Номер 554, страница 259 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 11. Производная показательной и логарифмической функций - номер 554, страница 259.

Условие.

554.— Найдите производную функции:

а) $y = \frac{\ln(5 + 3x)}{x^2 + 1}$;

б) $y = \frac{\sqrt{x}}{\lg(1 - 2x)}$;

в) $y = \frac{x^2}{\ln 5x}$;

г) $y = \frac{\log_3 x^2}{x + 1}$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) $y = \frac{\ln(5+3x)}{x^2+1}$

Для нахождения производной данной функции, которая представляет собой частное двух функций $u(x) = \ln(5+3x)$ и $v(x) = x^2+1$, воспользуемся правилом дифференцирования частного: $y' = (\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Сначала найдем производные функций $u(x)$ и $v(x)$.

Производная числителя $u(x) = \ln(5+3x)$ находится по правилу дифференцирования сложной функции: $u'(x) = (\ln(5+3x))' = \frac{1}{5+3x} \cdot (5+3x)' = \frac{1}{5+3x} \cdot 3 = \frac{3}{5+3x}$.

Производная знаменателя $v(x) = x^2+1$: $v'(x) = (x^2+1)' = 2x$.

Теперь подставим найденные производные в формулу для производной частного: $y' = \frac{(\frac{3}{5+3x})(x^2+1) - (\ln(5+3x))(2x)}{(x^2+1)^2}$.

Упростим полученное выражение, приведя числитель к общему знаменателю: $y' = \frac{\frac{3(x^2+1)}{5+3x} - 2x\ln(5+3x)}{(x^2+1)^2} = \frac{3(x^2+1) - 2x(5+3x)\ln(5+3x)}{(5+3x)(x^2+1)^2}$.

Ответ: $y' = \frac{3(x^2+1) - 2x(5+3x)\ln(5+3x)}{(5+3x)(x^2+1)^2}$.

б) $y = \frac{\sqrt{x}}{\lg(1-2x)}$

Это частное двух функций $u(x) = \sqrt{x}$ и $v(x) = \lg(1-2x)$. Используем правило дифференцирования частного: $y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Найдем производные $u'(x)$ и $v'(x)$.

Производная числителя $u(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}$: $u'(x) = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Производная знаменателя $v(x) = \lg(1-2x)$. Это сложная функция, и $\lg(z)$ — это десятичный логарифм. Производная $(\lg z)' = \frac{1}{z\ln10}$. $v'(x) = (\lg(1-2x))' = \frac{1}{(1-2x)\ln10} \cdot (1-2x)' = \frac{1}{(1-2x)\ln10} \cdot (-2) = \frac{-2}{(1-2x)\ln10}$.

Подставляем в формулу производной частного: $y' = \frac{(\frac{1}{2\sqrt{x}})\lg(1-2x) - (\sqrt{x})(\frac{-2}{(1-2x)\ln10})}{(\lg(1-2x))^2} = \frac{\frac{\lg(1-2x)}{2\sqrt{x}} + \frac{2\sqrt{x}}{(1-2x)\ln10}}{\lg^2(1-2x)}$.

Приведем числитель к общему знаменателю $2\sqrt{x}(1-2x)\ln10$: $y' = \frac{\frac{\lg(1-2x)(1-2x)\ln10 + 2\sqrt{x} \cdot 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}(1-2x)\ln10}}{\lg^2(1-2x)}$. Так как $\lg(z)\ln10 = \ln(z)$, то $\lg(1-2x)\ln10 = \ln(1-2x)$. $y' = \frac{\frac{(1-2x)\ln(1-2x) + 4x}{2\sqrt{x}(1-2x)\ln10}}{\lg^2(1-2x)} = \frac{(1-2x)\ln(1-2x) + 4x}{2\sqrt{x}(1-2x)\ln10 \cdot \lg^2(1-2x)}$.

Ответ: $y' = \frac{(1-2x)\ln(1-2x) + 4x}{2\sqrt{x}(1-2x)\ln10 \cdot \lg^2(1-2x)}$.

в) $y = \frac{x^2}{\ln(5x)}$

Используем правило дифференцирования частного для функций $u(x) = x^2$ и $v(x) = \ln(5x)$. Формула: $y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Найдем производные $u'(x)$ и $v'(x)$.

Производная числителя $u(x) = x^2$: $u'(x) = (x^2)' = 2x$.

Производная знаменателя $v(x) = \ln(5x)$. Можно использовать свойство логарифма: $\ln(5x) = \ln 5 + \ln x$. $v'(x) = (\ln 5 + \ln x)' = 0 + \frac{1}{x} = \frac{1}{x}$. Или по правилу сложной функции: $v'(x) = \frac{1}{5x} \cdot (5x)' = \frac{5}{5x} = \frac{1}{x}$.

Подставляем производные в формулу: $y' = \frac{(2x)\ln(5x) - (x^2)(\frac{1}{x})}{(\ln(5x))^2}$.

Упрощаем выражение: $y' = \frac{2x\ln(5x) - x}{(\ln(5x))^2} = \frac{x(2\ln(5x) - 1)}{\ln^2(5x)}$.

Ответ: $y' = \frac{x(2\ln(5x) - 1)}{\ln^2(5x)}$.

г) $y = \frac{\log_3(x^2)}{x+1}$

Применяем правило дифференцирования частного для функций $u(x) = \log_3(x^2)$ и $v(x) = x+1$: $y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Найдем производные $u'(x)$ и $v'(x)$.

Производная числителя $u(x) = \log_3(x^2)$. Используем правило дифференцирования сложной функции. Производная $(\log_a z)' = \frac{1}{z\ln a}$. $u'(x) = (\log_3(x^2))' = \frac{1}{x^2\ln3} \cdot (x^2)' = \frac{1}{x^2\ln3} \cdot 2x = \frac{2}{x\ln3}$.

Производная знаменателя $v(x) = x+1$: $v'(x) = (x+1)' = 1$.

Подставляем найденные производные в формулу: $y' = \frac{(\frac{2}{x\ln3})(x+1) - (\log_3(x^2))(1)}{(x+1)^2}$.

Упростим выражение, избавившись от дроби в числителе: $y' = \frac{\frac{2(x+1)}{x\ln3} - \log_3(x^2)}{(x+1)^2} = \frac{2(x+1) - x\ln3 \cdot \log_3(x^2)}{x\ln3(x+1)^2}$.

Используя формулу замены основания логарифма $\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}$, можно упростить член $x\ln3 \cdot \log_3(x^2)$: $x\ln3 \cdot \frac{\ln(x^2)}{\ln3} = x\ln(x^2)$. Тогда производная принимает вид: $y' = \frac{2(x+1) - x\ln(x^2)}{x\ln3(x+1)^2}$.

Ответ: $y' = \frac{2(x+1) - x\ln(x^2)}{x\ln3(x+1)^2}$.