Номер 535, страница 251 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 10. Показательная и логарифмическая функции - номер 535, страница 251.

Условие.

535.-

a) $f(x) = x^2 + 1, x \le 0;$

б) $f(x) = 2x, (-\infty; \infty);$

В) $f(x) = \sqrt[4]{x}, x \ge 0;$

г) $f(x) = x^3 + 1, (-\infty; \infty).$

Решение 1.

Решение 5.

а) Дана функция $y = f(x) = x^2 + 1$ с областью определения $D(f) = (-\infty, 0]$.
Чтобы найти обратную функцию, необходимо сначала определить область значений $E(f)$ исходной функции. На промежутке $(-\infty, 0]$ функция $x^2$ является убывающей, принимая значения от $+\infty$ до $0$. Следовательно, функция $f(x) = x^2 + 1$ также является убывающей на своей области определения.
Найдем значения на границах:
При $x=0$, $y = 0^2 + 1 = 1$.
Когда $x \to -\infty$, $x^2 \to +\infty$, и, следовательно, $y \to +\infty$.
Таким образом, область значений функции $E(f) = [1, +\infty)$. Эта область является областью определения для обратной функции.
Теперь выразим переменную $x$ через $y$ из уравнения $y = x^2 + 1$:
$x^2 = y - 1$
$x = \pm\sqrt{y - 1}$
Поскольку по условию $x \le 0$, мы выбираем отрицательный корень:
$x = -\sqrt{y - 1}$
Для получения обратной функции в стандартном виде заменим $x$ на $f^{-1}(x)$ и $y$ на $x$. Получаем: $f^{-1}(x) = -\sqrt{x - 1}$.
Область определения обратной функции $D(f^{-1})$ совпадает с областью значений исходной функции $E(f)$, то есть $x \in [1, +\infty)$.
Ответ: $f^{-1}(x) = -\sqrt{x - 1}$ с областью определения $[1, +\infty)$.

б) Дана функция $y = f(x) = 2x$ с областью определения $D(f) = (-\infty, \infty)$.
Это линейная функция, которая является монотонно возрастающей на всей числовой оси. Её область значений $E(f)$ также является $(-\infty, \infty)$.
Выразим $x$ через $y$ из уравнения $y = 2x$:
$x = \frac{y}{2}$
Заменяя $y$ на $x$, получаем обратную функцию: $f^{-1}(x) = \frac{x}{2}$.
Область определения обратной функции $D(f^{-1})$ совпадает с областью значений исходной функции $E(f)$, то есть $x \in (-\infty, \infty)$.
Ответ: $f^{-1}(x) = \frac{1}{2}x$ с областью определения $(-\infty, \infty)$.

в) Дана функция $y = f(x) = \sqrt[4]{x}$ с областью определения $D(f) = [0, \infty)$.
Эта функция является монотонно возрастающей на своей области определения.
Найдем область значений $E(f)$. При $x=0$, $y = \sqrt[4]{0} = 0$. Когда $x \to +\infty$, $y \to +\infty$.
Следовательно, область значений $E(f) = [0, \infty)$.
Теперь выразим $x$ через $y$ из уравнения $y = \sqrt[4]{x}$. Учитывая, что $x \ge 0$, имеем $y \ge 0$.
Возведем обе части уравнения в четвертую степень:
$y^4 = (\sqrt[4]{x})^4$
$x = y^4$
Заменяя $y$ на $x$, получаем обратную функцию: $f^{-1}(x) = x^4$.
Область определения обратной функции $D(f^{-1})$ есть область значений исходной функции $E(f)$, то есть $x \in [0, \infty)$.
Ответ: $f^{-1}(x) = x^4$ с областью определения $[0, \infty)$.

г) Дана функция $y = f(x) = x^3 + 1$ с областью определения $D(f) = (-\infty, \infty)$.
Функция $y=x^3$ является строго возрастающей на всей числовой оси, следовательно, функция $f(x) = x^3 + 1$ также строго возрастает.
Её область значений $E(f)$ совпадает с областью определения и равна $(-\infty, \infty)$.
Выразим $x$ через $y$ из уравнения $y = x^3 + 1$:
$x^3 = y - 1$
$x = \sqrt[3]{y - 1}$
Заменяя $y$ на $x$, получаем обратную функцию: $f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x - 1}$.
Область определения обратной функции $D(f^{-1})$ совпадает с областью значений исходной функции $E(f)$, то есть $x \in (-\infty, \infty)$.
Ответ: $f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x - 1}$ с областью определения $(-\infty, \infty)$.