sin(5x)$.

Выберем в качестве частного ненулевого решения $y = \sin(5x)$. Проверим его, найдя вторую производную:

$y' = 5\cos(5x)$

$y'' = -25\sin(5x)$

Подставляя в исходное уравнение, получаем верное тождество:

$-25\sin(5x) = -25 \cdot (\sin(5x))$

Ответ: $y = \sin(5x)$

б) $\frac{1}{9}y'' + 4y = 0$

Приведем уравнение к стандартному виду, умножив обе части на 9:

$y'' + 36y = 0$

Здесь $\omega^2 = 36$, значит $\omega = 6$.

Общее решение: $y(x) = C_1 \cos(6x) + C_2 \sin(6x)$.

Возьмем в качестве частного решения $y = \cos(6x)$. Его производные:

$y' = -6\sin(6x)$

$y'' = -36\cos(6x)$

Подставим в исходное уравнение:

$\frac{1}{9}(-36\cos(6x)) + 4(\cos(6x)) = -4\cos(6x) + 4\cos(6x) = 0$

Решение верное.

Ответ: $y = \cos(6x)$

в) $4y'' + 16y = 0$

Разделим обе части уравнения на 4, чтобы привести его к стандартному виду:

$y'' + 4y = 0$

Отсюда $\omega^2 = 4$, и $\omega = 2$.

Общее решение: $y(x) = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x)$.

Выберем в качестве частного решения $y = \sin(2x)$. Найдем производные:

$y' = 2\cos(2x)$

$y'' = -4\sin(2x)$

Проверим подстановкой в исходное уравнение:

$4(-4\sin(2x)) + 16(\sin(2x)) = -16\sin(2x) + 16\sin(2x) = 0$

Решение верное.

Ответ: $y = \sin(2x)$

г) $y'' = -\frac{1}{4}y$

Перепишем уравнение в стандартном виде:

$y'' + \frac{1}{4}y = 0$

Здесь $\omega^2 = \frac{1}{4}$, следовательно, $\omega = \frac{1}{2}$.

Общее решение: $y(x) = C_1 \cos(\frac{x}{2}) + C_2 \sin(\frac{x}{2})$.

Возьмем в качестве частного решения $y = \cos(\frac{x}{2})$. Его производные:

$y' = -\frac{1}{2}\sin(\frac{x}{2})$

$y'' = -\frac{1}{4}\cos(\frac{x}{2})$

Подставим в исходное уравнение:

$-\frac{1}{4}\cos(\frac{x}{2}) = -\frac{1}{4} \cdot (\cos(\frac{x}{2}))$

Решение верное.

Ответ: $y = \cos(\frac{x}{2})$