Номер 530, страница 246 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 10. Показательная и логарифмическая функции - номер 530, страница 246.

Условие.

530. a) $ \begin{cases} 3^y \cdot 9^x = 81, \\ \lg (x+y)^2 - \lg x = 2 \lg 3; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} 10^{1+\lg(x+y)} = 50, \\ \lg (x+y) + \lg (x-y) = 2 - \lg 5; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} 3^x \cdot 2^y = 576, \\ \log_{\sqrt{2}}(y-x) = 4; \end{cases} $

г) $ \begin{cases} \lg x - \lg y = \lg 15 - 1, \\ 10^{\lg(3x-2y)} = 39. \end{cases} $

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 3^y \cdot 9^x = 81 \\ \lg (x+y)^2 - \lg x = 2 \lg 3 \end{cases}$

Область допустимых значений (ОДЗ) для второго уравнения: $x > 0$ и $(x+y)^2 > 0$, что означает $x+y \neq 0$.

Упростим первое уравнение. Так как $9 = 3^2$ и $81 = 3^4$, уравнение можно переписать в виде:

$3^y \cdot (3^2)^x = 3^4$

$3^y \cdot 3^{2x} = 3^4$

Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получаем:

$3^{y+2x} = 3^4$

Отсюда следует: $y + 2x = 4$.

Теперь упростим второе уравнение, используя свойства логарифмов $\lg a - \lg b = \lg(a/b)$ и $n \lg a = \lg a^n$:

$\lg \frac{(x+y)^2}{x} = \lg 3^2$

$\lg \frac{(x+y)^2}{x} = \lg 9$

Приравнивая выражения под логарифмами, получаем: $\frac{(x+y)^2}{x} = 9$, или $(x+y)^2 = 9x$.

Теперь необходимо решить систему двух полученных уравнений:

$\begin{cases} y + 2x = 4 \\ (x+y)^2 = 9x \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $y$: $y = 4 - 2x$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$(x + (4 - 2x))^2 = 9x$

$(4 - x)^2 = 9x$

$16 - 8x + x^2 = 9x$

$x^2 - 17x + 16 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 17, а произведение равно 16. Корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 16$.

Оба корня удовлетворяют условию ОДЗ $x > 0$.

Найдем соответствующие значения $y$ для каждого корня:

1. При $x_1 = 1$, $y_1 = 4 - 2(1) = 2$. Проверим ОДЗ: $x+y = 1+2 = 3 \neq 0$. Решение $(1, 2)$ подходит.

2. При $x_2 = 16$, $y_2 = 4 - 2(16) = 4 - 32 = -28$. Проверим ОДЗ: $x+y = 16-28 = -12 \neq 0$. Решение $(16, -28)$ подходит.

Проверим оба решения в исходной системе.

Для $(1, 2)$: $3^2 \cdot 9^1 = 9 \cdot 9 = 81$ и $\lg(1+2)^2 - \lg 1 = \lg 9 - 0 = 2 \lg 3$. Верно.

Для $(16, -28)$: $3^{-28} \cdot 9^{16} = 3^{-28} \cdot 3^{32} = 3^4 = 81$ и $\lg(16-28)^2 - \lg 16 = \lg(-12)^2 - \lg 16 = \lg 144 - \lg 16 = \lg(144/16) = \lg 9 = 2 \lg 3$. Верно.

Ответ: $(1, 2)$, $(16, -28)$.

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 10^{1+\lg(x+y)} = 50 \\ \lg(x+y) + \lg(x-y) = 2 - \lg 5 \end{cases}$

ОДЗ: $x+y > 0$ и $x-y > 0$.

Упростим первое уравнение, используя свойство $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:

$10^1 \cdot 10^{\lg(x+y)} = 50$

$10 \cdot (x+y) = 50$

$x+y = 5$. Это удовлетворяет ОДЗ $x+y > 0$.

