Номер 538, страница 255 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 11. Производная показательной и логарифмической функций - номер 538, страница 255.

Условие.

Найдите производную каждой из функций (538—539).

538. а) $y = 4e^x + 5$;

б) $y = 2x + 3e^{-x}$;

в) $y = 3 - \frac{1}{2}e^x$;

г) $y = 5e^{-x} - x^2$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Дана функция $y = 4e^x + 5$.

Для нахождения производной используем правило дифференцирования суммы, правило вынесения константы за знак производной и производную константы: $(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)$, $(c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x)$ и $(c)' = 0$. Также используем табличную производную для экспоненциальной функции $(e^x)' = e^x$.

$y' = (4e^x + 5)' = (4e^x)' + (5)' = 4 \cdot (e^x)' + 0 = 4e^x$.

Ответ: $4e^x$.

б) Дана функция $y = 2x + 3e^{-x}$.

Используем правило дифференцирования суммы. Для слагаемого $3e^{-x}$ применяем правило дифференцирования сложной функции: $(e^{u(x)})' = e^{u(x)} \cdot u'(x)$. В данном случае $u(x) = -x$, и ее производная $u'(x) = -1$.

$y' = (2x + 3e^{-x})' = (2x)' + (3e^{-x})' = 2 + 3 \cdot (e^{-x})'$.

$(e^{-x})' = e^{-x} \cdot (-x)' = e^{-x} \cdot (-1) = -e^{-x}$.

Подставляем обратно: $y' = 2 + 3(-e^{-x}) = 2 - 3e^{-x}$.

Ответ: $2 - 3e^{-x}$.

в) Дана функция $y = 3 - \frac{1}{2}e^x$.

Используем правило дифференцирования разности: $(f(x) - g(x))' = f'(x) - g'(x)$.

$y' = (3 - \frac{1}{2}e^x)' = (3)' - (\frac{1}{2}e^x)'$.

Производная константы $(3)' = 0$. Постоянный множитель $\frac{1}{2}$ выносим за знак производной.

$y' = 0 - \frac{1}{2} \cdot (e^x)' = -\frac{1}{2}e^x$.

Ответ: $-\frac{1}{2}e^x$.

г) Дана функция $y = 5e^{-x} - x^2$.

Используем правило дифференцирования разности, правило для сложной функции $(e^{u(x)})'$ и правило для степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$.

$y' = (5e^{-x} - x^2)' = (5e^{-x})' - (x^2)'$.

Находим производную первого слагаемого, как в пункте б): $(5e^{-x})' = 5 \cdot (e^{-x})' = 5 \cdot (-e^{-x}) = -5e^{-x}$.

Находим производную второго слагаемого: $(x^2)' = 2x$.

Объединяем результаты: $y' = -5e^{-x} - 2x$.

Ответ: $-5e^{-x} - 2x$.