Страница 258 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Найдите производную каждой из функций (549—550).

549.

а) $y = \ln (2 + 3x);$

б) $y = \log_{0,3} x + \sin x;$

в) $y = \ln (1 + 5x);$

г) $y = \lg x - \cos x.$

а) Для нахождения производной функции $y = \ln(2 + 3x)$ используется правило дифференцирования сложной функции (цепное правило). Данная функция является композицией двух функций: внешней логарифмической функции $f(u) = \ln(u)$ и внутренней линейной функции $u(x) = 2 + 3x$.

Формула производной сложной функции: $y' = (f(u(x)))' = f'(u(x)) \cdot u'(x)$.

Сначала находим производные внешней и внутренней функций:

• Производная натурального логарифма: $(\ln u)' = \frac{1}{u}$.
• Производная внутренней функции: $(2 + 3x)' = (2)' + (3x)' = 0 + 3 = 3$.

Теперь подставляем найденные производные в формулу цепного правила:

$y' = (\ln(2 + 3x))' = \frac{1}{2 + 3x} \cdot (2 + 3x)' = \frac{1}{2 + 3x} \cdot 3 = \frac{3}{2 + 3x}$.

Ответ: $y' = \frac{3}{2 + 3x}$

б) Для нахождения производной функции $y = \log_{0.3} x + \sin x$ применяется правило дифференцирования суммы двух функций: $(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)$.

Находим производную каждого слагаемого в отдельности:

• Производная логарифмической функции с основанием $a$ вычисляется по формуле $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$. В данном случае основание $a = 0.3$, следовательно:
  $(\log_{0.3} x)' = \frac{1}{x \ln 0.3}$.
• Производная тригонометрической функции синус: $(\sin x)' = \cos x$.

Складываем полученные производные:

$y' = (\log_{0.3} x)' + (\sin x)' = \frac{1}{x \ln 0.3} + \cos x$.

Ответ: $y' = \frac{1}{x \ln 0.3} + \cos x}$

в) Для нахождения производной функции $y = \ln(1 + 5x)$ применяется то же правило дифференцирования сложной функции, что и в пункте а). Здесь внешняя функция $f(u) = \ln(u)$, а внутренняя $u(x) = 1 + 5x$.

Находим производные:

• Производная внешней функции: $(\ln u)' = \frac{1}{u}$.
• Производная внутренней функции: $(1 + 5x)' = (1)' + (5x)' = 0 + 5 = 5$.

Применяем цепное правило, подставляя $u = 1 + 5x$ и $u' = 5$:

$y' = (\ln(1 + 5x))' = \frac{1}{1 + 5x} \cdot (1 + 5x)' = \frac{1}{1 + 5x} \cdot 5 = \frac{5}{1 + 5x}$.

Ответ: $y' = \frac{5}{1 + 5x}$

г) Для нахождения производной функции $y = \lg x - \cos x$ используется правило дифференцирования разности двух функций: $(f(x) - g(x))' = f'(x) - g'(x)$.

Находим производную каждого члена функции:

• Функция $\lg x$ — это десятичный логарифм, то есть $\log_{10} x$. Его производная находится по формуле $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$ при $a=10$:
  $(\lg x)' = (\log_{10} x)' = \frac{1}{x \ln 10}$.
• Производная тригонометрической функции косинус: $(\cos x)' = -\sin x$.

Теперь вычитаем вторую производную из первой:

$y' = (\lg x)' - (\cos x)' = \frac{1}{x \ln 10} - (-\sin x) = \frac{1}{x \ln 10} + \sin x$.

Ответ: $y' = \frac{1}{x \ln 10} + \sin x}$

550. a) $y = x^2 \log_2 x$;

б) $y = \frac{\ln x}{x}$;

В) $y = x \ln x$;

Г) $y = \frac{x}{\ln x}$.

а) Для нахождения производной функции $y = x^2 \log_2 x$ воспользуемся правилом дифференцирования произведения двух функций $(uv)' = u'v + uv'$. Пусть $u(x) = x^2$ и $v(x) = \log_2 x$.
Найдем производные этих функций. Производная от $x^2$ равна $u'(x) = (x^2)' = 2x$.
Для нахождения производной логарифма по основанию 2, преобразуем его в натуральный логарифм по формуле $\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}$. Получим $v(x) = \log_2 x = \frac{\ln x}{\ln 2}$.
Тогда производная $v(x)$ будет $v'(x) = (\frac{\ln x}{\ln 2})' = \frac{1}{\ln 2} (\ln x)' = \frac{1}{\ln 2} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x \ln 2}$.
Теперь подставим найденные производные в формулу производной произведения:
$y' = u'v + uv' = (x^2)' \log_2 x + x^2 (\log_2 x)' = 2x \cdot \log_2 x + x^2 \cdot \frac{1}{x \ln 2} = 2x \log_2 x + \frac{x}{\ln 2}$.
Ответ: $y' = 2x \log_2 x + \frac{x}{\ln 2}$.

