Номер 540, страница 255 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 11. Производная показательной и логарифмической функций - номер 540, страница 255.

Условие.

540.- Напишите уравнение касательной к графику функции $f$ в точке с абсциссой $x_0$:

а) $f(x) = e^{-x}, x_0 = 0;$

б) $f(x) = 3^x, x_0 = 1;$

в) $f(x) = e^x, x_0 = 0;$

г) $f(x) = 2^{-x}, x_0 = 1.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.
Дана функция $f(x) = e^{-x}$ и точка $x_0 = 0$.
1. Найдём значение функции в точке $x_0$:
$f(x_0) = f(0) = e^{-0} = 1$.
2. Найдём производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (e^{-x})' = e^{-x} \cdot (-x)' = -e^{-x}$.
3. Найдём значение производной в точке $x_0$ (угловой коэффициент касательной):
$f'(x_0) = f'(0) = -e^{-0} = -1$.
4. Подставим найденные значения $x_0=0$, $f(x_0)=1$, $f'(x_0)=-1$ в уравнение касательной:
$y = 1 + (-1)(x - 0)$
$y = 1 - x$
$y = -x + 1$
Ответ: $y = -x + 1$

б) Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.
Дана функция $f(x) = 3^x$ и точка $x_0 = 1$.
1. Найдём значение функции в точке $x_0$:
$f(x_0) = f(1) = 3^1 = 3$.
2. Найдём производную функции $f(x)$ по формуле $(a^x)' = a^x \ln a$:
$f'(x) = (3^x)' = 3^x \ln 3$.
3. Найдём значение производной в точке $x_0$ (угловой коэффициент касательной):
$f'(x_0) = f'(1) = 3^1 \ln 3 = 3 \ln 3$.
4. Подставим найденные значения $x_0=1$, $f(x_0)=3$, $f'(x_0)=3 \ln 3$ в уравнение касательной:
$y = 3 + 3 \ln 3 \cdot (x - 1)$
$y = 3 + (3 \ln 3)x - 3 \ln 3$
Ответ: $y = (3 \ln 3)x + 3 - 3 \ln 3$

в) Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.
Дана функция $f(x) = e^x$ и точка $x_0 = 0$.
1. Найдём значение функции в точке $x_0$:
$f(x_0) = f(0) = e^0 = 1$.
2. Найдём производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (e^x)' = e^x$.
3. Найдём значение производной в точке $x_0$ (угловой коэффициент касательной):
$f'(x_0) = f'(0) = e^0 = 1$.
4. Подставим найденные значения $x_0=0$, $f(x_0)=1$, $f'(x_0)=1$ в уравнение касательной:
$y = 1 + 1 \cdot (x - 0)$
$y = 1 + x$
$y = x + 1$
Ответ: $y = x + 1$

г) Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.
Дана функция $f(x) = 2^{-x}$ и точка $x_0 = 1$.
1. Найдём значение функции в точке $x_0$:
$f(x_0) = f(1) = 2^{-1} = \frac{1}{2}$.
2. Найдём производную функции $f(x)$ как сложной функции $(a^u)' = a^u \ln a \cdot u'$:
$f'(x) = (2^{-x})' = 2^{-x} \ln 2 \cdot (-1) = -2^{-x} \ln 2$.
3. Найдём значение производной в точке $x_0$ (угловой коэффициент касательной):
$f'(x_0) = f'(1) = -2^{-1} \ln 2 = -\frac{1}{2} \ln 2$.
4. Подставим найденные значения $x_0=1$, $f(x_0)=\frac{1}{2}$, $f'(x_0)=-\frac{\ln 2}{2}$ в уравнение касательной:
$y = \frac{1}{2} + (-\frac{\ln 2}{2})(x - 1)$
$y = \frac{1}{2} - \frac{\ln 2}{2}x + \frac{\ln 2}{2}$
$y = -\frac{\ln 2}{2}x + \frac{1 + \ln 2}{2}$
Ответ: $y = -\frac{\ln 2}{2}x + \frac{1 + \ln 2}{2}$