Страница 256 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

545.— Исследуйте на возрастание (убывание) и экстремумы функ-цию:

а) $f(x) = xe^{5x}$;

б) $f(x) = x^2 2^{-x}$;

в) $f(x) = xe^{-x}$;

г) $f(x) = x^4 0.5^x$.

Для исследования функции на возрастание (убывание) и экстремумы необходимо найти её производную, приравнять её к нулю, чтобы найти критические точки, а затем определить знаки производной на интервалах, на которые критические точки разбивают область определения функции.

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдём производную функции, используя правило произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$f'(x) = (x)'e^{5x} + x(e^{5x})' = 1 \cdot e^{5x} + x \cdot e^{5x} \cdot 5 = e^{5x}(1 + 5x)$.

3. Найдём критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$e^{5x}(1 + 5x) = 0$.

Так как $e^{5x} > 0$ для любого $x$, то $1 + 5x = 0$, откуда $x = -1/5$.

4. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty; -1/5)$ и $(-1/5; +\infty)$.

При $x < -1/5$, например $x = -1$, имеем $f'(-1) = e^{-5}(1 - 5) = -4e^{-5} < 0$. Следовательно, на интервале $(-\infty, -1/5]$ функция убывает.

При $x > -1/5$, например $x = 0$, имеем $f'(0) = e^{0}(1 + 0) = 1 > 0$. Следовательно, на интервале $[-1/5, +\infty)$ функция возрастает.

5. В точке $x = -1/5$ производная меняет знак с минуса на плюс, значит, это точка локального минимума.

Найдём значение функции в этой точке: $f(-1/5) = -\frac{1}{5}e^{5(-1/5)} = -\frac{1}{5}e^{-1} = -\frac{1}{5e}$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[-1/5; +\infty)$, убывает на промежутке $(-\infty; -1/5]$. Точка минимума $x_{min} = -1/5$, $f_{min} = -1/(5e)$.

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдём производную функции:

$f'(x) = (x^2)'2^{-x} + x^2(2^{-x})' = 2x \cdot 2^{-x} + x^2 \cdot 2^{-x} \ln(2) \cdot (-1) = x \cdot 2^{-x}(2 - x\ln 2)$.

3. Найдём критические точки из уравнения $f'(x) = 0$:

$x \cdot 2^{-x}(2 - x\ln 2) = 0$.

Так как $2^{-x} > 0$, то $x = 0$ или $2 - x\ln 2 = 0$. Отсюда получаем две критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2/\ln 2$.

4. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty; 0)$, $(0; 2/\ln 2)$ и $(2/\ln 2; +\infty)$.

Знак $f'(x)$ совпадает со знаком выражения $x(2 - x\ln 2)$.

При $x < 0$: $f'(x) < 0$, функция убывает на $(-\infty, 0]$.

При $0 < x < 2/\ln 2$: $f'(x) > 0$, функция возрастает на $[0, 2/\ln 2]$.

При $x > 2/\ln 2$: $f'(x) < 0$, функция убывает на $[2/\ln 2, +\infty)$.

5. В точке $x=0$ производная меняет знак с "−" на "+", это точка минимума. $f(0) = 0^2 \cdot 2^0 = 0$.

В точке $x=2/\ln 2$ производная меняет знак с "+" на "−", это точка максимума. $f(2/\ln 2) = (\frac{2}{\ln 2})^2 2^{-2/\ln 2} = \frac{4}{\ln^2 2} \cdot (e^{\ln 2})^{-2/\ln 2} = \frac{4}{\ln^2 2} \cdot e^{-2} = \frac{4}{e^2\ln^2 2}$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[0; 2/\ln 2]$, убывает на промежутках $(-\infty; 0]$ и $[2/\ln 2; +\infty)$. Точка минимума $x_{min} = 0$, $f_{min} = 0$. Точка максимума $x_{max} = 2/\ln 2$, $f_{max} = 4/(e^2\ln^2 2)$.

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдём производную функции:

$f'(x) = (x)'e^{-x} + x(e^{-x})' = 1 \cdot e^{-x} + x \cdot e^{-x} \cdot (-1) = e^{-x}(1 - x)$.

