Номер 562, страница 262 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 11. Производная показательной и логарифмической функций - номер 562, страница 262.

Условие.

562. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f$ на промежутке $I$:

а) $f(x) = x^{\frac{2}{5}}$, $I = [1; 32]$;

б) $f(x) = x^{-\frac{4}{3}}$, $I = \left[\frac{1}{8}; 27\right]$;

в) $f(x) = x^{-4}$, $I = \left[\frac{1}{2}; 1\right]$;

г) $f(x) = x^{\frac{3}{4}}$, $I = \left[\frac{1}{16}; 81\right]$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) $f(x) = x^{\frac{2}{5}}$, $I = [1; 32]$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке, исследуем ее на монотонность. Найдем производную функции: $f'(x) = (x^{\frac{2}{5}})' = \frac{2}{5}x^{\frac{2}{5}-1} = \frac{2}{5}x^{-\frac{3}{5}} = \frac{2}{5\sqrt[5]{x^3}}$.

Производная не определена в точке $x=0$, но эта точка не принадлежит отрезку $[1; 32]$. На всем отрезке $[1; 32]$ производная $f'(x)$ положительна, так как $x > 0$. Это означает, что функция $f(x)$ монотонно возрастает на данном отрезке.

Следовательно, наименьшее значение функция принимает на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом. Вычислим значения функции на концах отрезка:

Наименьшее значение: $f_{наим} = f(1) = 1^{\frac{2}{5}} = 1$.

Наибольшее значение: $f_{наиб} = f(32) = 32^{\frac{2}{5}} = (2^5)^{\frac{2}{5}} = 2^2 = 4$.

Ответ: наименьшее значение 1, наибольшее значение 4.

б) $f(x) = x^{-\frac{4}{3}}$, $I = [\frac{1}{8}; 27]$

Исследуем функцию на монотонность на заданном отрезке. Найдем ее производную: $f'(x) = (x^{-\frac{4}{3}})' = -\frac{4}{3}x^{-\frac{4}{3}-1} = -\frac{4}{3}x^{-\frac{7}{3}} = -\frac{4}{3\sqrt[3]{x^7}}$.

Производная не определена в точке $x=0$, которая не принадлежит отрезку $[\frac{1}{8}; 27]$. На всем отрезке $[\frac{1}{8}; 27]$ производная $f'(x)$ отрицательна. Следовательно, функция $f(x)$ монотонно убывает на данном отрезке.

В этом случае наибольшее значение достигается на левом конце отрезка, а наименьшее — на правом. Вычислим эти значения:

Наибольшее значение: $f_{наиб} = f(\frac{1}{8}) = (\frac{1}{8})^{-\frac{4}{3}} = (2^{-3})^{-\frac{4}{3}} = 2^{4} = 16$.

Наименьшее значение: $f_{наим} = f(27) = 27^{-\frac{4}{3}} = (3^3)^{-\frac{4}{3}} = 3^{-4} = \frac{1}{81}$.

Ответ: наименьшее значение $\frac{1}{81}$, наибольшее значение 16.

в) $f(x) = x^{-4}$, $I = [\frac{1}{2}; 1]$

Найдем производную функции для определения интервалов монотонности: $f'(x) = (x^{-4})' = -4x^{-5} = -\frac{4}{x^5}$.

На отрезке $[\frac{1}{2}; 1]$ производная $f'(x)$ всегда отрицательна, поскольку $x > 0$. Это означает, что функция $f(x)$ монотонно убывает на всем отрезке.

Таким образом, наибольшее значение функция принимает на левом конце отрезка, а наименьшее — на правом. Вычислим значения:

Наибольшее значение: $f_{наиб} = f(\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})^{-4} = 2^4 = 16$.

Наименьшее значение: $f_{наим} = f(1) = 1^{-4} = 1$.

Ответ: наименьшее значение 1, наибольшее значение 16.

г) $f(x) = x^{\frac{3}{4}}$, $I = [\frac{1}{16}; 81]$

Для исследования функции на монотонность найдем ее производную: $f'(x) = (x^{\frac{3}{4}})' = \frac{3}{4}x^{\frac{3}{4}-1} = \frac{3}{4}x^{-\frac{1}{4}} = \frac{3}{4\sqrt[4]{x}}$.

Производная не определена в точке $x=0$, которая не входит в отрезок $[\frac{1}{16}; 81]$. На всем отрезке производная $f'(x)$ положительна, так как $x > 0$. Значит, функция $f(x)$ монотонно возрастает на данном отрезке.

Следовательно, наименьшее значение достигается на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом. Вычислим значения функции на концах отрезка:

Наименьшее значение: $f_{наим} = f(\frac{1}{16}) = (\frac{1}{16})^{\frac{3}{4}} = ((\frac{1}{2})^4)^{\frac{3}{4}} = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$.

Наибольшее значение: $f_{наиб} = f(81) = 81^{\frac{3}{4}} = (3^4)^{\frac{3}{4}} = 3^3 = 27$.

Ответ: наименьшее значение $\frac{1}{8}$, наибольшее значение 27.