Номер 543, страница 255 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 11. Производная показательной и логарифмической функций - номер 543, страница 255.

Условие.

Найдите производную каждой из функций (543—544).

543.—

a) $y = e^{x^2} \sin \frac{x}{2}$;

б) $y = 7^x \tan 3x$;

в) $y = e^{\sqrt{x}} \cos 2x$;

г) $y = 2^{-x} \cot \frac{x}{3}$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Дана функция $y = e^{x^2} \sin{\frac{x}{2}}$.

Для нахождения производной этой функции необходимо применить правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

В нашем случае, $u(x) = e^{x^2}$ и $v(x) = \sin{\frac{x}{2}}$.

Найдем производные каждой из этих функций, используя правило дифференцирования сложной функции $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

Производная от $u(x) = e^{x^2}$:

$u'(x) = (e^{x^2})' = e^{x^2} \cdot (x^2)' = e^{x^2} \cdot 2x = 2x e^{x^2}$.

Производная от $v(x) = \sin{\frac{x}{2}}$:

$v'(x) = (\sin{\frac{x}{2}})' = \cos{\frac{x}{2}} \cdot (\frac{x}{2})' = \cos{\frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\cos{\frac{x}{2}}$.

Теперь подставим найденные производные в формулу для производной произведения:

$y' = u'v + uv' = (2x e^{x^2}) \cdot \sin{\frac{x}{2}} + e^{x^2} \cdot (\frac{1}{2}\cos{\frac{x}{2}})$.

Вынесем общий множитель $e^{x^2}$ за скобки для упрощения выражения:

$y' = e^{x^2} (2x \sin{\frac{x}{2}} + \frac{1}{2}\cos{\frac{x}{2}})$.

Ответ: $y' = e^{x^2} (2x \sin{\frac{x}{2}} + \frac{1}{2}\cos{\frac{x}{2}})$.

б) Дана функция $y = 7^{\frac{x}{2}} \text{tg}(3x)$.

Это произведение двух функций: $u(x) = 7^{\frac{x}{2}}$ и $v(x) = \text{tg}(3x)$. Применим правило $(uv)' = u'v + uv'$.

Найдем производную $u(x) = 7^{\frac{x}{2}}$, используя формулу $(a^z)' = a^z \ln a \cdot z'$:

$u'(x) = (7^{\frac{x}{2}})' = 7^{\frac{x}{2}} \ln 7 \cdot (\frac{x}{2})' = 7^{\frac{x}{2}} \ln 7 \cdot \frac{1}{2} = \frac{\ln 7}{2} \cdot 7^{\frac{x}{2}}$.

Найдем производную $v(x) = \text{tg}(3x)$, используя формулу $(\text{tg} z)' = \frac{1}{\cos^2 z} \cdot z'$:

$v'(x) = (\text{tg}(3x))' = \frac{1}{\cos^2(3x)} \cdot (3x)' = \frac{3}{\cos^2(3x)}$.

Подставляем в правило произведения:

$y' = u'v + uv' = (\frac{\ln 7}{2} \cdot 7^{\frac{x}{2}}) \cdot \text{tg}(3x) + 7^{\frac{x}{2}} \cdot \frac{3}{\cos^2(3x)}$.

Вынесем общий множитель $7^{\frac{x}{2}}$:

$y' = 7^{\frac{x}{2}} \left( \frac{\ln 7}{2} \text{tg}(3x) + \frac{3}{\cos^2(3x)} \right)$.

Ответ: $y' = 7^{\frac{x}{2}} \left( \frac{\ln 7}{2} \text{tg}(3x) + \frac{3}{\cos^2(3x)} \right)$.

в) Дана функция $y = e^{\sqrt{x}} \cos(2x)$.

Используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$ для $u(x) = e^{\sqrt{x}}$ и $v(x) = \cos(2x)$.

Найдем производную $u(x) = e^{\sqrt{x}}$:

$u'(x) = (e^{\sqrt{x}})' = e^{\sqrt{x}} \cdot (\sqrt{x})' = e^{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Найдем производную $v(x) = \cos(2x)$:

$v'(x) = (\cos(2x))' = -\sin(2x) \cdot (2x)' = -2\sin(2x)$.

Подставляем в правило произведения:

$y' = u'v + uv' = \left(e^{\sqrt{x}} \frac{1}{2\sqrt{x}}\right) \cdot \cos(2x) + e^{\sqrt{x}} \cdot (-2\sin(2x))$.

$y' = \frac{e^{\sqrt{x}}\cos(2x)}{2\sqrt{x}} - 2e^{\sqrt{x}}\sin(2x)$.

Вынесем общий множитель $e^{\sqrt{x}}$:

$y' = e^{\sqrt{x}} \left( \frac{\cos(2x)}{2\sqrt{x}} - 2\sin(2x) \right)$.

Ответ: $y' = e^{\sqrt{x}} \left( \frac{\cos(2x)}{2\sqrt{x}} - 2\sin(2x) \right)$.

г) Дана функция $y = 2^{-x} \text{ctg}{\frac{x}{3}}$.

Это произведение функций $u(x) = 2^{-x}$ и $v(x) = \text{ctg}{\frac{x}{3}}$. Применим правило $(uv)' = u'v + uv'$.

Найдем производную $u(x) = 2^{-x}$:

$u'(x) = (2^{-x})' = 2^{-x} \ln 2 \cdot (-x)' = -2^{-x} \ln 2$.

Найдем производную $v(x) = \text{ctg}{\frac{x}{3}}$, используя формулу $(\text{ctg} z)' = -\frac{1}{\sin^2 z} \cdot z'$:

$v'(x) = \left(\text{ctg}{\frac{x}{3}}\right)' = -\frac{1}{\sin^2(\frac{x}{3})} \cdot \left(\frac{x}{3}\right)' = -\frac{1}{\sin^2(\frac{x}{3})} \cdot \frac{1}{3} = -\frac{1}{3\sin^2(\frac{x}{3})}$.

Подставляем в правило произведения:

$y' = u'v + uv' = (-2^{-x} \ln 2) \cdot \text{ctg}{\frac{x}{3}} + 2^{-x} \cdot \left(-\frac{1}{3\sin^2(\frac{x}{3})}\right)$.

$y' = -2^{-x} \ln 2 \cdot \text{ctg}{\frac{x}{3}} - \frac{2^{-x}}{3\sin^2(\frac{x}{3})}$.

Вынесем общий множитель $-2^{-x}$:

$y' = -2^{-x} \left( \ln 2 \cdot \text{ctg}{\frac{x}{3}} + \frac{1}{3\sin^2(\frac{x}{3})} \right)$.

Ответ: $y' = -2^{-x} \left( \ln 2 \cdot \text{ctg}\frac{x}{3} + \frac{1}{3\sin^2(\frac{x}{3})} \right)$.