Номер 566, страница 262 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 11. Производная показательной и логарифмической функций. Глава 4. Показательная и логарифмическая функции - номер 566, страница 262.

Условие.

566.— На миллиметровой бумаге постройте графики функций $y = \sqrt{x}, y = \sqrt[3]{x}, y = \sqrt[4]{x} (x \geq 0)$.

1) Найдите с помощью графика приближенные значения:

а) $\sqrt{2}, \sqrt[3]{3}$; б) $\sqrt{3}, \sqrt[4]{2,5}$; в) $\sqrt[3]{2,5}, \sqrt[4]{3}$; г) $\sqrt{2,5}, \sqrt[4]{2}$;

2) Найдите значения этих корней с помощью калькулятора.

3) Вычислите их приближенные значения, пользуясь формулой (4). Указание:

$2,5 = 1,6^2 - 0,06$; $2,5 = 1,3^3 + 0,303$; $2,5 = 1,25^4 + \frac{15}{256}$; $2 = 1,4^2 + 0,04$; $3 = 1,4^3 + 0,256$;

$3 = 1,3^4 - 0,1439$.

4) Сравните полученные результаты.

Решение 1.

Решение 5.

Для решения задачи сначала построим на миллиметровой бумаге графики функций $y=\sqrt{x}$, $y=\sqrt[3]{x}$ и $y=\sqrt[4]{x}$ для $x \ge 0$. Для этого составим таблицу значений для каждой функции:

Для $y=\sqrt{x}$:

x: 0, 0.25, 1, 2, 2.5, 3, 4

y: 0, 0.5, 1, 1.41, 1.58, 1.73, 2

Для $y=\sqrt[3]{x}$:

x: 0, 0.125, 1, 2, 2.5, 3, 4

y: 0, 0.5, 1, 1.26, 1.36, 1.44, 1.59

Для $y=\sqrt[4]{x}$:

x: 0, 0.0625, 1, 2, 2.5, 3, 4

y: 0, 0.5, 1, 1.19, 1.26, 1.32, 1.41

Все три графика проходят через точки (0, 0) и (1, 1). При $x > 1$ график $y=\sqrt{x}$ лежит выше остальных, а $y=\sqrt[4]{x}$ — ниже. При $0 < x < 1$ расположение графиков обратное. Используя эти построенные графики, выполним задания.

1) Найдём приближенные значения с помощью графиков. Для этого находим на оси Ox нужное значение, проводим вертикальную линию до пересечения с соответствующим графиком, а затем горизонтальную линию от точки пересечения до оси Oy.

а) Для нахождения $\sqrt{2}$ используем график $y=\sqrt{x}$. На оси Ox находим $x=2$ и по графику определяем соответствующее значение y. Получаем $\sqrt{2} \approx 1.4$. Для $\sqrt[3]{3}$ используем график $y=\sqrt[3]{x}$. На оси Ox находим $x=3$ и по графику определяем y. Получаем $\sqrt[3]{3} \approx 1.45$.

б) Для $\sqrt{3}$ используем график $y=\sqrt{x}$. При $x=3$ получаем $\sqrt{3} \approx 1.7$. Для $\sqrt[4]{2.5}$ используем график $y=\sqrt[4]{x}$. При $x=2.5$ получаем $\sqrt[4]{2.5} \approx 1.25$.

в) Для $\sqrt[3]{2.5}$ используем график $y=\sqrt[3]{x}$. При $x=2.5$ получаем $\sqrt[3]{2.5} \approx 1.35$. Для $\sqrt[4]{3}$ используем график $y=\sqrt[4]{x}$. При $x=3$ получаем $\sqrt[4]{3} \approx 1.3$.

г) Для $\sqrt{2.5}$ используем график $y=\sqrt{x}$. При $x=2.5$ получаем $\sqrt{2.5} \approx 1.6$. Для $\sqrt[4]{2}$ используем график $y=\sqrt[4]{x}$. При $x=2$ получаем $\sqrt[4]{2} \approx 1.2$.

Ответ: а) $\sqrt{2} \approx 1.4$, $\sqrt[3]{3} \approx 1.45$; б) $\sqrt{3} \approx 1.7$, $\sqrt[4]{2.5} \approx 1.25$; в) $\sqrt[3]{2.5} \approx 1.35$, $\sqrt[4]{3} \approx 1.3$; г) $\sqrt{2.5} \approx 1.6$, $\sqrt[4]{2} \approx 1.2$.

