Номер 554, страница 259 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 11. Производная показательной и логарифмической функций. Глава 4. Показательная и логарифмическая функции - номер 554, страница 259.
№554 (с. 259)
Условие. №554 (с. 259)
скриншот условия

554.— Найдите производную функции:
а) $y = \frac{\ln(5 + 3x)}{x^2 + 1}$;
б) $y = \frac{\sqrt{x}}{\lg(1 - 2x)}$;
в) $y = \frac{x^2}{\ln 5x}$;
г) $y = \frac{\log_3 x^2}{x + 1}$.
Решение 1. №554 (с. 259)

Решение 3. №554 (с. 259)

Решение 5. №554 (с. 259)
а) $y = \frac{\ln(5+3x)}{x^2+1}$
Для нахождения производной данной функции, которая представляет собой частное двух функций $u(x) = \ln(5+3x)$ и $v(x) = x^2+1$, воспользуемся правилом дифференцирования частного: $y' = (\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Сначала найдем производные функций $u(x)$ и $v(x)$.
Производная числителя $u(x) = \ln(5+3x)$ находится по правилу дифференцирования сложной функции: $u'(x) = (\ln(5+3x))' = \frac{1}{5+3x} \cdot (5+3x)' = \frac{1}{5+3x} \cdot 3 = \frac{3}{5+3x}$.
Производная знаменателя $v(x) = x^2+1$: $v'(x) = (x^2+1)' = 2x$.
Теперь подставим найденные производные в формулу для производной частного: $y' = \frac{(\frac{3}{5+3x})(x^2+1) - (\ln(5+3x))(2x)}{(x^2+1)^2}$.
Упростим полученное выражение, приведя числитель к общему знаменателю: $y' = \frac{\frac{3(x^2+1)}{5+3x} - 2x\ln(5+3x)}{(x^2+1)^2} = \frac{3(x^2+1) - 2x(5+3x)\ln(5+3x)}{(5+3x)(x^2+1)^2}$.
Ответ: $y' = \frac{3(x^2+1) - 2x(5+3x)\ln(5+3x)}{(5+3x)(x^2+1)^2}$.
б) $y = \frac{\sqrt{x}}{\lg(1-2x)}$
Это частное двух функций $u(x) = \sqrt{x}$ и $v(x) = \lg(1-2x)$. Используем правило дифференцирования частного: $y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Найдем производные $u'(x)$ и $v'(x)$.
Производная числителя $u(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}$: $u'(x) = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
Производная знаменателя $v(x) = \lg(1-2x)$. Это сложная функция, и $\lg(z)$ — это десятичный логарифм. Производная $(\lg z)' = \frac{1}{z\ln10}$. $v'(x) = (\lg(1-2x))' = \frac{1}{(1-2x)\ln10} \cdot (1-2x)' = \frac{1}{(1-2x)\ln10} \cdot (-2) = \frac{-2}{(1-2x)\ln10}$.
Подставляем в формулу производной частного: $y' = \frac{(\frac{1}{2\sqrt{x}})\lg(1-2x) - (\sqrt{x})(\frac{-2}{(1-2x)\ln10})}{(\lg(1-2x))^2} = \frac{\frac{\lg(1-2x)}{2\sqrt{x}} + \frac{2\sqrt{x}}{(1-2x)\ln10}}{\lg^2(1-2x)}$.
Приведем числитель к общему знаменателю $2\sqrt{x}(1-2x)\ln10$: $y' = \frac{\frac{\lg(1-2x)(1-2x)\ln10 + 2\sqrt{x} \cdot 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}(1-2x)\ln10}}{\lg^2(1-2x)}$. Так как $\lg(z)\ln10 = \ln(z)$, то $\lg(1-2x)\ln10 = \ln(1-2x)$. $y' = \frac{\frac{(1-2x)\ln(1-2x) + 4x}{2\sqrt{x}(1-2x)\ln10}}{\lg^2(1-2x)} = \frac{(1-2x)\ln(1-2x) + 4x}{2\sqrt{x}(1-2x)\ln10 \cdot \lg^2(1-2x)}$.
Ответ: $y' = \frac{(1-2x)\ln(1-2x) + 4x}{2\sqrt{x}(1-2x)\ln10 \cdot \lg^2(1-2x)}$.
в) $y = \frac{x^2}{\ln(5x)}$
Используем правило дифференцирования частного для функций $u(x) = x^2$ и $v(x) = \ln(5x)$. Формула: $y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Найдем производные $u'(x)$ и $v'(x)$.
Производная числителя $u(x) = x^2$: $u'(x) = (x^2)' = 2x$.
Производная знаменателя $v(x) = \ln(5x)$. Можно использовать свойство логарифма: $\ln(5x) = \ln 5 + \ln x$. $v'(x) = (\ln 5 + \ln x)' = 0 + \frac{1}{x} = \frac{1}{x}$. Или по правилу сложной функции: $v'(x) = \frac{1}{5x} \cdot (5x)' = \frac{5}{5x} = \frac{1}{x}$.
Подставляем производные в формулу: $y' = \frac{(2x)\ln(5x) - (x^2)(\frac{1}{x})}{(\ln(5x))^2}$.
Упрощаем выражение: $y' = \frac{2x\ln(5x) - x}{(\ln(5x))^2} = \frac{x(2\ln(5x) - 1)}{\ln^2(5x)}$.
Ответ: $y' = \frac{x(2\ln(5x) - 1)}{\ln^2(5x)}$.
г) $y = \frac{\log_3(x^2)}{x+1}$
Применяем правило дифференцирования частного для функций $u(x) = \log_3(x^2)$ и $v(x) = x+1$: $y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Найдем производные $u'(x)$ и $v'(x)$.
Производная числителя $u(x) = \log_3(x^2)$. Используем правило дифференцирования сложной функции. Производная $(\log_a z)' = \frac{1}{z\ln a}$. $u'(x) = (\log_3(x^2))' = \frac{1}{x^2\ln3} \cdot (x^2)' = \frac{1}{x^2\ln3} \cdot 2x = \frac{2}{x\ln3}$.
Производная знаменателя $v(x) = x+1$: $v'(x) = (x+1)' = 1$.
Подставляем найденные производные в формулу: $y' = \frac{(\frac{2}{x\ln3})(x+1) - (\log_3(x^2))(1)}{(x+1)^2}$.
Упростим выражение, избавившись от дроби в числителе: $y' = \frac{\frac{2(x+1)}{x\ln3} - \log_3(x^2)}{(x+1)^2} = \frac{2(x+1) - x\ln3 \cdot \log_3(x^2)}{x\ln3(x+1)^2}$.
Используя формулу замены основания логарифма $\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}$, можно упростить член $x\ln3 \cdot \log_3(x^2)$: $x\ln3 \cdot \frac{\ln(x^2)}{\ln3} = x\ln(x^2)$. Тогда производная принимает вид: $y' = \frac{2(x+1) - x\ln(x^2)}{x\ln3(x+1)^2}$.
Ответ: $y' = \frac{2(x+1) - x\ln(x^2)}{x\ln3(x+1)^2}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 554 расположенного на странице 259 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №554 (с. 259), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.