б) Для нахождения производной функции $y = \frac{\ln x}{x}$ воспользуемся правилом дифференцирования частного двух функций $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. Пусть $u(x) = \ln x$ и $v(x) = x$.
Найдем производные этих функций: $u'(x) = (\ln x)' = \frac{1}{x}$ и $v'(x) = (x)' = 1$.
Подставим производные в формулу:
$y' = \frac{(\ln x)' \cdot x - \ln x \cdot (x)'}{x^2} = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}$.
Ответ: $y' = \frac{1 - \ln x}{x^2}$.

в) Для нахождения производной функции $y = x \ln x$ воспользуемся правилом дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$. Пусть $u(x) = x$ и $v(x) = \ln x$.
Найдем производные этих функций: $u'(x) = (x)' = 1$ и $v'(x) = (\ln x)' = \frac{1}{x}$.
Подставим производные в формулу:
$y' = (x)' \ln x + x (\ln x)' = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$.
Ответ: $y' = \ln x + 1$.

г) Для нахождения производной функции $y = \frac{x}{\ln x}$ воспользуемся правилом дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. Пусть $u(x) = x$ и $v(x) = \ln x$.
Найдем производные этих функций: $u'(x) = (x)' = 1$ и $v'(x) = (\ln x)' = \frac{1}{x}$.
Подставим производные в формулу:
$y' = \frac{(x)' \cdot \ln x - x \cdot (\ln x)'}{(\ln x)^2} = \frac{1 \cdot \ln x - x \cdot \frac{1}{x}}{(\ln x)^2} = \frac{\ln x - 1}{(\ln x)^2}$.
Ответ: $y' = \frac{\ln x - 1}{(\ln x)^2}$.

551. Найдите общий вид первообразных для функции:

a) $f(x) = \frac{3}{7x+1}$;

б) $f(x) = \frac{1}{x} - \frac{2}{x+5}$;

в) $f(x) = \frac{1}{x+2}$;

г) $f(x) = \frac{4}{x}$.

а)

Чтобы найти общий вид первообразных для функции $f(x) = \frac{3}{7x+1}$, необходимо вычислить неопределенный интеграл от этой функции. Общий вид первообразной $F(x)$ находится по формуле $F(x) = \int f(x) dx$.

$F(x) = \int \frac{3}{7x+1} dx$

Вынесем постоянный множитель 3 за знак интеграла:

$F(x) = 3 \int \frac{1}{7x+1} dx$

Для вычисления интеграла вида $\int \frac{1}{kx+b} dx$ используется стандартная формула, которая дает $\frac{1}{k}\ln|kx+b| + C$. В нашем случае $k=7$ и $b=1$.

Применяя эту формулу, получаем:

$F(x) = 3 \cdot \left(\frac{1}{7}\ln|7x+1|\right) + C = \frac{3}{7}\ln|7x+1| + C$

где $C$ — произвольная постоянная.

Ответ: $F(x) = \frac{3}{7}\ln|7x+1| + C$

б)

Найдем общий вид первообразных для функции $f(x) = \frac{1}{x} - \frac{2}{x+5}$. Для этого вычислим неопределенный интеграл от суммы функций, который равен сумме интегралов от этих функций.

$F(x) = \int \left(\frac{1}{x} - \frac{2}{x+5}\right) dx = \int \frac{1}{x} dx - \int \frac{2}{x+5} dx$

Вычислим каждый интеграл по отдельности:

Первый интеграл является табличным: $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x|$.

Второй интеграл: $\int \frac{2}{x+5} dx = 2 \int \frac{1}{x+5} dx$. Здесь $k=1$, $b=5$, поэтому интеграл равен $2\ln|x+5|$.

Объединяя результаты и добавляя одну общую произвольную постоянную $C$, получаем:

$F(x) = \ln|x| - 2\ln|x+5| + C$

Ответ: $F(x) = \ln|x| - 2\ln|x+5| + C$

в)

Найдем общий вид первообразных для функции $f(x) = \frac{1}{x+2}$. Вычислим интеграл:

$F(x) = \int \frac{1}{x+2} dx$

Используем ту же формулу $\int \frac{1}{kx+b} dx = \frac{1}{k}\ln|kx+b| + C$. В данном случае $k=1$ и $b=2$.

$F(x) = \frac{1}{1}\ln|x+2| + C = \ln|x+2| + C$

где $C$ — произвольная постоянная.

