Номер 552, страница 258 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 11. Производная показательной и логарифмической функций - номер 552, страница 258.

Условие.

552. - Напишите уравнение касательной к графику функции $f$ в точке с абсциссой $x_0$, если:

a) $f(x) = \ln (x + 1), x_0 = 0;$

б) $f(x) = \lg x + 2, x_0 = 1;$

в) $f(x) = 2 \ln x, x_0 = e;$

г) $f(x) = \log_2 (x - 1), x_0 = 2.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Для нахождения уравнения касательной для каждого случая необходимо выполнить следующие шаги:
1. Найти значение функции в точке касания, т.е. $f(x_0)$.
2. Найти производную функции $f'(x)$.
3. Найти значение производной в точке касания, т.е. $f'(x_0)$.
4. Подставить найденные значения $x_0$, $f(x_0)$ и $f'(x_0)$ в общую формулу уравнения касательной.

а) Дана функция $f(x) = \ln(x+1)$ и точка $x_0 = 0$.
1. Находим значение функции в точке $x_0$:
$f(x_0) = f(0) = \ln(0+1) = \ln(1) = 0$.
2. Находим производную функции:
$f'(x) = (\ln(x+1))' = \frac{1}{x+1}$.
3. Находим значение производной в точке $x_0$:
$f'(x_0) = f'(0) = \frac{1}{0+1} = 1$.
4. Подставляем найденные значения в уравнение касательной:
$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$
$y = 0 + 1 \cdot (x - 0)$
$y = x$.
Ответ: $y = x$.

б) Дана функция $f(x) = \lg x + 2$ и точка $x_0 = 1$.
1. Находим значение функции в точке $x_0$:
$f(x_0) = f(1) = \lg 1 + 2 = 0 + 2 = 2$.
2. Находим производную функции, учитывая, что $\lg x = \log_{10} x$ и $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$:
$f'(x) = (\lg x + 2)' = \frac{1}{x \ln 10}$.
3. Находим значение производной в точке $x_0$:
$f'(x_0) = f'(1) = \frac{1}{1 \cdot \ln 10} = \frac{1}{\ln 10}$.
4. Подставляем найденные значения в уравнение касательной:
$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$
$y = 2 + \frac{1}{\ln 10}(x - 1)$
$y = 2 + \frac{x}{\ln 10} - \frac{1}{\ln 10}$.
Ответ: $y = \frac{x}{\ln 10} + 2 - \frac{1}{\ln 10}$.

в) Дана функция $f(x) = 2 \ln x$ и точка $x_0 = e$.
1. Находим значение функции в точке $x_0$:
$f(x_0) = f(e) = 2 \ln e = 2 \cdot 1 = 2$.
2. Находим производную функции:
$f'(x) = (2 \ln x)' = 2 \cdot \frac{1}{x} = \frac{2}{x}$.
3. Находим значение производной в точке $x_0$:
$f'(x_0) = f'(e) = \frac{2}{e}$.
4. Подставляем найденные значения в уравнение касательной:
$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$
$y = 2 + \frac{2}{e}(x - e)$
$y = 2 + \frac{2x}{e} - \frac{2e}{e}$
$y = 2 + \frac{2x}{e} - 2$
$y = \frac{2x}{e}$.
Ответ: $y = \frac{2}{e}x$.

г) Дана функция $f(x) = \log_2(x-1)$ и точка $x_0 = 2$.
1. Находим значение функции в точке $x_0$:
$f(x_0) = f(2) = \log_2(2-1) = \log_2(1) = 0$.
2. Находим производную функции, используя формулу для производной сложной логарифмической функции $(\log_a u)' = \frac{u'}{u \ln a}$:
$f'(x) = (\log_2(x-1))' = \frac{1}{(x-1)\ln 2}$.
3. Находим значение производной в точке $x_0$:
$f'(x_0) = f'(2) = \frac{1}{(2-1)\ln 2} = \frac{1}{\ln 2}$.
4. Подставляем найденные значения в уравнение касательной:
$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$
$y = 0 + \frac{1}{\ln 2}(x-2)$
$y = \frac{x-2}{\ln 2}$.
Ответ: $y = \frac{x-2}{\ln 2}$.