Номер 559, страница 261 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 11. Производная показательной и логарифмической функций - номер 559, страница 261.

Условие.

559.-

a) $f(x) = x^{-e}$;

В) $f(x) = x^{\pi}$;

б) $f(x) = \left(\frac{x}{3}\right)^{-\lg 5}$;

г) $f(x) = (2x)^{\ln 3}$.

Решение 1.

Решение 5.

а)

Дана функция $f(x) = x^{-e}$. Это степенная функция вида $f(x) = x^n$, где показатель степени $n = -e$ является константой. Для нахождения производной такой функции используется формула $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$.

Применяя эту формулу, получаем:

$f'(x) = (x^{-e})' = -e \cdot x^{-e-1}$

Ответ: $f'(x) = -e \cdot x^{-e-1}$.

б)

Дана функция $f(x) = (\frac{x}{3})^{-\lg 5}$. Это сложная функция вида $f(x) = u(x)^a$, где основание $u(x) = \frac{x}{3}$ является функцией от $x$, а показатель $a = -\lg 5$ — константой. Для нахождения ее производной используется правило дифференцирования сложной функции (цепное правило) в сочетании с правилом для степенной функции: $(u^a)' = a \cdot u^{a-1} \cdot u'$.

Сначала найдем производную внутренней функции $u(x)$:

$u'(x) = (\frac{x}{3})' = \frac{1}{3}$.

Теперь применим цепное правило, подставляя $u(x)$, $u'(x)$ и $a$ в формулу:

$f'(x) = (-\lg 5) \cdot (\frac{x}{3})^{-\lg 5 - 1} \cdot (\frac{x}{3})' = (-\lg 5) \cdot (\frac{x}{3})^{-\lg 5 - 1} \cdot \frac{1}{3}$.

Упростим полученное выражение:

$f'(x) = -\frac{\lg 5}{3} (\frac{x}{3})^{-\lg 5 - 1}$.

Ответ: $f'(x) = -\frac{\lg 5}{3} (\frac{x}{3})^{-\lg 5 - 1}$.

в)

Дана функция $f(x) = x^{\pi}$. Это степенная функция вида $f(x) = x^n$, где показатель степени $n = \pi$ является константой. Для нахождения производной такой функции используется формула $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$.

Применяя эту формулу, получаем:

$f'(x) = (x^{\pi})' = \pi \cdot x^{\pi-1}$.

Ответ: $f'(x) = \pi \cdot x^{\pi-1}$.

г)

Дана функция $f(x) = (2x)^{\ln 3}$. Это сложная функция вида $f(x) = u(x)^a$, где основание $u(x) = 2x$ является функцией от $x$, а показатель $a = \ln 3$ — константой. Для нахождения ее производной используется правило дифференцирования сложной функции (цепное правило) в сочетании с правилом для степенной функции: $(u^a)' = a \cdot u^{a-1} \cdot u'$.

Сначала найдем производную внутренней функции $u(x)$:

$u'(x) = (2x)' = 2$.

Теперь применим цепное правило, подставляя $u(x)$, $u'(x)$ и $a$ в формулу:

$f'(x) = (\ln 3) \cdot (2x)^{\ln 3 - 1} \cdot (2x)' = (\ln 3) \cdot (2x)^{\ln 3 - 1} \cdot 2$.

Упростим полученное выражение, перемножив константы:

$f'(x) = 2 \ln 3 \cdot (2x)^{\ln 3 - 1}$.

Ответ: $f'(x) = 2 \ln 3 \cdot (2x)^{\ln 3 - 1}$.