Номер 534, страница 250 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 10. Показательная и логарифмическая функции. Глава 4. Показательная и логарифмическая функции - номер 534, страница 250.

Условие.

534. По графику функции f (рис. 141) найдите значения обратной к f функции g в точках -2, 1 и 3. Постройте график функции g, укажите ее область определения и область значений:

а) $f(x) = f_1(x)$;

б) $f(x) = f_2(x)$;

в) $f(x) = f_3(x)$;

г) $f(x) = f_4(x)$.

Рис. 141

Решение 1.

Решение 5.

Для решения задачи воспользуемся определением обратной функции. Если функция $y = f(x)$ обратима, и $g$ - ее обратная функция, то $g(y) = x$. График обратной функции $g(x)$ симметричен графику исходной функции $f(x)$ относительно прямой $y=x$. Область определения обратной функции $D(g)$ совпадает с областью значений исходной функции $E(f)$, а область значений $E(g)$ совпадает с областью определения $D(f)$.

а) $f(x) = f_1(x)$

График функции $f_1(x)$ состоит из двух отрезков, соединяющих точки $(-4, -2)$, $(0, 0)$ и $(4, 8)$.

1. Нахождение значений обратной функции $g_1(x)$:

• Для нахождения $g_1(-2)$ ищем $x$, при котором $f_1(x) = -2$. Из графика видно, что это происходит при $x = -4$. Следовательно, $g_1(-2) = -4$.
• Для нахождения $g_1(1)$ ищем $x$, при котором $f_1(x) = 1$. Эта точка лежит на отрезке, соединяющем $(0, 0)$ и $(4, 8)$. Уравнение этого отрезка: $y = 2x$. Решаем уравнение $2x = 1$, получаем $x = 0.5$. Следовательно, $g_1(1) = 0.5$.
• Для нахождения $g_1(3)$ ищем $x$, при котором $f_1(x) = 3$. Эта точка лежит на том же отрезке $y=2x$. Решаем уравнение $2x = 3$, получаем $x = 1.5$. Следовательно, $g_1(3) = 1.5$.

2. Построение графика $g_1(x)$:

График $g_1(x)$ симметричен графику $f_1(x)$ относительно прямой $y=x$. Ключевые точки графика $f_1(x)$: $(-4, -2)$, $(0, 0)$, $(4, 8)$. Соответствующие им точки на графике $g_1(x)$: $(-2, -4)$, $(0, 0)$, $(8, 4)$. Для построения графика $g_1(x)$ нужно отметить эти точки и соединить их отрезками.

3. Область определения и область значений $g_1(x)$:

Область определения $f_1(x)$: $D(f_1) = [-4, 4]$. Область значений $f_1(x)$: $E(f_1) = [-2, 8]$.
Следовательно, для обратной функции $g_1(x)$:

• Область определения: $D(g_1) = E(f_1) = [-2, 8]$.
• Область значений: $E(g_1) = D(f_1) = [-4, 4]$.

Ответ: $g_1(-2)=-4$, $g_1(1)=0.5$, $g_1(3)=1.5$. График $g_1(x)$ — ломаная, соединяющая точки $(-2,-4)$, $(0,0)$ и $(8,4)$. Область определения $D(g_1) = [-2, 8]$, область значений $E(g_1) = [-4, 4]$.

б) $f(x) = f_2(x)$

График функции $f_2(x)$ — это отрезок, соединяющий точки $(-4, 4)$ и $(3, -6)$.

1. Нахождение значений обратной функции $g_2(x)$:

Найдем уравнение прямой, проходящей через точки $(-4, 4)$ и $(3, -6)$.
Угловой коэффициент: $k = \frac{-6 - 4}{3 - (-4)} = -\frac{10}{7}$.
Уравнение прямой: $y - 4 = -\frac{10}{7}(x + 4)$, что равносильно $y = -\frac{10}{7}x - \frac{12}{7}$.

• Для нахождения $g_2(-2)$ решаем уравнение $f_2(x) = -2$: $-\frac{10}{7}x - \frac{12}{7} = -2 \implies -10x - 12 = -14 \implies 10x = 2 \implies x = 0.2$. Следовательно, $g_2(-2) = 0.2$.
• Для нахождения $g_2(1)$ решаем уравнение $f_2(x) = 1$: $-\frac{10}{7}x - \frac{12}{7} = 1 \implies -10x - 12 = 7 \implies 10x = -19 \implies x = -1.9$. Следовательно, $g_2(1) = -1.9$.
• Для нахождения $g_2(3)$ решаем уравнение $f_2(x) = 3$: $-\frac{10}{7}x - \frac{12}{7} = 3 \implies -10x - 12 = 21 \implies 10x = -33 \implies x = -3.3$. Следовательно, $g_2(3) = -3.3$.

2. Построение графика $g_2(x)$:

Ключевые точки графика $f_2(x)$: $(-4, 4)$ и $(3, -6)$. Соответствующие им точки на графике $g_2(x)$: $(4, -4)$ и $(-6, 3)$. График $g_2(x)$ — это отрезок, соединяющий эти две точки.

3. Область определения и область значений $g_2(x)$:

Область определения $f_2(x)$: $D(f_2) = [-4, 3]$. Область значений $f_2(x)$: $E(f_2) = [-6, 4]$.
Следовательно, для обратной функции $g_2(x)$:

• Область определения: $D(g_2) = E(f_2) = [-6, 4]$.
• Область значений: $E(g_2) = D(f_2) = [-4, 3]$.

Ответ: $g_2(-2)=0.2$, $g_2(1)=-1.9$, $g_2(3)=-3.3$. График $g_2(x)$ — отрезок, соединяющий точки $(-6,3)$ и $(4,-4)$. Область определения $D(g_2) = [-6, 4]$, область значений $E(g_2) = [-4, 3]$.

