Номер 535, страница 251 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 10. Показательная и логарифмическая функции. Глава 4. Показательная и логарифмическая функции - номер 535, страница 251.
№535 (с. 251)
Условие. №535 (с. 251)
скриншот условия

535.-
a) $f(x) = x^2 + 1, x \le 0;$
б) $f(x) = 2x, (-\infty; \infty);$
В) $f(x) = \sqrt[4]{x}, x \ge 0;$
г) $f(x) = x^3 + 1, (-\infty; \infty).$
Решение 1. №535 (с. 251)


Решение 5. №535 (с. 251)
а) Дана функция $y = f(x) = x^2 + 1$ с областью определения $D(f) = (-\infty, 0]$.
Чтобы найти обратную функцию, необходимо сначала определить область значений $E(f)$ исходной функции. На промежутке $(-\infty, 0]$ функция $x^2$ является убывающей, принимая значения от $+\infty$ до $0$. Следовательно, функция $f(x) = x^2 + 1$ также является убывающей на своей области определения.
Найдем значения на границах:
При $x=0$, $y = 0^2 + 1 = 1$.
Когда $x \to -\infty$, $x^2 \to +\infty$, и, следовательно, $y \to +\infty$.
Таким образом, область значений функции $E(f) = [1, +\infty)$. Эта область является областью определения для обратной функции.
Теперь выразим переменную $x$ через $y$ из уравнения $y = x^2 + 1$:
$x^2 = y - 1$
$x = \pm\sqrt{y - 1}$
Поскольку по условию $x \le 0$, мы выбираем отрицательный корень:
$x = -\sqrt{y - 1}$
Для получения обратной функции в стандартном виде заменим $x$ на $f^{-1}(x)$ и $y$ на $x$. Получаем: $f^{-1}(x) = -\sqrt{x - 1}$.
Область определения обратной функции $D(f^{-1})$ совпадает с областью значений исходной функции $E(f)$, то есть $x \in [1, +\infty)$.
Ответ: $f^{-1}(x) = -\sqrt{x - 1}$ с областью определения $[1, +\infty)$.
б) Дана функция $y = f(x) = 2x$ с областью определения $D(f) = (-\infty, \infty)$.
Это линейная функция, которая является монотонно возрастающей на всей числовой оси. Её область значений $E(f)$ также является $(-\infty, \infty)$.
Выразим $x$ через $y$ из уравнения $y = 2x$:
$x = \frac{y}{2}$
Заменяя $y$ на $x$, получаем обратную функцию: $f^{-1}(x) = \frac{x}{2}$.
Область определения обратной функции $D(f^{-1})$ совпадает с областью значений исходной функции $E(f)$, то есть $x \in (-\infty, \infty)$.
Ответ: $f^{-1}(x) = \frac{1}{2}x$ с областью определения $(-\infty, \infty)$.
в) Дана функция $y = f(x) = \sqrt[4]{x}$ с областью определения $D(f) = [0, \infty)$.
Эта функция является монотонно возрастающей на своей области определения.
Найдем область значений $E(f)$. При $x=0$, $y = \sqrt[4]{0} = 0$. Когда $x \to +\infty$, $y \to +\infty$.
Следовательно, область значений $E(f) = [0, \infty)$.
Теперь выразим $x$ через $y$ из уравнения $y = \sqrt[4]{x}$. Учитывая, что $x \ge 0$, имеем $y \ge 0$.
Возведем обе части уравнения в четвертую степень:
$y^4 = (\sqrt[4]{x})^4$
$x = y^4$
Заменяя $y$ на $x$, получаем обратную функцию: $f^{-1}(x) = x^4$.
Область определения обратной функции $D(f^{-1})$ есть область значений исходной функции $E(f)$, то есть $x \in [0, \infty)$.
Ответ: $f^{-1}(x) = x^4$ с областью определения $[0, \infty)$.
г) Дана функция $y = f(x) = x^3 + 1$ с областью определения $D(f) = (-\infty, \infty)$.
Функция $y=x^3$ является строго возрастающей на всей числовой оси, следовательно, функция $f(x) = x^3 + 1$ также строго возрастает.
Её область значений $E(f)$ совпадает с областью определения и равна $(-\infty, \infty)$.
Выразим $x$ через $y$ из уравнения $y = x^3 + 1$:
$x^3 = y - 1$
$x = \sqrt[3]{y - 1}$
Заменяя $y$ на $x$, получаем обратную функцию: $f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x - 1}$.
Область определения обратной функции $D(f^{-1})$ совпадает с областью значений исходной функции $E(f)$, то есть $x \in (-\infty, \infty)$.
Ответ: $f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x - 1}$ с областью определения $(-\infty, \infty)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 535 расположенного на странице 251 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №535 (с. 251), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.