3. Найдём критические точки из уравнения $f'(x) = 0$:

$e^{-x}(1 - x) = 0$.

Так как $e^{-x} > 0$, то $1 - x = 0$, откуда $x = 1$.

4. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty; 1)$ и $(1; +\infty)$.

При $x < 1$, $f'(x) > 0$, следовательно, на интервале $(-\infty, 1]$ функция возрастает.

При $x > 1$, $f'(x) < 0$, следовательно, на интервале $[1, +\infty)$ функция убывает.

5. В точке $x = 1$ производная меняет знак с плюса на минус, значит, это точка локального максимума.

Найдём значение функции в этой точке: $f(1) = 1 \cdot e^{-1} = 1/e$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 1]$, убывает на промежутке $[1; +\infty)$. Точка максимума $x_{max} = 1$, $f_{max} = 1/e$.

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдём производную функции. Заметим, что $0,5^x = (2^{-1})^x = 2^{-x}$ и $\ln 0,5 = -\ln 2$.

$f'(x) = (x^4)'0,5^x + x^4(0,5^x)' = 4x^3 \cdot 0,5^x + x^4 \cdot 0,5^x \ln(0,5) = x^3 \cdot 0,5^x(4 + x\ln 0,5) = x^3 \cdot 0,5^x(4 - x\ln 2)$.

3. Найдём критические точки из уравнения $f'(x) = 0$:

$x^3 \cdot 0,5^x(4 - x\ln 2) = 0$.

Так как $0,5^x > 0$, то $x^3 = 0$ или $4 - x\ln 2 = 0$. Отсюда получаем две критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 4/\ln 2$.

4. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty; 0)$, $(0; 4/\ln 2)$ и $(4/\ln 2; +\infty)$.

Знак $f'(x)$ совпадает со знаком выражения $x^3(4 - x\ln 2)$.

При $x < 0$ (например, $x=-1$): $(-1)^3(4 - (-1)\ln 2) < 0$. Функция убывает на $(-\infty, 0]$.

При $0 < x < 4/\ln 2$ (например, $x=1$): $(1)^3(4 - \ln 2) > 0$. Функция возрастает на $[0, 4/\ln 2]$.

При $x > 4/\ln 2$ (например, $x=6 > 4/\ln 2 \approx 5.77$): $(6)^3(4 - 6\ln 2) = 216(4 - \ln 64) < 0$ (т.к. $ \ln 64 > \ln e^4 = 4$). Функция убывает на $[4/\ln 2, +\infty)$.

5. В точке $x=0$ производная меняет знак с "−" на "+", это точка минимума. $f(0) = 0^4 \cdot 0,5^0 = 0$.

В точке $x=4/\ln 2$ производная меняет знак с "+" на "−", это точка максимума. $f(4/\ln 2) = (\frac{4}{\ln 2})^4 0,5^{4/\ln 2} = \frac{256}{\ln^4 2} \cdot (2^{-1})^{4/\ln 2} = \frac{256}{\ln^4 2} \cdot 2^{-4/\ln 2} = \frac{256}{\ln^4 2} \cdot e^{-4} = \frac{256}{e^4\ln^4 2}$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[0; 4/\ln 2]$, убывает на промежутках $(-\infty; 0]$ и $[4/\ln 2; +\infty)$. Точка минимума $x_{min} = 0$, $f_{min} = 0$. Точка максимума $x_{max} = 4/\ln 2$, $f_{max} = 256/(e^4\ln^4 2)$.

546. — Найдите общий вид первообразных для функции:

а) $f(x) = e^{3-2x};$

б) $f(x) = 2 \cdot 0.9^x - 5.6^{-x};$

в) $f(x) = 2^{-10x};$

г) $f(x) = e^{3x} + 2.3^1 + x.$

а) Общий вид первообразных для функции $f(x) = e^{3-2x}$ находится путем вычисления неопределенного интеграла $F(x) = \int e^{3-2x} dx$. Применяем формулу интегрирования показательной функции $\int e^{kx+b} dx = \frac{1}{k}e^{kx+b} + C$. В данном случае, $k=-2$ и $b=3$. Подставляя эти значения в формулу, получаем: $F(x) = \frac{1}{-2}e^{3-2x} + C = -\frac{1}{2}e^{3-2x} + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $F(x) = -\frac{1}{2}e^{3-2x} + C$.

