Номер 557, страница 259 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 11. Производная показательной и логарифмической функций. Глава 4. Показательная и логарифмическая функции - номер 557, страница 259.

Условие.

557. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

a) $y = \frac{4}{x} + 2, y = 0, x = 2, x = 6;$

б) $y = -\frac{2}{x}, y = 0, x = -4, x = -1;$

в) $y = \frac{1}{2x}, y = 0, x = \frac{1}{4}, x = 2;$

г) $y = 3 - \frac{1}{x}, y = 0, x = -6, x = -3.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

Площадь фигуры (криволинейной трапеции), ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке $[a, b]$ функции $y = f(x)$, осью абсцисс ($y=0$) и прямыми $x=a$ и $x=b$, вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = \int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для $f(x)$.

Во всех представленных задачах функции сохраняют знак на заданных промежутках.

а) $y = \frac{4}{x} + 2, y = 0, x = 2, x = 6$

Фигура ограничена графиком функции $f(x) = \frac{4}{x} + 2$, осью $Ox$ и прямыми $x=2$, $x=6$.

На отрезке $[2, 6]$ значение $x > 0$, следовательно, $\frac{4}{x} > 0$, и вся функция $f(x) = \frac{4}{x} + 2$ принимает положительные значения. Значит, площадь можно вычислить как определенный интеграл от $f(x)$ по отрезку $[2, 6]$.

$S = \int_{2}^{6} \left(\frac{4}{x} + 2\right) dx$

Находим первообразную для подынтегральной функции: $F(x) = 4\ln|x| + 2x$.

Вычисляем значение интеграла по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = [4\ln|x| + 2x] \Big|_{2}^{6} = (4\ln|6| + 2 \cdot 6) - (4\ln|2| + 2 \cdot 2)$

Поскольку на отрезке $[2, 6]$ $x > 0$, знак модуля можно опустить:

$S = (4\ln6 + 12) - (4\ln2 + 4) = 4\ln6 + 12 - 4\ln2 - 4 = 8 + 4(\ln6 - \ln2)$

Используя свойство логарифмов $\ln a - \ln b = \ln\frac{a}{b}$, получаем:

$S = 8 + 4\ln\frac{6}{2} = 8 + 4\ln3$

Ответ: $8 + 4\ln3$.

б) $y = -\frac{2}{x}, y = 0, x = -4, x = -1$

Фигура ограничена графиком функции $f(x) = -\frac{2}{x}$, осью $Ox$ и прямыми $x=-4$, $x=-1$.

На отрезке $[-4, -1]$ значение $x < 0$, следовательно, $\frac{2}{x} < 0$, а функция $f(x) = -\frac{2}{x}$ принимает положительные значения. Таким образом, площадь вычисляется как интеграл от $f(x)$ по отрезку $[-4, -1]$.

$S = \int_{-4}^{-1} \left(-\frac{2}{x}\right) dx$

Находим первообразную: $F(x) = -2\ln|x|$.

Вычисляем значение интеграла:

$S = [-2\ln|x|] \Big|_{-4}^{-1} = (-2\ln|-1|) - (-2\ln|-4|) = -2\ln1 - (-2\ln4)$

Так как $\ln1 = 0$, получаем:

$S = 0 + 2\ln4 = 2\ln(2^2) = 4\ln2$

Ответ: $2\ln4$ (или $4\ln2$).

в) $y = \frac{1}{2x}, y = 0, x = \frac{1}{4}, x = 2$

Фигура ограничена графиком функции $f(x) = \frac{1}{2x}$, осью $Ox$ и прямыми $x=\frac{1}{4}$, $x=2$.

На отрезке $[\frac{1}{4}, 2]$ значение $x > 0$, следовательно, функция $f(x) = \frac{1}{2x}$ положительна. Площадь вычисляется как интеграл:

$S = \int_{1/4}^{2} \frac{1}{2x} dx = \frac{1}{2}\int_{1/4}^{2} \frac{1}{x} dx$

Находим первообразную: $F(x) = \frac{1}{2}\ln|x|$.

Вычисляем значение интеграла:

$S = \left[\frac{1}{2}\ln|x|\right] \Big|_{1/4}^{2} = \frac{1}{2}\ln|2| - \frac{1}{2}\ln\left|\frac{1}{4}\right|$

Поскольку на отрезке $[\frac{1}{4}, 2]$ $x > 0$, знак модуля можно опустить:

$S = \frac{1}{2}\ln2 - \frac{1}{2}\ln\frac{1}{4} = \frac{1}{2}\left(\ln2 - \ln\frac{1}{4}\right)$

Используя свойство логарифмов $\ln\frac{a}{b} = \ln a - \ln b$ и $\ln(1/a) = -\ln a$:

$S = \frac{1}{2}\left(\ln\frac{2}{1/4}\right) = \frac{1}{2}\ln(8) = \frac{1}{2}\ln(2^3) = \frac{3}{2}\ln2$

Ответ: $\frac{1}{2}\ln8$ (или $\frac{3}{2}\ln2$).

г) $y = 3 - \frac{1}{x}, y = 0, x = -6, x = -3$

Фигура ограничена графиком функции $f(x) = 3 - \frac{1}{x}$, осью $Ox$ и прямыми $x=-6$, $x=-3$.

На отрезке $[-6, -3]$ значение $x < 0$. Это значит, что $\frac{1}{x}$ является отрицательной величиной, а $-\frac{1}{x}$ — положительной. Таким образом, функция $f(x) = 3 - \frac{1}{x}$ принимает положительные значения (больше 3). Площадь вычисляется как интеграл:

$S = \int_{-6}^{-3} \left(3 - \frac{1}{x}\right) dx$

Находим первообразную: $F(x) = 3x - \ln|x|$.

Вычисляем значение интеграла:

$S = [3x - \ln|x|] \Big|_{-6}^{-3} = (3(-3) - \ln|-3|) - (3(-6) - \ln|-6|)$

$S = (-9 - \ln3) - (-18 - \ln6) = -9 - \ln3 + 18 + \ln6 = 9 + \ln6 - \ln3$

Используя свойство логарифмов $\ln a - \ln b = \ln\frac{a}{b}$:

$S = 9 + \ln\frac{6}{3} = 9 + \ln2$

Ответ: $9 + \ln2$.