Номер 542, страница 255 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 11. Производная показательной и логарифмической функций - номер 542, страница 255.

Условие.

542. Вычислите интеграл:

a) $\int_{0}^{1} 0.5^{x} dx;$

б) $\int_{0}^{1} e^{2x} dx;$

в) $\int_{-2}^{1} 2^{x} dx;$

г) $\int_{-\frac{1}{2}}^{1} 3^{x} dx.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Для вычисления определенного интеграла $\int_{0}^{1} 0,5^x dx$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для $f(x)$. Первообразная для показательной функции $a^x$ находится по формуле $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a}$. В нашем случае $a = 0,5$. Находим первообразную: $F(x) = \frac{0,5^x}{\ln 0,5}$. Теперь вычисляем интеграл: $\int_{0}^{1} 0,5^x dx = \left. \frac{0,5^x}{\ln 0,5} \right|_{0}^{1} = \frac{0,5^1}{\ln 0,5} - \frac{0,5^0}{\ln 0,5} = \frac{0,5 - 1}{\ln 0,5} = \frac{-0,5}{\ln 0,5}$. Учитывая, что $\ln 0,5 = \ln(1/2) = \ln(2^{-1}) = -\ln 2$, получаем: $\frac{-0,5}{-\ln 2} = \frac{0,5}{\ln 2} = \frac{1}{2\ln 2}$.

Ответ: $\frac{1}{2\ln 2}$.

б) Вычислим интеграл $\int_{0}^{1} e^{2x} dx$. Первообразная для функции $e^{kx}$ равна $\frac{1}{k}e^{kx}$. В данном случае $k=2$. Таким образом, первообразная для $e^{2x}$ есть $F(x) = \frac{1}{2}e^{2x}$. Применяем формулу Ньютона-Лейбница: $\int_{0}^{1} e^{2x} dx = \left. \frac{1}{2}e^{2x} \right|_{0}^{1} = \frac{1}{2}e^{2 \cdot 1} - \frac{1}{2}e^{2 \cdot 0} = \frac{1}{2}e^2 - \frac{1}{2}e^0 = \frac{1}{2}e^2 - \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{e^2 - 1}{2}$.

Ответ: $\frac{e^2 - 1}{2}$.

в) Вычислим интеграл $\int_{-2}^{1} 2^x dx$. Используем ту же формулу для первообразной показательной функции $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a}$. Здесь $a=2$, поэтому первообразная $F(x) = \frac{2^x}{\ln 2}$. Подставляем пределы интегрирования по формуле Ньютона-Лейбница: $\int_{-2}^{1} 2^x dx = \left. \frac{2^x}{\ln 2} \right|_{-2}^{1} = \frac{2^1}{\ln 2} - \frac{2^{-2}}{\ln 2} = \frac{2}{\ln 2} - \frac{1/4}{\ln 2} = \frac{2 - \frac{1}{4}}{\ln 2} = \frac{\frac{7}{4}}{\ln 2} = \frac{7}{4\ln 2}$.

Ответ: $\frac{7}{4\ln 2}$.

г) Вычислим интеграл $\int_{-\frac{1}{2}}^{1} 3^x dx$. Первообразная для $3^x$ находится по формуле $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a}$, где $a=3$. Следовательно, $F(x) = \frac{3^x}{\ln 3}$. Применяем формулу Ньютона-Лейбница: $\int_{-\frac{1}{2}}^{1} 3^x dx = \left. \frac{3^x}{\ln 3} \right|_{-\frac{1}{2}}^{1} = \frac{3^1}{\ln 3} - \frac{3^{-1/2}}{\ln 3} = \frac{3 - \frac{1}{\sqrt{3}}}{\ln 3}$. Упростим выражение: $\frac{3 - \frac{1}{\sqrt{3}}}{\ln 3} = \frac{3 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{\ln 3} = \frac{\frac{9 - \sqrt{3}}{3}}{\ln 3} = \frac{9 - \sqrt{3}}{3\ln 3}$.

Ответ: $\frac{9 - \sqrt{3}}{3\ln 3}$.