Номер 562, страница 262 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 11. Производная показательной и логарифмической функций. Глава 4. Показательная и логарифмическая функции - номер 562, страница 262.
№562 (с. 262)
Условие. №562 (с. 262)
скриншот условия

562. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f$ на промежутке $I$:
а) $f(x) = x^{\frac{2}{5}}$, $I = [1; 32]$;
б) $f(x) = x^{-\frac{4}{3}}$, $I = \left[\frac{1}{8}; 27\right]$;
в) $f(x) = x^{-4}$, $I = \left[\frac{1}{2}; 1\right]$;
г) $f(x) = x^{\frac{3}{4}}$, $I = \left[\frac{1}{16}; 81\right]$.
Решение 1. №562 (с. 262)


Решение 3. №562 (с. 262)

Решение 5. №562 (с. 262)
а) $f(x) = x^{\frac{2}{5}}$, $I = [1; 32]$
Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке, исследуем ее на монотонность. Найдем производную функции: $f'(x) = (x^{\frac{2}{5}})' = \frac{2}{5}x^{\frac{2}{5}-1} = \frac{2}{5}x^{-\frac{3}{5}} = \frac{2}{5\sqrt[5]{x^3}}$.
Производная не определена в точке $x=0$, но эта точка не принадлежит отрезку $[1; 32]$. На всем отрезке $[1; 32]$ производная $f'(x)$ положительна, так как $x > 0$. Это означает, что функция $f(x)$ монотонно возрастает на данном отрезке.
Следовательно, наименьшее значение функция принимает на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом. Вычислим значения функции на концах отрезка:
Наименьшее значение: $f_{наим} = f(1) = 1^{\frac{2}{5}} = 1$.
Наибольшее значение: $f_{наиб} = f(32) = 32^{\frac{2}{5}} = (2^5)^{\frac{2}{5}} = 2^2 = 4$.
Ответ: наименьшее значение 1, наибольшее значение 4.
б) $f(x) = x^{-\frac{4}{3}}$, $I = [\frac{1}{8}; 27]$
Исследуем функцию на монотонность на заданном отрезке. Найдем ее производную: $f'(x) = (x^{-\frac{4}{3}})' = -\frac{4}{3}x^{-\frac{4}{3}-1} = -\frac{4}{3}x^{-\frac{7}{3}} = -\frac{4}{3\sqrt[3]{x^7}}$.
Производная не определена в точке $x=0$, которая не принадлежит отрезку $[\frac{1}{8}; 27]$. На всем отрезке $[\frac{1}{8}; 27]$ производная $f'(x)$ отрицательна. Следовательно, функция $f(x)$ монотонно убывает на данном отрезке.
В этом случае наибольшее значение достигается на левом конце отрезка, а наименьшее — на правом. Вычислим эти значения:
Наибольшее значение: $f_{наиб} = f(\frac{1}{8}) = (\frac{1}{8})^{-\frac{4}{3}} = (2^{-3})^{-\frac{4}{3}} = 2^{4} = 16$.
Наименьшее значение: $f_{наим} = f(27) = 27^{-\frac{4}{3}} = (3^3)^{-\frac{4}{3}} = 3^{-4} = \frac{1}{81}$.
Ответ: наименьшее значение $\frac{1}{81}$, наибольшее значение 16.
в) $f(x) = x^{-4}$, $I = [\frac{1}{2}; 1]$
Найдем производную функции для определения интервалов монотонности: $f'(x) = (x^{-4})' = -4x^{-5} = -\frac{4}{x^5}$.
На отрезке $[\frac{1}{2}; 1]$ производная $f'(x)$ всегда отрицательна, поскольку $x > 0$. Это означает, что функция $f(x)$ монотонно убывает на всем отрезке.
Таким образом, наибольшее значение функция принимает на левом конце отрезка, а наименьшее — на правом. Вычислим значения:
Наибольшее значение: $f_{наиб} = f(\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})^{-4} = 2^4 = 16$.
Наименьшее значение: $f_{наим} = f(1) = 1^{-4} = 1$.
Ответ: наименьшее значение 1, наибольшее значение 16.
г) $f(x) = x^{\frac{3}{4}}$, $I = [\frac{1}{16}; 81]$
Для исследования функции на монотонность найдем ее производную: $f'(x) = (x^{\frac{3}{4}})' = \frac{3}{4}x^{\frac{3}{4}-1} = \frac{3}{4}x^{-\frac{1}{4}} = \frac{3}{4\sqrt[4]{x}}$.
Производная не определена в точке $x=0$, которая не входит в отрезок $[\frac{1}{16}; 81]$. На всем отрезке производная $f'(x)$ положительна, так как $x > 0$. Значит, функция $f(x)$ монотонно возрастает на данном отрезке.
Следовательно, наименьшее значение достигается на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом. Вычислим значения функции на концах отрезка:
Наименьшее значение: $f_{наим} = f(\frac{1}{16}) = (\frac{1}{16})^{\frac{3}{4}} = ((\frac{1}{2})^4)^{\frac{3}{4}} = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$.
Наибольшее значение: $f_{наиб} = f(81) = 81^{\frac{3}{4}} = (3^4)^{\frac{3}{4}} = 3^3 = 27$.
Ответ: наименьшее значение $\frac{1}{8}$, наибольшее значение 27.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 562 расположенного на странице 262 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №562 (с. 262), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.