Упростим второе уравнение. Подставим в него найденное значение $x+y=5$:

$\lg 5 + \lg(x-y) = 2 - \lg 5$

$\lg(x-y) = 2 - 2 \lg 5$

Представим $2$ как $\lg 100$ и используем свойство $n \lg a = \lg a^n$:

$\lg(x-y) = \lg 100 - \lg 5^2$

$\lg(x-y) = \lg 100 - \lg 25$

Используем свойство $\lg a - \lg b = \lg(a/b)$:

$\lg(x-y) = \lg(100/25)$

$\lg(x-y) = \lg 4$

Отсюда $x-y = 4$. Это удовлетворяет ОДЗ $x-y > 0$.

Теперь решаем систему линейных уравнений:

$\begin{cases} x+y = 5 \\ x-y = 4 \end{cases}$

Сложив два уравнения, получим: $2x = 9$, откуда $x = 4.5$.

Вычтем второе уравнение из первого: $2y = 1$, откуда $y = 0.5$.

Ответ: $(4.5, 0.5)$.

в)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 3^x \cdot 2^y = 576 \\ \log_{\sqrt{2}}(y-x) = 4 \end{cases}$

ОДЗ для второго уравнения: $y-x > 0$, т.е. $y > x$.

Упростим второе уравнение по определению логарифма:

$y-x = (\sqrt{2})^4$

$y-x = (2^{1/2})^4 = 2^2 = 4$

Отсюда $y = x+4$. Это выражение гарантирует выполнение ОДЗ $y-x > 0$.

Подставим $y=x+4$ в первое уравнение:

$3^x \cdot 2^{x+4} = 576$

Используя свойства степеней:

$3^x \cdot 2^x \cdot 2^4 = 576$

$(3 \cdot 2)^x \cdot 16 = 576$

$6^x \cdot 16 = 576$

$6^x = \frac{576}{16}$

$6^x = 36$

$6^x = 6^2$

Отсюда $x = 2$.

Теперь найдем $y$: $y = x+4 = 2+4 = 6$.

Проверим решение $(2, 6)$:

$3^2 \cdot 2^6 = 9 \cdot 64 = 576$ (верно).

$\log_{\sqrt{2}}(6-2) = \log_{\sqrt{2}} 4 = 4$ (верно, так как $(\sqrt{2})^4 = 4$).

Ответ: $(2, 6)$.

г)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} \lg x - \lg y = \lg 15 - 1 \\ 10^{\lg(3x-2y)} = 39 \end{cases}$

ОДЗ: $x > 0$, $y > 0$, $3x-2y > 0$.

Упростим второе уравнение, используя основное логарифмическое тождество:

$3x-2y = 39$. Это удовлетворяет ОДЗ $3x-2y > 0$.

Упростим первое уравнение, представив $1$ как $\lg 10$ и используя свойства логарифмов:

$\lg x - \lg y = \lg 15 - \lg 10$

$\lg(x/y) = \lg(15/10)$

$\lg(x/y) = \lg(1.5)$

Отсюда $\frac{x}{y} = 1.5$, или $x = 1.5y$.

Теперь решаем систему линейных уравнений:

$\begin{cases} x = 1.5y \\ 3x-2y = 39 \end{cases}$

Подставим выражение для $x$ из первого уравнения во второе:

$3(1.5y) - 2y = 39$

$4.5y - 2y = 39$

$2.5y = 39$

$y = \frac{39}{2.5} = \frac{390}{25} = \frac{78}{5} = 15.6$

Теперь найдем $x$:

$x = 1.5y = 1.5 \cdot 15.6 = 23.4$

Проверим ОДЗ для решения $(23.4, 15.6)$:

$x = 23.4 > 0$ (верно).

$y = 15.6 > 0$ (верно).

$3x-2y = 3(23.4) - 2(15.6) = 70.2 - 31.2 = 39 > 0$ (верно).

Ответ: $(23.4, 15.6)$.