Номер 550, страница 258 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 11. Производная показательной и логарифмической функций - номер 550, страница 258.

Условие.

550. a) $y = x^2 \log_2 x$;

б) $y = \frac{\ln x}{x}$;

В) $y = x \ln x$;

Г) $y = \frac{x}{\ln x}$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Для нахождения производной функции $y = x^2 \log_2 x$ воспользуемся правилом дифференцирования произведения двух функций $(uv)' = u'v + uv'$. Пусть $u(x) = x^2$ и $v(x) = \log_2 x$.
Найдем производные этих функций. Производная от $x^2$ равна $u'(x) = (x^2)' = 2x$.
Для нахождения производной логарифма по основанию 2, преобразуем его в натуральный логарифм по формуле $\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}$. Получим $v(x) = \log_2 x = \frac{\ln x}{\ln 2}$.
Тогда производная $v(x)$ будет $v'(x) = (\frac{\ln x}{\ln 2})' = \frac{1}{\ln 2} (\ln x)' = \frac{1}{\ln 2} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x \ln 2}$.
Теперь подставим найденные производные в формулу производной произведения:
$y' = u'v + uv' = (x^2)' \log_2 x + x^2 (\log_2 x)' = 2x \cdot \log_2 x + x^2 \cdot \frac{1}{x \ln 2} = 2x \log_2 x + \frac{x}{\ln 2}$.
Ответ: $y' = 2x \log_2 x + \frac{x}{\ln 2}$.

б) Для нахождения производной функции $y = \frac{\ln x}{x}$ воспользуемся правилом дифференцирования частного двух функций $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. Пусть $u(x) = \ln x$ и $v(x) = x$.
Найдем производные этих функций: $u'(x) = (\ln x)' = \frac{1}{x}$ и $v'(x) = (x)' = 1$.
Подставим производные в формулу:
$y' = \frac{(\ln x)' \cdot x - \ln x \cdot (x)'}{x^2} = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}$.
Ответ: $y' = \frac{1 - \ln x}{x^2}$.

в) Для нахождения производной функции $y = x \ln x$ воспользуемся правилом дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$. Пусть $u(x) = x$ и $v(x) = \ln x$.
Найдем производные этих функций: $u'(x) = (x)' = 1$ и $v'(x) = (\ln x)' = \frac{1}{x}$.
Подставим производные в формулу:
$y' = (x)' \ln x + x (\ln x)' = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$.
Ответ: $y' = \ln x + 1$.

г) Для нахождения производной функции $y = \frac{x}{\ln x}$ воспользуемся правилом дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. Пусть $u(x) = x$ и $v(x) = \ln x$.
Найдем производные этих функций: $u'(x) = (x)' = 1$ и $v'(x) = (\ln x)' = \frac{1}{x}$.
Подставим производные в формулу:
$y' = \frac{(x)' \cdot \ln x - x \cdot (\ln x)'}{(\ln x)^2} = \frac{1 \cdot \ln x - x \cdot \frac{1}{x}}{(\ln x)^2} = \frac{\ln x - 1}{(\ln x)^2}$.
Ответ: $y' = \frac{\ln x - 1}{(\ln x)^2}$.