Номер 544, страница 255 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 11. Производная показательной и логарифмической функций - номер 544, страница 255.

Условие.

544. a) $y = \frac{x^6}{4^x + 5}$;

б) $y = \frac{e^{-x}}{x^2 + 2}$;

в) $y = \frac{3^x}{2^x + 5^x}$;

г) $y = \frac{0.3^{-x}}{\sqrt{x+0.5}}$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) $y = \frac{x^6}{4^x + 5}$

Для нахождения производной данной функции воспользуемся правилом дифференцирования частного (формулой производной дроби): $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

В нашем случае $u(x) = x^6$ и $v(x) = 4^x + 5$.

Найдем производные $u'(x)$ и $v'(x)$:

$u'(x) = (x^6)' = 6x^5$

$v'(x) = (4^x + 5)' = (4^x)' + (5)' = 4^x \ln(4) + 0 = 4^x \ln(4)$.

Теперь подставим найденные производные в формулу производной частного:

$y' = \frac{(x^6)'(4^x + 5) - x^6(4^x + 5)'}{(4^x + 5)^2} = \frac{6x^5(4^x + 5) - x^6(4^x \ln(4))}{(4^x + 5)^2}$.

Можно вынести общий множитель $x^5$ в числителе за скобки для упрощения выражения:

$y' = \frac{x^5(6(4^x + 5) - x \cdot 4^x \ln(4))}{(4^x + 5)^2} = \frac{x^5(6 \cdot 4^x + 30 - x \cdot 4^x \ln(4))}{(4^x + 5)^2}$.

Ответ: $y' = \frac{x^5(6 \cdot 4^x + 30 - x \cdot 4^x \ln(4))}{(4^x + 5)^2}$.

б) $y = \frac{e^{-x}}{x^2 + 2}$

Применим правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Здесь $u(x) = e^{-x}$ и $v(x) = x^2 + 2$.

Найдем производные $u'(x)$ и $v'(x)$. Для $u'(x)$ используем правило дифференцирования сложной функции:

$u'(x) = (e^{-x})' = e^{-x} \cdot (-x)' = e^{-x} \cdot (-1) = -e^{-x}$.

$v'(x) = (x^2 + 2)' = 2x$.

Подставим производные в формулу:

$y' = \frac{(-e^{-x})(x^2 + 2) - e^{-x}(2x)}{(x^2 + 2)^2}$.

Вынесем общий множитель $-e^{-x}$ в числителе:

$y' = \frac{-e^{-x}((x^2 + 2) + 2x)}{(x^2 + 2)^2} = \frac{-e^{-x}(x^2 + 2x + 2)}{(x^2 + 2)^2}$.

Ответ: $y' = -\frac{e^{-x}(x^2 + 2x + 2)}{(x^2 + 2)^2}$.

в) $y = \frac{3^x}{2^x + 5^x}$

Используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

В данном случае $u(x) = 3^x$ и $v(x) = 2^x + 5^x$.

Найдем производные $u'(x)$ и $v'(x)$ по формуле $(a^x)' = a^x \ln(a)$:

$u'(x) = (3^x)' = 3^x \ln(3)$.

$v'(x) = (2^x + 5^x)' = (2^x)' + (5^x)' = 2^x \ln(2) + 5^x \ln(5)$.

Подставляем в формулу производной частного:

$y' = \frac{(3^x \ln(3))(2^x + 5^x) - 3^x(2^x \ln(2) + 5^x \ln(5))}{(2^x + 5^x)^2}$.

Раскроем скобки в числителе:

$y' = \frac{3^x \cdot 2^x \ln(3) + 3^x \cdot 5^x \ln(3) - 3^x \cdot 2^x \ln(2) - 3^x \cdot 5^x \ln(5)}{(2^x + 5^x)^2}$.

Сгруппируем слагаемые, используя свойство степеней $a^x b^x = (ab)^x$:

$y' = \frac{6^x \ln(3) + 15^x \ln(3) - 6^x \ln(2) - 15^x \ln(5)}{(2^x + 5^x)^2} = \frac{6^x(\ln(3) - \ln(2)) + 15^x(\ln(3) - \ln(5))}{(2^x + 5^x)^2}$.

Используя свойство логарифмов $\ln(a) - \ln(b) = \ln(\frac{a}{b})$, получим:

$y' = \frac{6^x \ln(\frac{3}{2}) + 15^x \ln(\frac{3}{5})}{(2^x + 5^x)^2}$.

Ответ: $y' = \frac{6^x \ln(\frac{3}{2}) + 15^x \ln(\frac{3}{5})}{(2^x + 5^x)^2}$.

г) $y = \frac{0.3^{-x}}{\sqrt{x} + 0.5}$

Снова применяем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Здесь $u(x) = 0.3^{-x}$ и $v(x) = \sqrt{x} + 0.5 = x^{1/2} + 0.5$.

Найдем производные $u'(x)$ и $v'(x)$:

$u'(x) = (0.3^{-x})' = 0.3^{-x} \ln(0.3) \cdot (-x)' = -0.3^{-x} \ln(0.3)$.

$v'(x) = (\sqrt{x} + 0.5)' = (x^{1/2})' + (0.5)' = \frac{1}{2}x^{-1/2} + 0 = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Подставляем в формулу:

$y' = \frac{(-0.3^{-x} \ln(0.3))(\sqrt{x} + 0.5) - 0.3^{-x}(\frac{1}{2\sqrt{x}})}{(\sqrt{x} + 0.5)^2}$.

Вынесем общий множитель $-0.3^{-x}$ в числителе:

$y' = \frac{-0.3^{-x}(\ln(0.3)(\sqrt{x} + 0.5) + \frac{1}{2\sqrt{x}})}{(\sqrt{x} + 0.5)^2}$.

Ответ: $y' = -\frac{0.3^{-x}(\ln(0.3)(\sqrt{x} + 0.5) + \frac{1}{2\sqrt{x}})}{(\sqrt{x} + 0.5)^2}$.