2) Найдём значения этих корней с помощью калькулятора (округляя до трёх знаков после запятой):

а) $\sqrt{2} \approx 1.414$; $\sqrt[3]{3} \approx 1.442$

б) $\sqrt{3} \approx 1.732$; $\sqrt[4]{2.5} \approx 1.257$

в) $\sqrt[3]{2.5} \approx 1.357$; $\sqrt[4]{3} \approx 1.316$

г) $\sqrt{2.5} \approx 1.581$; $\sqrt[4]{2} \approx 1.189$

Ответ: а) $\sqrt{2} \approx 1.414$, $\sqrt[3]{3} \approx 1.442$; б) $\sqrt{3} \approx 1.732$, $\sqrt[4]{2.5} \approx 1.257$; в) $\sqrt[3]{2.5} \approx 1.357$, $\sqrt[4]{3} \approx 1.316$; г) $\sqrt{2.5} \approx 1.581$, $\sqrt[4]{2} \approx 1.189$.

3) Вычислим приближенные значения, пользуясь формулой (4), которая является формулой приближенного вычисления с помощью дифференциала: $f(x_0+\Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0)\Delta x$. Для функции $f(x)=\sqrt[n]{x}$ эта формула имеет вид: $\sqrt[n]{x_0 + \Delta x} \approx \sqrt[n]{x_0} + \frac{1}{n\sqrt[n]{x_0^{n-1}}}\Delta x$.

а) $\sqrt{2}$. Используем указание $2 = 1.4^2 + 0.04$. Здесь $x_0=1.4^2=1.96$, $\Delta x=0.04$, $n=2$.

$\sqrt{2} = \sqrt{1.96+0.04} \approx \sqrt{1.96} + \frac{0.04}{2\sqrt{1.96}} = 1.4 + \frac{0.04}{2 \cdot 1.4} = 1.4 + \frac{0.04}{2.8} \approx 1.4 + 0.01428 \approx 1.4143$.

$\sqrt[3]{3}$. Используем указание $3 = 1.4^3 + 0.256$. Здесь $x_0=1.4^3=2.744$, $\Delta x=0.256$, $n=3$.

$\sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{2.744+0.256} \approx \sqrt[3]{2.744} + \frac{0.256}{3\cdot(\sqrt[3]{2.744})^2} = 1.4 + \frac{0.256}{3 \cdot 1.4^2} = 1.4 + \frac{0.256}{5.88} \approx 1.4 + 0.04354 \approx 1.4435$.

б) $\sqrt{3}$. Указания нет. Возьмем $x_0=1.7^2=2.89$, тогда $\Delta x = 3-2.89 = 0.11$, $n=2$.

$\sqrt{3} = \sqrt{2.89+0.11} \approx \sqrt{2.89} + \frac{0.11}{2\sqrt{2.89}} = 1.7 + \frac{0.11}{2 \cdot 1.7} = 1.7 + \frac{0.11}{3.4} \approx 1.7 + 0.03235 \approx 1.7324$.

$\sqrt[4]{2.5}$. Используем указание $2.5 = 1.25^4 + \frac{15}{256}$. Здесь $x_0=1.25^4$, $\Delta x = \frac{15}{256}$, $n=4$.

$\sqrt[4]{2.5} \approx \sqrt[4]{1.25^4} + \frac{15/256}{4\cdot(\sqrt[4]{1.25^4})^3} = 1.25 + \frac{15/256}{4 \cdot 1.25^3} = 1.25 + \frac{15/256}{4 \cdot (5/4)^3} = 1.25 + \frac{15/256}{4 \cdot 125/64} = 1.25 + \frac{15/256}{500/64} = 1.25 + \frac{15}{256} \cdot \frac{64}{500} = 1.25 + \frac{15}{4 \cdot 500} = 1.25 + \frac{3}{400} = 1.25 + 0.0075 = 1.2575$.

в) $\sqrt[3]{2.5}$. Используем указание $2.5 = 1.3^3 + 0.303$. Здесь $x_0=1.3^3=2.197$, $\Delta x=0.303$, $n=3$.

$\sqrt[3]{2.5} \approx \sqrt[3]{2.197} + \frac{0.303}{3\cdot(\sqrt[3]{2.197})^2} = 1.3 + \frac{0.303}{3 \cdot 1.3^2} = 1.3 + \frac{0.303}{5.07} \approx 1.3 + 0.05976 \approx 1.3598$.