в) $f(x) = f_3(x)$

График функции $f_3(x)$ — это отрезок, соединяющий точки $(-3, -6)$ и $(5, 7)$.

1. Нахождение значений обратной функции $g_3(x)$:

Найдем уравнение прямой, проходящей через точки $(-3, -6)$ и $(5, 7)$.
Угловой коэффициент: $k = \frac{7 - (-6)}{5 - (-3)} = \frac{13}{8}$.
Уравнение прямой: $y - 7 = \frac{13}{8}(x - 5)$, что равносильно $y = \frac{13}{8}x - \frac{9}{8}$.

• Для нахождения $g_3(-2)$ решаем уравнение $f_3(x) = -2$: $\frac{13}{8}x - \frac{9}{8} = -2 \implies 13x - 9 = -16 \implies 13x = -7 \implies x = -7/13$. Следовательно, $g_3(-2) = -7/13$.
• Для нахождения $g_3(1)$ решаем уравнение $f_3(x) = 1$: $\frac{13}{8}x - \frac{9}{8} = 1 \implies 13x - 9 = 8 \implies 13x = 17 \implies x = 17/13$. Следовательно, $g_3(1) = 17/13$.
• Для нахождения $g_3(3)$ решаем уравнение $f_3(x) = 3$: $\frac{13}{8}x - \frac{9}{8} = 3 \implies 13x - 9 = 24 \implies 13x = 33 \implies x = 33/13$. Следовательно, $g_3(3) = 33/13$.

2. Построение графика $g_3(x)$:

Ключевые точки графика $f_3(x)$: $(-3, -6)$ и $(5, 7)$. Соответствующие им точки на графике $g_3(x)$: $(-6, -3)$ и $(7, 5)$. График $g_3(x)$ — это отрезок, соединяющий эти две точки.

3. Область определения и область значений $g_3(x)$:

Область определения $f_3(x)$: $D(f_3) = [-3, 5]$. Область значений $f_3(x)$: $E(f_3) = [-6, 7]$.
Следовательно, для обратной функции $g_3(x)$:

• Область определения: $D(g_3) = E(f_3) = [-6, 7]$.
• Область значений: $E(g_3) = D(f_3) = [-3, 5]$.

Ответ: $g_3(-2)=-7/13$, $g_3(1)=17/13$, $g_3(3)=33/13$. График $g_3(x)$ — отрезок, соединяющий точки $(-6,-3)$ и $(7,5)$. Область определения $D(g_3) = [-6, 7]$, область значений $E(g_3) = [-3, 5]$.

г) $f(x) = f_4(x)$

График функции $f_4(x)$ состоит из двух отрезков, соединяющих точки $(-3, 7)$, $(1, 1)$ и $(4, -3)$.

1. Нахождение значений обратной функции $g_4(x)$:

• Для нахождения $g_4(-2)$ ищем $x$, при котором $f_4(x) = -2$. Эта точка лежит на отрезке, соединяющем $(1, 1)$ и $(4, -3)$. Уравнение этого отрезка: $y - 1 = \frac{-3-1}{4-1}(x-1) \implies y-1 = -\frac{4}{3}(x-1) \implies y = -\frac{4}{3}x + \frac{7}{3}$. Решаем уравнение $-\frac{4}{3}x + \frac{7}{3} = -2 \implies -4x+7 = -6 \implies 4x = 13 \implies x = 13/4 = 3.25$. Следовательно, $g_4(-2) = 3.25$.
• Для нахождения $g_4(1)$ ищем $x$, при котором $f_4(x) = 1$. Из графика видно, что это точка "излома" $(1,1)$, т.е. $f_4(1) = 1$. Следовательно, $g_4(1) = 1$.
• Для нахождения $g_4(3)$ ищем $x$, при котором $f_4(x) = 3$. Эта точка лежит на отрезке, соединяющем $(-3, 7)$ и $(1, 1)$. Уравнение этого отрезка: $y - 1 = \frac{1-7}{1-(-3)}(x-1) \implies y-1 = -\frac{6}{4}(x-1) \implies y = -\frac{3}{2}x + \frac{5}{2}$. Решаем уравнение $-\frac{3}{2}x + \frac{5}{2} = 3 \implies -3x+5 = 6 \implies -3x = 1 \implies x = -1/3$. Следовательно, $g_4(3) = -1/3$.

2. Построение графика $g_4(x)$:

Ключевые точки графика $f_4(x)$: $(-3, 7)$, $(1, 1)$, $(4, -3)$. Соответствующие им точки на графике $g_4(x)$: $(7, -3)$, $(1, 1)$, $(-3, 4)$. Для построения графика $g_4(x)$ нужно отметить эти точки и соединить их отрезками в порядке возрастания абсциссы: от $(-3,4)$ к $(1,1)$ и от $(1,1)$ к $(7,-3)$.

3. Область определения и область значений $g_4(x)$:

Область определения $f_4(x)$: $D(f_4) = [-3, 4]$. Область значений $f_4(x)$: $E(f_4) = [-3, 7]$.
Следовательно, для обратной функции $g_4(x)$:

• Область определения: $D(g_4) = E(f_4) = [-3, 7]$.
• Область значений: $E(g_4) = D(f_4) = [-3, 4]$.

Ответ: $g_4(-2)=3.25$, $g_4(1)=1$, $g_4(3)=-1/3$. График $g_4(x)$ — ломаная, соединяющая точки $(-3,4)$, $(1,1)$ и $(7,-3)$. Область определения $D(g_4) = [-3, 7]$, область значений $E(g_4) = [-3, 4]$.