Номер 547, страница 256 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 11. Производная показательной и логарифмической функций. Глава 4. Показательная и логарифмическая функции - номер 547, страница 256.

Условие.

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями

(547–548).

547. а) $y = e^x, y = 0, x = 0, x = 1;$

б) $y = 3^x, y = 9^x, x = 1;$

в) $y = 2^x, y = 0, x = -1, x = 2;$

г) $y = e^x, y = e^{2x}, x = 1.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Фигура ограничена графиком функции $y = e^x$, осью абсцисс $y = 0$, и вертикальными прямыми $x = 0$ и $x = 1$. Эта фигура является криволинейной трапецией.

Площадь такой фигуры вычисляется с помощью определенного интеграла по формуле $S = \int_a^b f(x)dx$.

В данном случае, $f(x) = e^x$, пределы интегрирования от $a = 0$ до $b = 1$.

Вычислим интеграл:

$S = \int_{0}^{1} e^x dx = [e^x]_{0}^{1} = e^1 - e^0 = e - 1$.

Ответ: $e - 1$.

б) Фигура ограничена графиками функций $y = 3^x$, $y = 9^x$ и вертикальной прямой $x = 1$.

Сначала найдем точки пересечения кривых $y = 3^x$ и $y = 9^x$, чтобы определить пределы интегрирования.$3^x = 9^x$$3^x = (3^2)^x$$3^x = 3^{2x}$$x = 2x \implies x = 0$.Нижний предел интегрирования равен $x = 0$. Верхний предел задан условием $x = 1$.На интервале $(0, 1)$ сравним значения функций. Например, при $x = 0.5$, $3^{0.5} = \sqrt{3}$, а $9^{0.5} = 3$. Так как $3 > \sqrt{3}$, то график функции $y = 9^x$ лежит выше графика $y = 3^x$ на этом интервале.

Площадь фигуры, заключенной между двумя кривыми $y = f(x)$ и $y = g(x)$, где $f(x) \ge g(x)$ на отрезке $[a, b]$, вычисляется по формуле $S = \int_a^b (f(x) - g(x))dx$.

В нашем случае $f(x) = 9^x$, $g(x) = 3^x$, $a = 0$, $b = 1$.

$S = \int_{0}^{1} (9^x - 3^x) dx = \left[ \frac{9^x}{\ln 9} - \frac{3^x}{\ln 3} \right]_{0}^{1} = \left( \frac{9^1}{\ln 9} - \frac{3^1}{\ln 3} \right) - \left( \frac{9^0}{\ln 9} - \frac{3^0}{\ln 3} \right) = \left( \frac{9}{\ln 9} - \frac{3}{\ln 3} \right) - \left( \frac{1}{\ln 9} - \frac{1}{\ln 3} \right)$.

Так как $\ln 9 = \ln(3^2) = 2\ln 3$, то:

$S = \left( \frac{9}{2\ln 3} - \frac{3}{\ln 3} \right) - \left( \frac{1}{2\ln 3} - \frac{1}{\ln 3} \right) = \left( \frac{9 - 6}{2\ln 3} \right) - \left( \frac{1 - 2}{2\ln 3} \right) = \frac{3}{2\ln 3} - \frac{-1}{2\ln 3} = \frac{3+1}{2\ln 3} = \frac{4}{2\ln 3} = \frac{2}{\ln 3}$.

Ответ: $\frac{2}{\ln 3}$.

в) Фигура ограничена графиком функции $y = 2^x$, осью абсцисс $y = 0$ и вертикальными прямыми $x = -1$ и $x = 2$. Эта фигура является криволинейной трапецией, так как $2^x > 0$ для всех $x$.

Площадь вычисляется по формуле $S = \int_a^b f(x)dx$.

Здесь $f(x) = 2^x$, $a = -1$, $b = 2$.

$S = \int_{-1}^{2} 2^x dx = \left[ \frac{2^x}{\ln 2} \right]_{-1}^{2} = \frac{2^2}{\ln 2} - \frac{2^{-1}}{\ln 2} = \frac{4 - \frac{1}{2}}{\ln 2} = \frac{\frac{7}{2}}{\ln 2} = \frac{7}{2\ln 2}$.

Ответ: $\frac{7}{2\ln 2}$.

г) Фигура ограничена графиками функций $y = e^x$, $y = e^{2x}$ и вертикальной прямой $x = 1$.

Найдем точку пересечения кривых, чтобы определить левую границу интегрирования:$e^x = e^{2x} \implies x = 2x \implies x = 0$.Правая граница задана условием $x = 1$.На интервале $(0, 1)$ сравним функции. Для любого $x > 0$, $2x > x$, а так как основание $e > 1$, то функция $y=e^t$ возрастающая, следовательно $e^{2x} > e^x$. Значит, график $y = e^{2x}$ лежит выше графика $y = e^x$.

Площадь фигуры вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций:

$S = \int_{0}^{1} (e^{2x} - e^x) dx = \left[ \frac{1}{2}e^{2x} - e^x \right]_{0}^{1} = \left( \frac{1}{2}e^{2 \cdot 1} - e^1 \right) - \left( \frac{1}{2}e^{2 \cdot 0} - e^0 \right) = \left( \frac{e^2}{2} - e \right) - \left( \frac{1}{2}e^0 - e^0 \right)$.

$S = \left( \frac{e^2}{2} - e \right) - \left( \frac{1}{2} - 1 \right) = \frac{e^2}{2} - e - \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{e^2}{2} - e + \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{e^2}{2} - e + \frac{1}{2}$.