Номер 552, страница 258 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 11. Производная показательной и логарифмической функций. Глава 4. Показательная и логарифмическая функции - номер 552, страница 258.
№552 (с. 258)
Условие. №552 (с. 258)
скриншот условия

552. - Напишите уравнение касательной к графику функции $f$ в точке с абсциссой $x_0$, если:
a) $f(x) = \ln (x + 1), x_0 = 0;$
б) $f(x) = \lg x + 2, x_0 = 1;$
в) $f(x) = 2 \ln x, x_0 = e;$
г) $f(x) = \log_2 (x - 1), x_0 = 2.$
Решение 1. №552 (с. 258)


Решение 3. №552 (с. 258)

Решение 5. №552 (с. 258)
Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.
Для нахождения уравнения касательной для каждого случая необходимо выполнить следующие шаги:
1. Найти значение функции в точке касания, т.е. $f(x_0)$.
2. Найти производную функции $f'(x)$.
3. Найти значение производной в точке касания, т.е. $f'(x_0)$.
4. Подставить найденные значения $x_0$, $f(x_0)$ и $f'(x_0)$ в общую формулу уравнения касательной.
а) Дана функция $f(x) = \ln(x+1)$ и точка $x_0 = 0$.
1. Находим значение функции в точке $x_0$:
$f(x_0) = f(0) = \ln(0+1) = \ln(1) = 0$.
2. Находим производную функции:
$f'(x) = (\ln(x+1))' = \frac{1}{x+1}$.
3. Находим значение производной в точке $x_0$:
$f'(x_0) = f'(0) = \frac{1}{0+1} = 1$.
4. Подставляем найденные значения в уравнение касательной:
$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$
$y = 0 + 1 \cdot (x - 0)$
$y = x$.
Ответ: $y = x$.
б) Дана функция $f(x) = \lg x + 2$ и точка $x_0 = 1$.
1. Находим значение функции в точке $x_0$:
$f(x_0) = f(1) = \lg 1 + 2 = 0 + 2 = 2$.
2. Находим производную функции, учитывая, что $\lg x = \log_{10} x$ и $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$:
$f'(x) = (\lg x + 2)' = \frac{1}{x \ln 10}$.
3. Находим значение производной в точке $x_0$:
$f'(x_0) = f'(1) = \frac{1}{1 \cdot \ln 10} = \frac{1}{\ln 10}$.
4. Подставляем найденные значения в уравнение касательной:
$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$
$y = 2 + \frac{1}{\ln 10}(x - 1)$
$y = 2 + \frac{x}{\ln 10} - \frac{1}{\ln 10}$.
Ответ: $y = \frac{x}{\ln 10} + 2 - \frac{1}{\ln 10}$.
в) Дана функция $f(x) = 2 \ln x$ и точка $x_0 = e$.
1. Находим значение функции в точке $x_0$:
$f(x_0) = f(e) = 2 \ln e = 2 \cdot 1 = 2$.
2. Находим производную функции:
$f'(x) = (2 \ln x)' = 2 \cdot \frac{1}{x} = \frac{2}{x}$.
3. Находим значение производной в точке $x_0$:
$f'(x_0) = f'(e) = \frac{2}{e}$.
4. Подставляем найденные значения в уравнение касательной:
$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$
$y = 2 + \frac{2}{e}(x - e)$
$y = 2 + \frac{2x}{e} - \frac{2e}{e}$
$y = 2 + \frac{2x}{e} - 2$
$y = \frac{2x}{e}$.
Ответ: $y = \frac{2}{e}x$.
г) Дана функция $f(x) = \log_2(x-1)$ и точка $x_0 = 2$.
1. Находим значение функции в точке $x_0$:
$f(x_0) = f(2) = \log_2(2-1) = \log_2(1) = 0$.
2. Находим производную функции, используя формулу для производной сложной логарифмической функции $(\log_a u)' = \frac{u'}{u \ln a}$:
$f'(x) = (\log_2(x-1))' = \frac{1}{(x-1)\ln 2}$.
3. Находим значение производной в точке $x_0$:
$f'(x_0) = f'(2) = \frac{1}{(2-1)\ln 2} = \frac{1}{\ln 2}$.
4. Подставляем найденные значения в уравнение касательной:
$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$
$y = 0 + \frac{1}{\ln 2}(x-2)$
$y = \frac{x-2}{\ln 2}$.
Ответ: $y = \frac{x-2}{\ln 2}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 552 расположенного на странице 258 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №552 (с. 258), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.