$\sqrt[4]{3}$. Указание $3 = 1.3^4 - 0.1439$ содержит опечатку, т.к. $1.3^4 - 0.1439 \approx 2.8561 - 0.1439 = 2.7122 \ne 3$. Вероятно, имелось в виду $3 = 1.3^4 + 0.1439$. Тогда $x_0=1.3^4=2.8561$, $\Delta x=0.1439$, $n=4$.

$\sqrt[4]{3} \approx \sqrt[4]{2.8561} + \frac{0.1439}{4\cdot(\sqrt[4]{2.8561})^3} = 1.3 + \frac{0.1439}{4 \cdot 1.3^3} = 1.3 + \frac{0.1439}{4 \cdot 2.197} = 1.3 + \frac{0.1439}{8.788} \approx 1.3 + 0.01637 \approx 1.3164$.

г) $\sqrt{2.5}$. Используем указание $2.5 = 1.6^2 - 0.06$. Здесь $x_0=1.6^2=2.56$, $\Delta x=-0.06$, $n=2$.

$\sqrt{2.5} = \sqrt{2.56-0.06} \approx \sqrt{2.56} + \frac{-0.06}{2\sqrt{2.56}} = 1.6 - \frac{0.06}{2 \cdot 1.6} = 1.6 - \frac{0.06}{3.2} = 1.6 - 0.01875 = 1.58125$.

$\sqrt[4]{2}$. Указания нет. Возьмем $x_0=1.2^4=2.0736$, тогда $\Delta x = 2 - 2.0736 = -0.0736$, $n=4$.

$\sqrt[4]{2} \approx \sqrt[4]{2.0736} + \frac{-0.0736}{4\cdot(\sqrt[4]{2.0736})^3} = 1.2 - \frac{0.0736}{4 \cdot 1.2^3} = 1.2 - \frac{0.0736}{4 \cdot 1.728} = 1.2 - \frac{0.0736}{6.912} \approx 1.2 - 0.01066 \approx 1.1893$.

Ответ: а) $\sqrt{2} \approx 1.4143$, $\sqrt[3]{3} \approx 1.4435$; б) $\sqrt{3} \approx 1.7324$, $\sqrt[4]{2.5} \approx 1.2575$; в) $\sqrt[3]{2.5} \approx 1.3598$, $\sqrt[4]{3} \approx 1.3164$; г) $\sqrt{2.5} \approx 1.5813$, $\sqrt[4]{2} \approx 1.1893$.

4) Сравним полученные результаты.

Сведём все результаты в одну таблицу для наглядности (значения округлены до 3-4 знаков).

Корень | По графику | По формуле | На калькуляторе

---|---|---|---

$\sqrt{2}$ | $\approx 1.4$ | $\approx 1.4143$ | $\approx 1.4142$

$\sqrt[3]{3}$ | $\approx 1.45$ | $\approx 1.4435$ | $\approx 1.4422$

$\sqrt{3}$ | $\approx 1.7$ | $\approx 1.7324$ | $\approx 1.7321$

$\sqrt[4]{2.5}$ | $\approx 1.25$ | $\approx 1.2575$ | $\approx 1.2574$

$\sqrt[3]{2.5}$ | $\approx 1.35$ | $\approx 1.3598$ | $\approx 1.3572$

$\sqrt[4]{3}$ | $\approx 1.3$ | $\approx 1.3164$ | $\approx 1.3161$

$\sqrt{2.5}$ | $\approx 1.6$ | $\approx 1.5813$ | $\approx 1.5811$

$\sqrt[4]{2}$ | $\approx 1.2$ | $\approx 1.1893$ | $\approx 1.1892$

Из сравнения видно, что:

1. Графический метод даёт самую грубую оценку. Точность зависит от масштаба и аккуратности построения графика, обычно погрешность составляет около 5-10%.

2. Метод вычисления по формуле (линейное приближение) даёт очень высокую точность. Результаты, полученные по формуле, практически совпадают со значениями с калькулятора, расхождения наблюдаются в третьем или четвертом знаке после запятой. Это говорит о высокой эффективности данного метода для малых $\Delta x$.

3. Значения с калькулятора принимаются за эталонные (наиболее точные) для данного сравнения.

Ответ: Графический метод является оценочным и наименее точным. Вычисление по формуле приближения даёт результат, очень близкий к значению, полученному на калькуляторе, что подтверждает его высокую точность при правильном выборе начального приближения $x_0$.