Номер 532, страница 250 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 10. Показательная и логарифмическая функции - номер 532, страница 250.

Условие.

532. a) $f(x) = -\frac{1}{x}$;

б) $f(x) = 2x^2 (x \geq 0)$;

в) $f(x) = \frac{x}{x+2}$;

г) $f(x) = \sqrt{x+1}$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Для нахождения обратной функции к $f(x) = -\frac{1}{x}$, заменим $f(x)$ на $y$:$y = -\frac{1}{x}$.Теперь, чтобы найти обратную функцию, нужно поменять местами переменные $x$ и $y$ и затем выразить $y$ через $x$:$x = -\frac{1}{y}$.Умножим обе части уравнения на $y$ (при $y \neq 0$):$xy = -1$.Теперь разделим обе части на $x$ (при $x \neq 0$):$y = -\frac{1}{x}$.Таким образом, обратная функция $g(x)$ совпадает с исходной функцией. Область определения исходной функции $D(f)$ — это все действительные числа, кроме $0$, то есть $(-\infty; 0) \cup (0; \infty)$. Область значений $E(f)$ также $(-\infty; 0) \cup (0; \infty)$. Для обратной функции $g(x)$ её область определения $D(g)$ равна $E(f)$, а область значений $E(g)$ равна $D(f)$, что соответствует найденной функции.
Ответ: $g(x) = -\frac{1}{x}$.

б) Дана функция $f(x) = 2x^2$ с ограничением на область определения $x \ge 0$. Заменим $f(x)$ на $y$:$y = 2x^2$.Поменяем местами $x$ и $y$:$x = 2y^2$.Выразим $y$. Сначала разделим на 2:$y^2 = \frac{x}{2}$.Извлечем квадратный корень:$y = \pm\sqrt{\frac{x}{2}}$.Так как для исходной функции было задано условие $x \ge 0$, это означает, что область значений обратной функции должна быть $y \ge 0$. Следовательно, мы должны выбрать знак плюс.$y = \sqrt{\frac{x}{2}}$.Область определения исходной функции $D(f) = [0; \infty)$. Область значений $E(f) = [0; \infty)$, так как $x^2 \ge 0$.Область определения обратной функции $g(x) = \sqrt{\frac{x}{2}}$ должна быть $x \ge 0$, что совпадает с $E(f)$ и обеспечивает неотрицательность подкоренного выражения. Область значений $E(g) = [0; \infty)$, что совпадает с $D(f)$.
Ответ: $g(x) = \sqrt{\frac{x}{2}}$.

в) Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{x}{x+2}$. Заменим $f(x)$ на $y$:$y = \frac{x}{x+2}$.Поменяем местами $x$ и $y$:$x = \frac{y}{y+2}$.Теперь выразим $y$ через $x$. Умножим обе части на знаменатель $(y+2)$:$x(y+2) = y$.Раскроем скобки:$xy + 2x = y$.Сгруппируем члены, содержащие $y$:$xy - y = -2x$.Вынесем $y$ за скобку:$y(x-1) = -2x$.Разделим на $(x-1)$:$y = \frac{-2x}{x-1} = \frac{2x}{1-x}$.Область определения исходной функции $D(f): x \neq -2$. Область значений $E(f): y \neq 1$.Для обратной функции $g(x) = \frac{2x}{1-x}$, область определения $D(g): x \neq 1$, что соответствует $E(f)$. Область значений $E(g): y \neq -2$, что соответствует $D(f)$.
Ответ: $g(x) = \frac{2x}{1-x}$.

г) Дана функция $f(x) = \sqrt{x+1}$. Заменим $f(x)$ на $y$:$y = \sqrt{x+1}$.Поменяем местами $x$ и $y$:$x = \sqrt{y+1}$.Выразим $y$. Для этого возведем обе части уравнения в квадрат:$x^2 = y+1$.Отсюда получаем:$y = x^2-1$.Теперь определим области определения и значений. Для исходной функции $f(x) = \sqrt{x+1}$ область определения $D(f)$ задается условием $x+1 \ge 0$, то есть $x \ge -1$. Таким образом, $D(f) = [-1; \infty)$. Область значений $E(f)$ для арифметического квадратного корня — это все неотрицательные числа, то есть $E(f) = [0; \infty)$.Для обратной функции $g(x) = x^2-1$ область определения $D(g)$ должна совпадать с областью значений $E(f)$, то есть $D(g) = [0; \infty)$. Область значений $E(g)$ должна совпадать с областью определения $D(f)$, то есть $E(g) = [-1; \infty)$. Таким образом, обратная функция задается формулой $g(x) = x^2-1$ при условии, что $x \ge 0$.
Ответ: $g(x) = x^2-1$, при $x \ge 0$.