Номер 542, страница 255 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 11. Производная показательной и логарифмической функций. Глава 4. Показательная и логарифмическая функции - номер 542, страница 255.
№542 (с. 255)
Условие. №542 (с. 255)
скриншот условия

542. Вычислите интеграл:
a) $\int_{0}^{1} 0.5^{x} dx;$
б) $\int_{0}^{1} e^{2x} dx;$
в) $\int_{-2}^{1} 2^{x} dx;$
г) $\int_{-\frac{1}{2}}^{1} 3^{x} dx.$
Решение 1. №542 (с. 255)

Решение 3. №542 (с. 255)

Решение 5. №542 (с. 255)
а) Для вычисления определенного интеграла $\int_{0}^{1} 0,5^x dx$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для $f(x)$. Первообразная для показательной функции $a^x$ находится по формуле $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a}$. В нашем случае $a = 0,5$. Находим первообразную: $F(x) = \frac{0,5^x}{\ln 0,5}$. Теперь вычисляем интеграл: $\int_{0}^{1} 0,5^x dx = \left. \frac{0,5^x}{\ln 0,5} \right|_{0}^{1} = \frac{0,5^1}{\ln 0,5} - \frac{0,5^0}{\ln 0,5} = \frac{0,5 - 1}{\ln 0,5} = \frac{-0,5}{\ln 0,5}$. Учитывая, что $\ln 0,5 = \ln(1/2) = \ln(2^{-1}) = -\ln 2$, получаем: $\frac{-0,5}{-\ln 2} = \frac{0,5}{\ln 2} = \frac{1}{2\ln 2}$.
Ответ: $\frac{1}{2\ln 2}$.
б) Вычислим интеграл $\int_{0}^{1} e^{2x} dx$. Первообразная для функции $e^{kx}$ равна $\frac{1}{k}e^{kx}$. В данном случае $k=2$. Таким образом, первообразная для $e^{2x}$ есть $F(x) = \frac{1}{2}e^{2x}$. Применяем формулу Ньютона-Лейбница: $\int_{0}^{1} e^{2x} dx = \left. \frac{1}{2}e^{2x} \right|_{0}^{1} = \frac{1}{2}e^{2 \cdot 1} - \frac{1}{2}e^{2 \cdot 0} = \frac{1}{2}e^2 - \frac{1}{2}e^0 = \frac{1}{2}e^2 - \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{e^2 - 1}{2}$.
Ответ: $\frac{e^2 - 1}{2}$.
в) Вычислим интеграл $\int_{-2}^{1} 2^x dx$. Используем ту же формулу для первообразной показательной функции $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a}$. Здесь $a=2$, поэтому первообразная $F(x) = \frac{2^x}{\ln 2}$. Подставляем пределы интегрирования по формуле Ньютона-Лейбница: $\int_{-2}^{1} 2^x dx = \left. \frac{2^x}{\ln 2} \right|_{-2}^{1} = \frac{2^1}{\ln 2} - \frac{2^{-2}}{\ln 2} = \frac{2}{\ln 2} - \frac{1/4}{\ln 2} = \frac{2 - \frac{1}{4}}{\ln 2} = \frac{\frac{7}{4}}{\ln 2} = \frac{7}{4\ln 2}$.
Ответ: $\frac{7}{4\ln 2}$.
г) Вычислим интеграл $\int_{-\frac{1}{2}}^{1} 3^x dx$. Первообразная для $3^x$ находится по формуле $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a}$, где $a=3$. Следовательно, $F(x) = \frac{3^x}{\ln 3}$. Применяем формулу Ньютона-Лейбница: $\int_{-\frac{1}{2}}^{1} 3^x dx = \left. \frac{3^x}{\ln 3} \right|_{-\frac{1}{2}}^{1} = \frac{3^1}{\ln 3} - \frac{3^{-1/2}}{\ln 3} = \frac{3 - \frac{1}{\sqrt{3}}}{\ln 3}$. Упростим выражение: $\frac{3 - \frac{1}{\sqrt{3}}}{\ln 3} = \frac{3 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{\ln 3} = \frac{\frac{9 - \sqrt{3}}{3}}{\ln 3} = \frac{9 - \sqrt{3}}{3\ln 3}$.
Ответ: $\frac{9 - \sqrt{3}}{3\ln 3}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 542 расположенного на странице 255 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №542 (с. 255), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.