Номер 570, страница 268 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 11. Производная показательной и логарифмической функций - номер 570, страница 268.

Условие.

570. Докажите, что функция $y = 7e^{-2x}$ удовлетворяет уравнению

$y' = -2y.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

Для того чтобы доказать, что функция $y = 7e^{-2x}$ удовлетворяет уравнению $y' = -2y$, необходимо найти производную этой функции и подставить её вместе с исходной функцией в уравнение, чтобы проверить, выполняется ли равенство.

1. Нахождение производной функции

Дана функция $y = 7e^{-2x}$. Найдём её производную $y'$ по переменной $x$. Для этого воспользуемся правилом дифференцирования произведения константы на функцию и правилом дифференцирования сложной функции.

Производная от показательной функции $(e^u)' = e^u \cdot u'$. В нашем случае $u = -2x$, следовательно, производная внутреннего аргумента $u' = (-2x)' = -2$.

$y' = (7e^{-2x})' = 7 \cdot (e^{-2x})' = 7 \cdot e^{-2x} \cdot (-2x)' = 7 \cdot e^{-2x} \cdot (-2) = -14e^{-2x}$

2. Подстановка в уравнение и проверка тождества

Теперь подставим полученное выражение для производной $y' = -14e^{-2x}$ и исходное выражение для функции $y = 7e^{-2x}$ в дифференциальное уравнение $y' = -2y$.

Подставляем в левую часть уравнения:

$y' = -14e^{-2x}$

Подставляем в правую часть уравнения:

$-2y = -2 \cdot (7e^{-2x}) = -14e^{-2x}$

Сравниваем левую и правую части уравнения:

$-14e^{-2x} = -14e^{-2x}$

Поскольку левая часть уравнения равна правой, мы получили верное тождество. Это доказывает, что функция $y = 7e^{-2x}$ является решением данного уравнения.

Ответ: Что и требовалось доказать: функция $y = 7e^{-2x}$ удовлетворяет уравнению $y' = -2y$.