Номер 565, страница 262 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 11. Производная показательной и логарифмической функций. Глава 4. Показательная и логарифмическая функции - номер 565, страница 262.

Условие.

565.— Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

a) $y = x^{\sqrt{2}}$, $y = 0$, $x = 1$;

б) $y = x^{\sqrt{3}}$, $y = \frac{1}{x}$, $x = \frac{1}{2}$;

в) $y = x^{-0.8}$, $y = 0$, $x = 1$, $x = 32$;

г) $y = \frac{1}{x}$, $y = 0$, $x = 3$, $x = 5$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Фигура ограничена графиком функции $y = x^{\sqrt{2}}$, осью абсцисс $y=0$ и вертикальной прямой $x=1$. Поскольку $y(0) = 0^{\sqrt{2}} = 0$, график функции выходит из начала координат, и второй вертикальной границей является прямая $x=0$. Площадь фигуры, таким образом, представляет собой площадь криволинейной трапеции и вычисляется как определенный интеграл от функции $y = x^{\sqrt{2}}$ в пределах от 0 до 1.
Формула для вычисления площади: $S = \int_a^b f(x) \,dx$.
В данном случае $f(x) = x^{\sqrt{2}}$, $a=0$, $b=1$.
$S = \int_0^1 x^{\sqrt{2}} \,dx$
Используем формулу интегрирования степенной функции $\int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$:
$S = \left[ \frac{x^{\sqrt{2}+1}}{\sqrt{2}+1} \right]_0^1 = \frac{1^{\sqrt{2}+1}}{\sqrt{2}+1} - \frac{0^{\sqrt{2}+1}}{\sqrt{2}+1} = \frac{1}{\sqrt{2}+1} - 0 = \frac{1}{\sqrt{2}+1}$
Для упрощения ответа избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{2}-1)$:
$S = \frac{1}{\sqrt{2}+1} \cdot \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1} = \frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{\sqrt{2}-1}{2-1} = \sqrt{2}-1$.
Ответ: $\sqrt{2}-1$.

б) Фигура ограничена линиями $y = x^{\sqrt{3}}$, $y = \frac{1}{x}$ и $x = \frac{1}{2}$. Сначала найдем точку пересечения кривых $y = x^{\sqrt{3}}$ и $y = \frac{1}{x}$, чтобы определить пределы интегрирования.
$x^{\sqrt{3}} = \frac{1}{x} \implies x^{\sqrt{3}} \cdot x = 1 \implies x^{\sqrt{3}+1} = 1$.
Отсюда следует, что $x=1$ (при $x>0$). Таким образом, фигура ограничена вертикальными прямыми $x=\frac{1}{2}$ и $x=1$.
На интервале $[\frac{1}{2}, 1]$ сравним значения функций. Для любого $x \in (0, 1)$ и $a > b$, выполняется неравенство $x^a < x^b$. Так как $\sqrt{3} \approx 1.732$ и $y=\frac{1}{x}=x^{-1}$, имеем $\sqrt{3} > -1$. Следовательно, на интервале $[\frac{1}{2}, 1]$ выполняется $x^{\sqrt{3}} < x^{-1}$, то есть график функции $y=\frac{1}{x}$ лежит выше графика $y=x^{\sqrt{3}}$.
Площадь фигуры вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций:
$S = \int_{1/2}^1 \left(\frac{1}{x} - x^{\sqrt{3}}\right) \,dx$
Вычисляем интеграл:
$S = \left[ \ln|x| - \frac{x^{\sqrt{3}+1}}{\sqrt{3}+1} \right]_{1/2}^1 = \left(\ln(1) - \frac{1^{\sqrt{3}+1}}{\sqrt{3}+1}\right) - \left(\ln\left(\frac{1}{2}\right) - \frac{(\frac{1}{2})^{\sqrt{3}+1}}{\sqrt{3}+1}\right)$
$S = \left(0 - \frac{1}{\sqrt{3}+1}\right) - \left(-\ln(2) - \frac{(1/2)^{\sqrt{3}+1}}{\sqrt{3}+1}\right) = \ln(2) - \frac{1}{\sqrt{3}+1} + \frac{(1/2)^{\sqrt{3}+1}}{\sqrt{3}+1}$
$S = \ln(2) - \frac{1 - (1/2)^{\sqrt{3}+1}}{\sqrt{3}+1} = \ln(2) - \frac{1 - 2^{-(\sqrt{3}+1)}}{\sqrt{3}+1}$.
Ответ: $\ln(2) - \frac{1 - 2^{-(\sqrt{3}+1)}}{\sqrt{3}+1}$.

в) Фигура ограничена графиком функции $y = x^{-0.8}$, осью абсцисс $y=0$ и вертикальными прямыми $x=1$ и $x=32$. На интервале $[1, 32]$ функция $y=x^{-0.8}$ положительна, так как основание $x$ положительно.
Площадь фигуры вычисляется как определенный интеграл:
$S = \int_1^{32} x^{-0.8} \,dx$
Используем формулу интегрирования степенной функции $\int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$. Здесь $n=-0.8$, поэтому $n+1 = 0.2$.
$S = \left[ \frac{x^{-0.8+1}}{-0.8+1} \right]_1^{32} = \left[ \frac{x^{0.2}}{0.2} \right]_1^{32} = \left[ 5x^{0.2} \right]_1^{32}$
Подставляем пределы интегрирования:
$S = 5 \cdot 32^{0.2} - 5 \cdot 1^{0.2}$
Так как $0.2 = \frac{1}{5}$, то $32^{0.2} = 32^{1/5} = \sqrt[5]{32} = 2$. Также $1^{0.2} = 1$.
$S = 5 \cdot 2 - 5 \cdot 1 = 10 - 5 = 5$.
Ответ: 5.

г) Фигура ограничена графиком функции $y = \frac{1}{x}$ (гипербола), осью абсцисс $y=0$ и вертикальными прямыми $x=3$ и $x=5$. На интервале $[3, 5]$ функция $y = \frac{1}{x}$ положительна.
Площадь фигуры вычисляется как определенный интеграл:
$S = \int_3^5 \frac{1}{x} \,dx$
Интеграл от $\frac{1}{x}$ равен натуральному логарифму: $\int \frac{1}{x} \,dx = \ln|x| + C$.
$S = \left[ \ln|x| \right]_3^5 = \ln(5) - \ln(3)$
Используя свойство логарифмов $\ln a - \ln b = \ln \frac{a}{b}$, получаем:
$S = \ln\left(\frac{5}{3}\right)$.
Ответ: $\ln\left(\frac{5}{3}\right)$.