б) Для функции $f(x) = 2 \cdot 0.9^x - 5.6^{-x}$ первообразная находится как интеграл от разности: $F(x) = \int (2 \cdot 0.9^x - 5.6^{-x}) dx = 2\int 0.9^x dx - \int 5.6^{-x} dx$. Для первого интеграла используем формулу $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$, что дает $2 \frac{0.9^x}{\ln 0.9}$. Для второго интеграла $ \int 5.6^{-x} dx $ используем формулу $\int a^{kx} dx = \frac{a^{kx}}{k \ln a} + C$ при $a=5.6, k=-1$, что дает $\frac{5.6^{-x}}{-1 \cdot \ln 5.6} = -\frac{5.6^{-x}}{\ln 5.6}$. Объединяя результаты и добавляя общую константу $C$, получаем общий вид первообразной: $F(x) = \frac{2 \cdot 0.9^x}{\ln 0.9} - (-\frac{5.6^{-x}}{\ln 5.6}) + C = \frac{2 \cdot 0.9^x}{\ln 0.9} + \frac{5.6^{-x}}{\ln 5.6} + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{2 \cdot 0.9^x}{\ln 0.9} + \frac{5.6^{-x}}{\ln 5.6} + C$.

в) Для функции $f(x) = 2^{-10x}$ общий вид первообразных находится интегрированием: $F(x) = \int 2^{-10x} dx$. Используем формулу для показательной функции $\int a^{kx+b} dx = \frac{a^{kx+b}}{k \ln a} + C$. В нашем случае $a=2$, $k=-10$ и $b=0$. Подставляя значения, получаем: $F(x) = \frac{2^{-10x}}{-10 \cdot \ln 2} + C = -\frac{2^{-10x}}{10\ln 2} + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $F(x) = -\frac{2^{-10x}}{10\ln 2} + C$.

г) Для функции $f(x) = e^{3x} + 2.3^{1+x}$ первообразная находится как интеграл от суммы: $F(x) = \int (e^{3x} + 2.3^{1+x}) dx = \int e^{3x} dx + \int 2.3^{1+x} dx$. Первый интеграл $\int e^{3x} dx$ равен $\frac{e^{3x}}{3}$ согласно формуле для $e^{kx}$. Второй интеграл $\int 2.3^{1+x} dx$ равен $\frac{2.3^{1+x}}{\ln 2.3}$ согласно формуле для $a^{kx+b}$. Складывая результаты и добавляя константу интегрирования $C$, получаем общий вид первообразной: $F(x) = \frac{e^{3x}}{3} + \frac{2.3^{1+x}}{\ln 2.3} + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{e^{3x}}{3} + \frac{2.3^{1+x}}{\ln 2.3} + C$.

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями

(547–548).

547. а) $y = e^x, y = 0, x = 0, x = 1;$

б) $y = 3^x, y = 9^x, x = 1;$

в) $y = 2^x, y = 0, x = -1, x = 2;$

г) $y = e^x, y = e^{2x}, x = 1.$

а) Фигура ограничена графиком функции $y = e^x$, осью абсцисс $y = 0$, и вертикальными прямыми $x = 0$ и $x = 1$. Эта фигура является криволинейной трапецией.

Площадь такой фигуры вычисляется с помощью определенного интеграла по формуле $S = \int_a^b f(x)dx$.

В данном случае, $f(x) = e^x$, пределы интегрирования от $a = 0$ до $b = 1$.

Вычислим интеграл:

$S = \int_{0}^{1} e^x dx = [e^x]_{0}^{1} = e^1 - e^0 = e - 1$.

Ответ: $e - 1$.

б) Фигура ограничена графиками функций $y = 3^x$, $y = 9^x$ и вертикальной прямой $x = 1$.

