Номер 548, страница 256 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 11. Производная показательной и логарифмической функций. Глава 4. Показательная и логарифмическая функции - номер 548, страница 256.

Условие.

548. a) $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$, $y = 3$, $x = 1$;

б) $y = e^x$, $y = e^{-x}$, $y = e$;

в) $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x$, $y = 1$, $x = -2$;

г) $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x$, $y = 4^x$, $y = 4$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = (\frac{1}{3})^x$, $y = 3$, $x = 1$, необходимо вычислить определенный интеграл.
Сначала найдем пределы интегрирования. Один предел задан: $x = 1$. Второй найдем из точки пересечения графиков $y = (\frac{1}{3})^x$ и $y = 3$:
$(\frac{1}{3})^x = 3$
$3^{-x} = 3^1$
$-x = 1 \implies x = -1$.
Таким образом, пределы интегрирования от $x = -1$ до $x = 1$.
На интервале $[-1, 1]$ график функции $y = 3$ находится выше графика $y = (\frac{1}{3})^x$.
Площадь фигуры $S$ вычисляется по формуле:
$S = \int_{-1}^{1} (3 - (\frac{1}{3})^x) dx$
Вычислим интеграл:
$\int (3 - (\frac{1}{3})^x) dx = \int 3 dx - \int (\frac{1}{3})^x dx = 3x - \frac{(\frac{1}{3})^x}{\ln(\frac{1}{3})} = 3x - \frac{3^{-x}}{-\ln(3)} = 3x + \frac{3^{-x}}{\ln(3)}$
Теперь вычислим определенный интеграл:
$S = \left[ 3x + \frac{3^{-x}}{\ln(3)} \right]_{-1}^{1} = \left(3(1) + \frac{3^{-1}}{\ln(3)}\right) - \left(3(-1) + \frac{3^{-(-1)}}{\ln(3)}\right)$
$S = \left(3 + \frac{1/3}{\ln(3)}\right) - \left(-3 + \frac{3}{\ln(3)}\right) = 3 + \frac{1}{3\ln(3)} + 3 - \frac{3}{\ln(3)} = 6 + \frac{1 - 9}{3\ln(3)} = 6 - \frac{8}{3\ln(3)}$
Ответ: $S = 6 - \frac{8}{3\ln(3)}$

б) Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = e^x$, $y = e^{-x}$, $y = e$.
Найдем точки пересечения, чтобы определить пределы интегрирования.
$y = e^x$ и $y = e$: $e^x = e \implies x = 1$.
$y = e^{-x}$ и $y = e$: $e^{-x} = e \implies -x = 1 \implies x = -1$.
$y = e^x$ и $y = e^{-x}$: $e^x = e^{-x} \implies x = -x \implies 2x=0 \implies x = 0$.
Фигура ограничена сверху линией $y=e$. Снизу она ограничена кривой $y=e^{-x}$ на промежутке $[-1, 0]$ и кривой $y=e^x$ на промежутке $[0, 1]$.
Площадь $S$ является суммой двух интегралов:
$S = \int_{-1}^{0} (e - e^{-x}) dx + \int_{0}^{1} (e - e^x) dx$
Вычислим первый интеграл:
$\int_{-1}^{0} (e - e^{-x}) dx = \left[ ex - (-e^{-x}) \right]_{-1}^{0} = \left[ ex + e^{-x} \right]_{-1}^{0} = (e \cdot 0 + e^0) - (e \cdot (-1) + e^{-(-1)}) = (0+1) - (-e+e) = 1 - 0 = 1$
Вычислим второй интеграл:
$\int_{0}^{1} (e - e^x) dx = \left[ ex - e^x \right]_{0}^{1} = (e \cdot 1 - e^1) - (e \cdot 0 - e^0) = (e - e) - (0 - 1) = 0 - (-1) = 1$
Общая площадь:
$S = 1 + 1 = 2$
Ответ: $S=2$

в) Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = (\frac{1}{2})^x$, $y = 1$, $x = -2$.
Найдем пределы интегрирования. Один предел задан: $x = -2$. Второй найдем из точки пересечения графиков $y = (\frac{1}{2})^x$ и $y = 1$:
$(\frac{1}{2})^x = 1 \implies x = 0$.
Пределы интегрирования от $x = -2$ до $x = 0$.
На интервале $[-2, 0]$ график функции $y = (\frac{1}{2})^x$ находится выше графика $y = 1$. Например, при $x=-1$, $y=(\frac{1}{2})^{-1}=2>1$.
Площадь фигуры $S$ вычисляется по формуле:
$S = \int_{-2}^{0} ((\frac{1}{2})^x - 1) dx$
Вычислим интеграл:
$S = \left[ \frac{(\frac{1}{2})^x}{\ln(\frac{1}{2})} - x \right]_{-2}^{0} = \left[ -\frac{2^{-x}}{\ln(2)} - x \right]_{-2}^{0} = \left(-\frac{2^{-0}}{\ln(2)} - 0\right) - \left(-\frac{2^{-(-2)}}{\ln(2)} - (-2)\right)$
$S = \left(-\frac{1}{\ln(2)}\right) - \left(-\frac{2^2}{\ln(2)} + 2\right) = -\frac{1}{\ln(2)} + \frac{4}{\ln(2)} - 2 = \frac{3}{\ln(2)} - 2$
Ответ: $S = \frac{3}{\ln(2)} - 2$

г) Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = (\frac{1}{2})^x$, $y = 4^x$, $y = 4$.
Найдем точки пересечения, чтобы определить пределы интегрирования.
$y = 4^x$ и $y=4$: $4^x=4 \implies x=1$.
$y = (\frac{1}{2})^x$ и $y=4$: $(\frac{1}{2})^x = 4 \implies 2^{-x} = 2^2 \implies x=-2$.
$y = 4^x$ и $y = (\frac{1}{2})^x$: $4^x = (\frac{1}{2})^x \implies (2^2)^x = 2^{-x} \implies 2^{2x} = 2^{-x} \implies 2x=-x \implies 3x=0 \implies x=0$.
Фигура ограничена сверху линией $y=4$. Снизу она ограничена кривой $y=(\frac{1}{2})^x$ на промежутке $[-2, 0]$ и кривой $y=4^x$ на промежутке $[0, 1]$.
Площадь $S$ является суммой двух интегралов:
$S = \int_{-2}^{0} (4 - (\frac{1}{2})^x) dx + \int_{0}^{1} (4 - 4^x) dx$
Вычислим первый интеграл:
$\int_{-2}^{0} (4 - 2^{-x}) dx = \left[ 4x - \frac{2^{-x}}{-1 \cdot \ln(2)} \right]_{-2}^{0} = \left[ 4x + \frac{2^{-x}}{\ln(2)} \right]_{-2}^{0} = (0 + \frac{2^0}{\ln(2)}) - (4(-2) + \frac{2^{-(-2)}}{\ln(2)}) = \frac{1}{\ln(2)} - (-8 + \frac{4}{\ln(2)}) = 8 - \frac{3}{\ln(2)}$
Вычислим второй интеграл:
$\int_{0}^{1} (4 - 4^x) dx = \left[ 4x - \frac{4^x}{\ln(4)} \right]_{0}^{1} = \left(4(1) - \frac{4^1}{\ln(4)}\right) - \left(4(0) - \frac{4^0}{\ln(4)}\right) = 4 - \frac{4}{\ln(4)} + \frac{1}{\ln(4)} = 4 - \frac{3}{\ln(4)} = 4 - \frac{3}{2\ln(2)}$
Общая площадь:
$S = \left(8 - \frac{3}{\ln(2)}\right) + \left(4 - \frac{3}{2\ln(2)}\right) = 12 - \left(\frac{3}{\ln(2)} + \frac{3}{2\ln(2)}\right) = 12 - \left(\frac{6}{2\ln(2)} + \frac{3}{2\ln(2)}\right) = 12 - \frac{9}{2\ln(2)}$
Ответ: $S = 12 - \frac{9}{2\ln(2)}$