Номер 541, страница 255 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 11. Производная показательной и логарифмической функций - номер 541, страница 255.

Условие.

541. Найдите общий вид первообразных для функции:

а) $f(x) = 5e^x$;

б) $f(x) = 2 \cdot 3^x$;

в) $f(x) = 4^x$;

г) $f(x) = \frac{1}{2}e^x + 1$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Для нахождения общего вида первообразных для функции $f(x) = 5e^x$ необходимо найти ее неопределенный интеграл. Общий вид первообразных $F(x)$ находится по формуле $F(x) = \int f(x) dx$.
$F(x) = \int 5e^x dx$
Используя свойство интеграла, выносим постоянный множитель 5 за знак интеграла:
$F(x) = 5 \int e^x dx$
Первообразной для функции $e^x$ является сама функция $e^x$. Таким образом, получаем:
$F(x) = 5e^x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $F(x) = 5e^x + C$.

б) Найдем общий вид первообразных для функции $f(x) = 2 \cdot 3^x$.
$F(x) = \int 2 \cdot 3^x dx$
Выносим константу 2 за знак интеграла:
$F(x) = 2 \int 3^x dx$
Используем табличную формулу для первообразной показательной функции $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a}$. В данном случае $a=3$.
$F(x) = 2 \cdot \frac{3^x}{\ln 3} + C$
Ответ: $F(x) = \frac{2 \cdot 3^x}{\ln 3} + C$.

в) Найдем общий вид первообразных для функции $f(x) = 4^x$.
$F(x) = \int 4^x dx$
Применяем формулу для первообразной показательной функции $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a}$, где $a=4$.
$F(x) = \frac{4^x}{\ln 4} + C$
Ответ: $F(x) = \frac{4^x}{\ln 4} + C$.

г) Найдем общий вид первообразных для функции $f(x) = \frac{1}{2}e^x + 1$.
$F(x) = \int (\frac{1}{2}e^x + 1) dx$
Используя свойство аддитивности интеграла (интеграл суммы равен сумме интегралов), разобьем его на два:
$F(x) = \int \frac{1}{2}e^x dx + \int 1 dx$
Вычисляем каждый интеграл по отдельности:
$\int \frac{1}{2}e^x dx = \frac{1}{2} \int e^x dx = \frac{1}{2}e^x$
$\int 1 dx = x$
Складываем полученные результаты и добавляем одну общую константу интегрирования $C$:
$F(x) = \frac{1}{2}e^x + x + C$
Ответ: $F(x) = \frac{1}{2}e^x + x + C$.