Сначала найдем точки пересечения кривых $y = 3^x$ и $y = 9^x$, чтобы определить пределы интегрирования.$3^x = 9^x$$3^x = (3^2)^x$$3^x = 3^{2x}$$x = 2x \implies x = 0$.Нижний предел интегрирования равен $x = 0$. Верхний предел задан условием $x = 1$.На интервале $(0, 1)$ сравним значения функций. Например, при $x = 0.5$, $3^{0.5} = \sqrt{3}$, а $9^{0.5} = 3$. Так как $3 > \sqrt{3}$, то график функции $y = 9^x$ лежит выше графика $y = 3^x$ на этом интервале.

Площадь фигуры, заключенной между двумя кривыми $y = f(x)$ и $y = g(x)$, где $f(x) \ge g(x)$ на отрезке $[a, b]$, вычисляется по формуле $S = \int_a^b (f(x) - g(x))dx$.

В нашем случае $f(x) = 9^x$, $g(x) = 3^x$, $a = 0$, $b = 1$.

$S = \int_{0}^{1} (9^x - 3^x) dx = \left[ \frac{9^x}{\ln 9} - \frac{3^x}{\ln 3} \right]_{0}^{1} = \left( \frac{9^1}{\ln 9} - \frac{3^1}{\ln 3} \right) - \left( \frac{9^0}{\ln 9} - \frac{3^0}{\ln 3} \right) = \left( \frac{9}{\ln 9} - \frac{3}{\ln 3} \right) - \left( \frac{1}{\ln 9} - \frac{1}{\ln 3} \right)$.

Так как $\ln 9 = \ln(3^2) = 2\ln 3$, то:

$S = \left( \frac{9}{2\ln 3} - \frac{3}{\ln 3} \right) - \left( \frac{1}{2\ln 3} - \frac{1}{\ln 3} \right) = \left( \frac{9 - 6}{2\ln 3} \right) - \left( \frac{1 - 2}{2\ln 3} \right) = \frac{3}{2\ln 3} - \frac{-1}{2\ln 3} = \frac{3+1}{2\ln 3} = \frac{4}{2\ln 3} = \frac{2}{\ln 3}$.

Ответ: $\frac{2}{\ln 3}$.

в) Фигура ограничена графиком функции $y = 2^x$, осью абсцисс $y = 0$ и вертикальными прямыми $x = -1$ и $x = 2$. Эта фигура является криволинейной трапецией, так как $2^x > 0$ для всех $x$.

Площадь вычисляется по формуле $S = \int_a^b f(x)dx$.

Здесь $f(x) = 2^x$, $a = -1$, $b = 2$.

$S = \int_{-1}^{2} 2^x dx = \left[ \frac{2^x}{\ln 2} \right]_{-1}^{2} = \frac{2^2}{\ln 2} - \frac{2^{-1}}{\ln 2} = \frac{4 - \frac{1}{2}}{\ln 2} = \frac{\frac{7}{2}}{\ln 2} = \frac{7}{2\ln 2}$.

Ответ: $\frac{7}{2\ln 2}$.

г) Фигура ограничена графиками функций $y = e^x$, $y = e^{2x}$ и вертикальной прямой $x = 1$.

Найдем точку пересечения кривых, чтобы определить левую границу интегрирования:$e^x = e^{2x} \implies x = 2x \implies x = 0$.Правая граница задана условием $x = 1$.На интервале $(0, 1)$ сравним функции. Для любого $x > 0$, $2x > x$, а так как основание $e > 1$, то функция $y=e^t$ возрастающая, следовательно $e^{2x} > e^x$. Значит, график $y = e^{2x}$ лежит выше графика $y = e^x$.

Площадь фигуры вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций:

$S = \int_{0}^{1} (e^{2x} - e^x) dx = \left[ \frac{1}{2}e^{2x} - e^x \right]_{0}^{1} = \left( \frac{1}{2}e^{2 \cdot 1} - e^1 \right) - \left( \frac{1}{2}e^{2 \cdot 0} - e^0 \right) = \left( \frac{e^2}{2} - e \right) - \left( \frac{1}{2}e^0 - e^0 \right)$.

