Номер 546, страница 256 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 11. Производная показательной и логарифмической функций - номер 546, страница 256.

Условие.

546. — Найдите общий вид первообразных для функции:

а) $f(x) = e^{3-2x};$

б) $f(x) = 2 \cdot 0.9^x - 5.6^{-x};$

в) $f(x) = 2^{-10x};$

г) $f(x) = e^{3x} + 2.3^1 + x.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Общий вид первообразных для функции $f(x) = e^{3-2x}$ находится путем вычисления неопределенного интеграла $F(x) = \int e^{3-2x} dx$. Применяем формулу интегрирования показательной функции $\int e^{kx+b} dx = \frac{1}{k}e^{kx+b} + C$. В данном случае, $k=-2$ и $b=3$. Подставляя эти значения в формулу, получаем: $F(x) = \frac{1}{-2}e^{3-2x} + C = -\frac{1}{2}e^{3-2x} + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $F(x) = -\frac{1}{2}e^{3-2x} + C$.

б) Для функции $f(x) = 2 \cdot 0.9^x - 5.6^{-x}$ первообразная находится как интеграл от разности: $F(x) = \int (2 \cdot 0.9^x - 5.6^{-x}) dx = 2\int 0.9^x dx - \int 5.6^{-x} dx$. Для первого интеграла используем формулу $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$, что дает $2 \frac{0.9^x}{\ln 0.9}$. Для второго интеграла $ \int 5.6^{-x} dx $ используем формулу $\int a^{kx} dx = \frac{a^{kx}}{k \ln a} + C$ при $a=5.6, k=-1$, что дает $\frac{5.6^{-x}}{-1 \cdot \ln 5.6} = -\frac{5.6^{-x}}{\ln 5.6}$. Объединяя результаты и добавляя общую константу $C$, получаем общий вид первообразной: $F(x) = \frac{2 \cdot 0.9^x}{\ln 0.9} - (-\frac{5.6^{-x}}{\ln 5.6}) + C = \frac{2 \cdot 0.9^x}{\ln 0.9} + \frac{5.6^{-x}}{\ln 5.6} + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{2 \cdot 0.9^x}{\ln 0.9} + \frac{5.6^{-x}}{\ln 5.6} + C$.

в) Для функции $f(x) = 2^{-10x}$ общий вид первообразных находится интегрированием: $F(x) = \int 2^{-10x} dx$. Используем формулу для показательной функции $\int a^{kx+b} dx = \frac{a^{kx+b}}{k \ln a} + C$. В нашем случае $a=2$, $k=-10$ и $b=0$. Подставляя значения, получаем: $F(x) = \frac{2^{-10x}}{-10 \cdot \ln 2} + C = -\frac{2^{-10x}}{10\ln 2} + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $F(x) = -\frac{2^{-10x}}{10\ln 2} + C$.

г) Для функции $f(x) = e^{3x} + 2.3^{1+x}$ первообразная находится как интеграл от суммы: $F(x) = \int (e^{3x} + 2.3^{1+x}) dx = \int e^{3x} dx + \int 2.3^{1+x} dx$. Первый интеграл $\int e^{3x} dx$ равен $\frac{e^{3x}}{3}$ согласно формуле для $e^{kx}$. Второй интеграл $\int 2.3^{1+x} dx$ равен $\frac{2.3^{1+x}}{\ln 2.3}$ согласно формуле для $a^{kx+b}$. Складывая результаты и добавляя константу интегрирования $C$, получаем общий вид первообразной: $F(x) = \frac{e^{3x}}{3} + \frac{2.3^{1+x}}{\ln 2.3} + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{e^{3x}}{3} + \frac{2.3^{1+x}}{\ln 2.3} + C$.