Номер 544, страница 255 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 11. Производная показательной и логарифмической функций. Глава 4. Показательная и логарифмическая функции - номер 544, страница 255.
№544 (с. 255)
Условие. №544 (с. 255)
скриншот условия

544. a) $y = \frac{x^6}{4^x + 5}$;
б) $y = \frac{e^{-x}}{x^2 + 2}$;
в) $y = \frac{3^x}{2^x + 5^x}$;
г) $y = \frac{0.3^{-x}}{\sqrt{x+0.5}}$.
Решение 1. №544 (с. 255)

Решение 3. №544 (с. 255)

Решение 5. №544 (с. 255)
а) $y = \frac{x^6}{4^x + 5}$
Для нахождения производной данной функции воспользуемся правилом дифференцирования частного (формулой производной дроби): $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
В нашем случае $u(x) = x^6$ и $v(x) = 4^x + 5$.
Найдем производные $u'(x)$ и $v'(x)$:
$u'(x) = (x^6)' = 6x^5$
$v'(x) = (4^x + 5)' = (4^x)' + (5)' = 4^x \ln(4) + 0 = 4^x \ln(4)$.
Теперь подставим найденные производные в формулу производной частного:
$y' = \frac{(x^6)'(4^x + 5) - x^6(4^x + 5)'}{(4^x + 5)^2} = \frac{6x^5(4^x + 5) - x^6(4^x \ln(4))}{(4^x + 5)^2}$.
Можно вынести общий множитель $x^5$ в числителе за скобки для упрощения выражения:
$y' = \frac{x^5(6(4^x + 5) - x \cdot 4^x \ln(4))}{(4^x + 5)^2} = \frac{x^5(6 \cdot 4^x + 30 - x \cdot 4^x \ln(4))}{(4^x + 5)^2}$.
Ответ: $y' = \frac{x^5(6 \cdot 4^x + 30 - x \cdot 4^x \ln(4))}{(4^x + 5)^2}$.
б) $y = \frac{e^{-x}}{x^2 + 2}$
Применим правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Здесь $u(x) = e^{-x}$ и $v(x) = x^2 + 2$.
Найдем производные $u'(x)$ и $v'(x)$. Для $u'(x)$ используем правило дифференцирования сложной функции:
$u'(x) = (e^{-x})' = e^{-x} \cdot (-x)' = e^{-x} \cdot (-1) = -e^{-x}$.
$v'(x) = (x^2 + 2)' = 2x$.
Подставим производные в формулу:
$y' = \frac{(-e^{-x})(x^2 + 2) - e^{-x}(2x)}{(x^2 + 2)^2}$.
Вынесем общий множитель $-e^{-x}$ в числителе:
$y' = \frac{-e^{-x}((x^2 + 2) + 2x)}{(x^2 + 2)^2} = \frac{-e^{-x}(x^2 + 2x + 2)}{(x^2 + 2)^2}$.
Ответ: $y' = -\frac{e^{-x}(x^2 + 2x + 2)}{(x^2 + 2)^2}$.
в) $y = \frac{3^x}{2^x + 5^x}$
Используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
В данном случае $u(x) = 3^x$ и $v(x) = 2^x + 5^x$.
Найдем производные $u'(x)$ и $v'(x)$ по формуле $(a^x)' = a^x \ln(a)$:
$u'(x) = (3^x)' = 3^x \ln(3)$.
$v'(x) = (2^x + 5^x)' = (2^x)' + (5^x)' = 2^x \ln(2) + 5^x \ln(5)$.
Подставляем в формулу производной частного:
$y' = \frac{(3^x \ln(3))(2^x + 5^x) - 3^x(2^x \ln(2) + 5^x \ln(5))}{(2^x + 5^x)^2}$.
Раскроем скобки в числителе:
$y' = \frac{3^x \cdot 2^x \ln(3) + 3^x \cdot 5^x \ln(3) - 3^x \cdot 2^x \ln(2) - 3^x \cdot 5^x \ln(5)}{(2^x + 5^x)^2}$.
Сгруппируем слагаемые, используя свойство степеней $a^x b^x = (ab)^x$:
$y' = \frac{6^x \ln(3) + 15^x \ln(3) - 6^x \ln(2) - 15^x \ln(5)}{(2^x + 5^x)^2} = \frac{6^x(\ln(3) - \ln(2)) + 15^x(\ln(3) - \ln(5))}{(2^x + 5^x)^2}$.
Используя свойство логарифмов $\ln(a) - \ln(b) = \ln(\frac{a}{b})$, получим:
$y' = \frac{6^x \ln(\frac{3}{2}) + 15^x \ln(\frac{3}{5})}{(2^x + 5^x)^2}$.
Ответ: $y' = \frac{6^x \ln(\frac{3}{2}) + 15^x \ln(\frac{3}{5})}{(2^x + 5^x)^2}$.
г) $y = \frac{0.3^{-x}}{\sqrt{x} + 0.5}$
Снова применяем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Здесь $u(x) = 0.3^{-x}$ и $v(x) = \sqrt{x} + 0.5 = x^{1/2} + 0.5$.
Найдем производные $u'(x)$ и $v'(x)$:
$u'(x) = (0.3^{-x})' = 0.3^{-x} \ln(0.3) \cdot (-x)' = -0.3^{-x} \ln(0.3)$.
$v'(x) = (\sqrt{x} + 0.5)' = (x^{1/2})' + (0.5)' = \frac{1}{2}x^{-1/2} + 0 = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
Подставляем в формулу:
$y' = \frac{(-0.3^{-x} \ln(0.3))(\sqrt{x} + 0.5) - 0.3^{-x}(\frac{1}{2\sqrt{x}})}{(\sqrt{x} + 0.5)^2}$.
Вынесем общий множитель $-0.3^{-x}$ в числителе:
$y' = \frac{-0.3^{-x}(\ln(0.3)(\sqrt{x} + 0.5) + \frac{1}{2\sqrt{x}})}{(\sqrt{x} + 0.5)^2}$.
Ответ: $y' = -\frac{0.3^{-x}(\ln(0.3)(\sqrt{x} + 0.5) + \frac{1}{2\sqrt{x}})}{(\sqrt{x} + 0.5)^2}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 544 расположенного на странице 255 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №544 (с. 255), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.