$S = \left( \frac{e^2}{2} - e \right) - \left( \frac{1}{2} - 1 \right) = \frac{e^2}{2} - e - \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{e^2}{2} - e + \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{e^2}{2} - e + \frac{1}{2}$.

548. a) $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$, $y = 3$, $x = 1$;

б) $y = e^x$, $y = e^{-x}$, $y = e$;

в) $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x$, $y = 1$, $x = -2$;

г) $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x$, $y = 4^x$, $y = 4$.

а) Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = (\frac{1}{3})^x$, $y = 3$, $x = 1$, необходимо вычислить определенный интеграл.
Сначала найдем пределы интегрирования. Один предел задан: $x = 1$. Второй найдем из точки пересечения графиков $y = (\frac{1}{3})^x$ и $y = 3$:
$(\frac{1}{3})^x = 3$
$3^{-x} = 3^1$
$-x = 1 \implies x = -1$.
Таким образом, пределы интегрирования от $x = -1$ до $x = 1$.
На интервале $[-1, 1]$ график функции $y = 3$ находится выше графика $y = (\frac{1}{3})^x$.
Площадь фигуры $S$ вычисляется по формуле:
$S = \int_{-1}^{1} (3 - (\frac{1}{3})^x) dx$
Вычислим интеграл:
$\int (3 - (\frac{1}{3})^x) dx = \int 3 dx - \int (\frac{1}{3})^x dx = 3x - \frac{(\frac{1}{3})^x}{\ln(\frac{1}{3})} = 3x - \frac{3^{-x}}{-\ln(3)} = 3x + \frac{3^{-x}}{\ln(3)}$
Теперь вычислим определенный интеграл:
$S = \left[ 3x + \frac{3^{-x}}{\ln(3)} \right]_{-1}^{1} = \left(3(1) + \frac{3^{-1}}{\ln(3)}\right) - \left(3(-1) + \frac{3^{-(-1)}}{\ln(3)}\right)$
$S = \left(3 + \frac{1/3}{\ln(3)}\right) - \left(-3 + \frac{3}{\ln(3)}\right) = 3 + \frac{1}{3\ln(3)} + 3 - \frac{3}{\ln(3)} = 6 + \frac{1 - 9}{3\ln(3)} = 6 - \frac{8}{3\ln(3)}$
Ответ: $S = 6 - \frac{8}{3\ln(3)}$

б) Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = e^x$, $y = e^{-x}$, $y = e$.
Найдем точки пересечения, чтобы определить пределы интегрирования.
$y = e^x$ и $y = e$: $e^x = e \implies x = 1$.
$y = e^{-x}$ и $y = e$: $e^{-x} = e \implies -x = 1 \implies x = -1$.
$y = e^x$ и $y = e^{-x}$: $e^x = e^{-x} \implies x = -x \implies 2x=0 \implies x = 0$.
Фигура ограничена сверху линией $y=e$. Снизу она ограничена кривой $y=e^{-x}$ на промежутке $[-1, 0]$ и кривой $y=e^x$ на промежутке $[0, 1]$.
Площадь $S$ является суммой двух интегралов:
$S = \int_{-1}^{0} (e - e^{-x}) dx + \int_{0}^{1} (e - e^x) dx$
Вычислим первый интеграл:
$\int_{-1}^{0} (e - e^{-x}) dx = \left[ ex - (-e^{-x}) \right]_{-1}^{0} = \left[ ex + e^{-x} \right]_{-1}^{0} = (e \cdot 0 + e^0) - (e \cdot (-1) + e^{-(-1)}) = (0+1) - (-e+e) = 1 - 0 = 1$
Вычислим второй интеграл:
$\int_{0}^{1} (e - e^x) dx = \left[ ex - e^x \right]_{0}^{1} = (e \cdot 1 - e^1) - (e \cdot 0 - e^0) = (e - e) - (0 - 1) = 0 - (-1) = 1$
Общая площадь:
$S = 1 + 1 = 2$
Ответ: $S=2$

в) Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = (\frac{1}{2})^x$, $y = 1$, $x = -2$.
Найдем пределы интегрирования. Один предел задан: $x = -2$. Второй найдем из точки пересечения графиков $y = (\frac{1}{2})^x$ и $y = 1$:
$(\frac{1}{2})^x = 1 \implies x = 0$.
Пределы интегрирования от $x = -2$ до $x = 0$.
На интервале $[-2, 0]$ график функции $y = (\frac{1}{2})^x$ находится выше графика $y = 1$. Например, при $x=-1$, $y=(\frac{1}{2})^{-1}=2>1$.
Площадь фигуры $S$ вычисляется по формуле:
$S = \int_{-2}^{0} ((\frac{1}{2})^x - 1) dx$
Вычислим интеграл:
$S = \left[ \frac{(\frac{1}{2})^x}{\ln(\frac{1}{2})} - x \right]_{-2}^{0} = \left[ -\frac{2^{-x}}{\ln(2)} - x \right]_{-2}^{0} = \left(-\frac{2^{-0}}{\ln(2)} - 0\right) - \left(-\frac{2^{-(-2)}}{\ln(2)} - (-2)\right)$
$S = \left(-\frac{1}{\ln(2)}\right) - \left(-\frac{2^2}{\ln(2)} + 2\right) = -\frac{1}{\ln(2)} + \frac{4}{\ln(2)} - 2 = \frac{3}{\ln(2)} - 2$
Ответ: $S = \frac{3}{\ln(2)} - 2$

г) Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = (\frac{1}{2})^x$, $y = 4^x$, $y = 4$.
Найдем точки пересечения, чтобы определить пределы интегрирования.
$y = 4^x$ и $y=4$: $4^x=4 \implies x=1$.
$y = (\frac{1}{2})^x$ и $y=4$: $(\frac{1}{2})^x = 4 \implies 2^{-x} = 2^2 \implies x=-2$.
$y = 4^x$ и $y = (\frac{1}{2})^x$: $4^x = (\frac{1}{2})^x \implies (2^2)^x = 2^{-x} \implies 2^{2x} = 2^{-x} \implies 2x=-x \implies 3x=0 \implies x=0$.
Фигура ограничена сверху линией $y=4$. Снизу она ограничена кривой $y=(\frac{1}{2})^x$ на промежутке $[-2, 0]$ и кривой $y=4^x$ на промежутке $[0, 1]$.
Площадь $S$ является суммой двух интегралов:
$S = \int_{-2}^{0} (4 - (\frac{1}{2})^x) dx + \int_{0}^{1} (4 - 4^x) dx$
Вычислим первый интеграл:
$\int_{-2}^{0} (4 - 2^{-x}) dx = \left[ 4x - \frac{2^{-x}}{-1 \cdot \ln(2)} \right]_{-2}^{0} = \left[ 4x + \frac{2^{-x}}{\ln(2)} \right]_{-2}^{0} = (0 + \frac{2^0}{\ln(2)}) - (4(-2) + \frac{2^{-(-2)}}{\ln(2)}) = \frac{1}{\ln(2)} - (-8 + \frac{4}{\ln(2)}) = 8 - \frac{3}{\ln(2)}$
Вычислим второй интеграл:
$\int_{0}^{1} (4 - 4^x) dx = \left[ 4x - \frac{4^x}{\ln(4)} \right]_{0}^{1} = \left(4(1) - \frac{4^1}{\ln(4)}\right) - \left(4(0) - \frac{4^0}{\ln(4)}\right) = 4 - \frac{4}{\ln(4)} + \frac{1}{\ln(4)} = 4 - \frac{3}{\ln(4)} = 4 - \frac{3}{2\ln(2)}$
Общая площадь:
$S = \left(8 - \frac{3}{\ln(2)}\right) + \left(4 - \frac{3}{2\ln(2)}\right) = 12 - \left(\frac{3}{\ln(2)} + \frac{3}{2\ln(2)}\right) = 12 - \left(\frac{6}{2\ln(2)} + \frac{3}{2\ln(2)}\right) = 12 - \frac{9}{2\ln(2)}$
Ответ: $S = 12 - \frac{9}{2\ln(2)}$