Ответ: $F(x) = \ln|x+2| + C$

г)

Найдем общий вид первообразных для функции $f(x) = \frac{4}{x}$. Вычислим интеграл:

$F(x) = \int \frac{4}{x} dx$

Вынесем постоянный множитель 4 за знак интеграла:

$F(x) = 4 \int \frac{1}{x} dx$

Интеграл $\int \frac{1}{x} dx$ является табличным и равен $\ln|x|$.

Следовательно, общий вид первообразной:

$F(x) = 4\ln|x| + C$

где $C$ — произвольная постоянная.

Ответ: $F(x) = 4\ln|x| + C$

552. - Напишите уравнение касательной к графику функции $f$ в точке с абсциссой $x_0$, если:

a) $f(x) = \ln (x + 1), x_0 = 0;$

б) $f(x) = \lg x + 2, x_0 = 1;$

в) $f(x) = 2 \ln x, x_0 = e;$

г) $f(x) = \log_2 (x - 1), x_0 = 2.$

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Для нахождения уравнения касательной для каждого случая необходимо выполнить следующие шаги:
1. Найти значение функции в точке касания, т.е. $f(x_0)$.
2. Найти производную функции $f'(x)$.
3. Найти значение производной в точке касания, т.е. $f'(x_0)$.
4. Подставить найденные значения $x_0$, $f(x_0)$ и $f'(x_0)$ в общую формулу уравнения касательной.

а) Дана функция $f(x) = \ln(x+1)$ и точка $x_0 = 0$.
1. Находим значение функции в точке $x_0$:
$f(x_0) = f(0) = \ln(0+1) = \ln(1) = 0$.
2. Находим производную функции:
$f'(x) = (\ln(x+1))' = \frac{1}{x+1}$.
3. Находим значение производной в точке $x_0$:
$f'(x_0) = f'(0) = \frac{1}{0+1} = 1$.
4. Подставляем найденные значения в уравнение касательной:
$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$
$y = 0 + 1 \cdot (x - 0)$
$y = x$.
Ответ: $y = x$.

б) Дана функция $f(x) = \lg x + 2$ и точка $x_0 = 1$.
1. Находим значение функции в точке $x_0$:
$f(x_0) = f(1) = \lg 1 + 2 = 0 + 2 = 2$.
2. Находим производную функции, учитывая, что $\lg x = \log_{10} x$ и $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$:
$f'(x) = (\lg x + 2)' = \frac{1}{x \ln 10}$.
3. Находим значение производной в точке $x_0$:
$f'(x_0) = f'(1) = \frac{1}{1 \cdot \ln 10} = \frac{1}{\ln 10}$.
4. Подставляем найденные значения в уравнение касательной:
$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$
$y = 2 + \frac{1}{\ln 10}(x - 1)$
$y = 2 + \frac{x}{\ln 10} - \frac{1}{\ln 10}$.
Ответ: $y = \frac{x}{\ln 10} + 2 - \frac{1}{\ln 10}$.

в) Дана функция $f(x) = 2 \ln x$ и точка $x_0 = e$.
1. Находим значение функции в точке $x_0$:
$f(x_0) = f(e) = 2 \ln e = 2 \cdot 1 = 2$.
2. Находим производную функции:
$f'(x) = (2 \ln x)' = 2 \cdot \frac{1}{x} = \frac{2}{x}$.
3. Находим значение производной в точке $x_0$:
$f'(x_0) = f'(e) = \frac{2}{e}$.
4. Подставляем найденные значения в уравнение касательной:
$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$
$y = 2 + \frac{2}{e}(x - e)$
$y = 2 + \frac{2x}{e} - \frac{2e}{e}$
$y = 2 + \frac{2x}{e} - 2$
$y = \frac{2x}{e}$.
Ответ: $y = \frac{2}{e}x$.

г) Дана функция $f(x) = \log_2(x-1)$ и точка $x_0 = 2$.
1. Находим значение функции в точке $x_0$:
$f(x_0) = f(2) = \log_2(2-1) = \log_2(1) = 0$.
2. Находим производную функции, используя формулу для производной сложной логарифмической функции $(\log_a u)' = \frac{u'}{u \ln a}$:
$f'(x) = (\log_2(x-1))' = \frac{1}{(x-1)\ln 2}$.
3. Находим значение производной в точке $x_0$:
$f'(x_0) = f'(2) = \frac{1}{(2-1)\ln 2} = \frac{1}{\ln 2}$.
4. Подставляем найденные значения в уравнение касательной:
$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$
$y = 0 + \frac{1}{\ln 2}(x-2)$
$y = \frac{x-2}{\ln 2}$.
Ответ: $y = \frac{x-2}{\ln 2}$.